非线性数学物理中的符号计算

p l n.
若 deg( RZ 'SZ, x) m p 1 n p , 则
p lc(S , x) lc( R, x) .
多项式解次数的确定
计算多项式解次数算法 D1: 令 p : 0,并设 R, S 的首项系数为
lc( R) rm , lc(S ) sn
~ ~ Y Y Yd Yd
P213 L2
P213 L9，12，17 P216 L11 P216 L13
~ ~ Bn D 1 YBd Bn D 1 Yd2 YBd DYd Bd DYd Bd
~ ~ YAd Yd An Bn YAd Yd AnYn
den( A) x1 ( x 1)0 , den( B) x1 ( x 1)2 .
一个简单例子
设 den(Y ) x 1 ( x 1) 2 依照算法可计算得
பைடு நூலகம்
M 1 : M 2 : M 3 : M 4 :
1 0; 2 0; 1 1, 1 1; 2 0, 2 2; 1 min{ 1 1, 1 1} 0; 2 min{ 2 1, 2 2 } 1;
den ( A) Di , den ( B) Di
i
i i
i
其中 Di 两两互素，则可计算未知函数 Y 分母因子 的重数 i ，使得 den (Y ) Dii .
i
有理式系数情形
Risch 思想
将 A, B, Y 的上述形式代入原方程，得
Yn ' den(Y ) Yn den(Y )' AnYn Bn 2 den(Y ) den(Y ) den( A) den( B)
P214 L13 : min{ 1, } : min{ 1, }
1 1 1 1
W / D' W1 / D1'

Michael F. Singer
Professor Department of Mathematics North Carolina State University Raleigh, NC 27695-8205
前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。
练习
利用 Risch 算法可计算常微分方程
2x 2x2 Y ' 2 Y 2 x 1 x 1
的通解为
d 2x Y 2 . 2 x 1 3( x 1)
3
程序演示
勘误
P212 L11
P212 L-3
BnYd Ad BnYd2 Ad
希望求出此方程的多项式解，如何设计算法？
多项式系数情形
基本思想 根据方程本身确定多项式解的次数。将次数 确定的多项式解带入方程，利用待定系数方法得
到一个线性代数方程组，通过解代数方程组获得
原微分方程的多项式解。利用这个算法可以求得
多项式解，或证明没有这样的解。
有理式系数情形
设 A, B 为有理式，R.H.Risch 于1969年提出 了一个计算一阶常微分方程
Yn Y D Yd
有理解分母因子重数的确定
将 A, B, Y 的上述形式代入原方程，得
Yn ' DYd Yn D' Yd DYd ' AnYn Bn 1 2 D Yd D Yd Ad D Bd
注意 D 为无平方因子，它与上式中其余各个 部分互素，因此与下式也互素
计算有理解分母因子重数算法
M1: 令 : 0
M2: 求 A, B 中D 的重数 和
M3: 令 : min{ 1, }
M4: 计算 W M5: 若 1 ,且
W
D ' 是整数,则令
: max{ ,W D'}
D2: 求 R, S , T 的次数 m, n, l ,且令
p : minl n, l (m 1)
D3: 若m n 1,且 sn rm 为整数,则令
p : maxp, sn rm
有理解分母因子重数的确定
设 D 为 A, B 分母中无平方部分的某个不可 约因子。于是 An Bn A , B D Ad D Bd 假定 Y 为有理函数，又设 D 也是 Y 的分母的 因子，期望确定 使得 Y 可以表示成
i D 两端同乘 i 其中 i max{ 2i ,i i , i } ，
i
则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。
一个简单例子
考虑一阶常微分方程 1 1 Y ' Y . 2 x xx 1 此时 A 1 , B 1 x 分解为
x( x 1)
2
的分母的无平方因子的
Y ' AY B
有理函数解的算法。其基本思想是：由 A, B 的分 母计算出 Y 的分母，进而将问题转化为多项式系数 的一阶常微分方程。利用 Risch 算法可以计算出 有理函数解，或证明没有这样的解。
有理式系数情形
Risch 思想
当 A, B 给定后，分别对其分母 den ( A), den ( B) 作无平方因子分解
常微分方程的符号解
华东师范大学 李志斌
微分方程与计算机代数
参考文献
Differential Equations and Computer Algebra
M.F. Singer, editor, Academic Press, 1991.
——计算机代数与微分方程会议论文集，意大利，
1990.5
一阶常微分方程
于是 Z a x b, a, b 为待定常数。
一个简单例子
代入方程，得线性方程组
ax ax ax bx x (a b 1) x 0.
2 2
由此解得 a 1 b, 于是原方程的解为
(b 1) x b b 1 Y . x( x 1) x x 1
多项式解次数的确定
设 deg( Z , x) p, 考虑两种情形 1. deg( RZ ' , x) deg( SZ, x) , 即 n m 1.
max{m p 1, n p} l.
故
p min{l (m 1), l n}.
多项式解次数的确定
2. deg( RZ ' , x) deg( SZ, x) , 即 n m 1. 若 deg( RZ 'SZ, x) m p 1 n p , 则
~ Y Yn ' DYd Yn D'Yd DYd '
有理解分母因子重数的确定
由此可以证明 当 1 时，
当 0 时， 1
当 1 时，或
1 或 W D'
A W D

其中 W 如下定义
A
有理解分母因子重数的确定
x( x 1) Z '(2 x 1) Z Z 1 2 2 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x( x 1)
去分母得
( x 2 x) Z ' x Z x
一个简单例子
设 R x( x 1), S x, T x, 应用计算多项式 解 Z 次数的算法
D1 : D2 : D3 :
p 0, sn 1, rm 1; m 2, n 1, l 1, p min{l n, l (m 1)} 0; n 2 m 1, sn / rm 1, p max{p, sn / rm } 1.
W1 1; W2 0; W2 2 0, 0, D2 '
W1 M 5 : 1 1, 1, D1 '
1 max{ 1 ,W1 / D1 '} 1
2 max{ 2 ,W2 / D2 '} 1
一个简单例子
于是 Y 的分母为 x( x 1) . 记 Y 的分子为 Z,代 入原方程得
设 为一函数域，对于 中给定的函数 A, B ， 一阶常微分方程
Y ' AY B
的解为
Y e
A

A Be
问题: 如何设计算法获得闭形式的解？
多项式系数情形
设 R, S , T 为多项式，考虑一阶常微分方程
R Z ' S Z T .
假设 deg( R, x) m, deg( S , x) n, deg(T , x) l.