定积分的换元法
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0
（1）若f ( x )奇函数 ( x )为偶函数 （2）若f ( x )偶函 ( x )为奇函数 数 证明 （1） ( x )
f 偶，(x ) 奇 f ( t )dt f 奇， (x )偶
x
0
f (t )dt
x 0
x
0
令t u
x
0
f ( u)d（ u)
5
注意： 去绝对值或去根号时，应注意其正负，否则就会出错.
13
xe , x 0 4 , 计算 f ( x 2)dx . 例6 设函数f ( x ) 1 1 , 1 x 0 1 cos x x 1 4 解 设x 2 t , 则dx dt , t -1 2
sin x cos xdx sin x ( cos x )dx
2
3 2
3 2
2
3 2
3 2
2
3 2
2 sin xd sin x sin xd sin x
0
3 2
2
5 2 4 2 2 2 2 2 2 [ sin x ]0 [ sin x ] ） . （ 5 5 5 5 5 2
注意：计算定积分时，方法一定要灵活.
例5 计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解 由于 sin3 x sin5 x sin3 x(1 sin2 x ) sin x cos x ，
ห้องสมุดไป่ตู้
原式=
2
0
0
(sin x cos x )dx (sin x cos x )dx
x2
4
1
f ( x 2)dx f (t )dt 1 f (t )dt 0 f (t )dt
2 1
0
2
0 1 1 2 t2 2 2 1 t dt e d( t 2 ) dt te dt 1 1 1 cos t 0 2 0 2 t 2cos 2 0 2 1 1 4 1 t 1 t2 tan e tan e . 2 2 2 2 1 2 0
(1) f (sin x )dx f (cos x )dx π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx. 2 0 0 3 cos x 2 0 证 (1)令x t dx dt , 2 π 0 π 2 f (sin x )dx π f sin( t ) ( dt )
b
b
xa
t b,
a b
x b t a,
b
b
a
f (a b x )dx f (t )( dt ), f (t )dt f ( x )dx 证毕 a a
b
经验： x t
特点：使限变号 特点：不改变积分限
17
x 上限 下限 t
2.两个常用公式 P239第20题 结论2： 设f(x)在[0,1]上连续，证明
e xdx d(e x )
cos xdx d( sin x )
sin xdx d(-cos x)
sec xdx d( tan x )
2
1 dx d( ln x ) x 1 1 dx d( - x ) 2 x
1 dx d(arctan x ) 2 1+x
sec x tan xdx d( sec x )
a
a
即
a
a
f ( x )dx 2
0，
f (x ) 奇 f f ( x )dx，(x )偶
y f (x)
a
x
a
0
15
例7 计算 1 解 原式
1
1
2 x x cos x
2
1 1 x
2x2 1 1 x
偶函数
2
dx .
1
2
dx
1
x cos x 1 1 x
证 (2)令x t ,0 xf (sin x )dx π (π t ) f [sin(π t )]dt
(π t ) f [sin(π t )]dt (π t ) f (sin t )dt
0 0 π π
π
0
π f (sin t )dt tf (sin t )dt
2
0
cos5 x sin xdx.
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x
0
1
2
t
6 1
0
2
0
t 1 cos x sin xdx t dt . 1 6 0 6
5
0
5
另解
2
0
cos5 xd( cos x ) cos x sin xdx
0
x
( D) t[ f (t ) f ( t )]dt
0
x
例10
假设
(3)函数
且其值域 R [a, b] ；
则有：
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t ) d t
6
则 证 设 F ( x)是f ( x)的一个原函数， f ( x )dx F (b) F (a ), a
b
dF dx f ( x) (t ) f [ (t )] (t ) 记(t ) F ( (t )), 则(t ) dx dt (t )是f [ (t )] (t )的一个原函数，
a
b
(3) f (x ) 在[a,b]上有正有负时， 当
f ( x )dx 表示各部分
x 面积的代数和， 轴上方的取正号，x轴下方的取负号. 3.微积分基本公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ). 其中： F ( x ) f ( x )
3
4. 常用的凑微分公式
1 dx d(ax b), a 0 a 1 2 xdx d( x ) 2
0
14
二、几个重要的代换技巧及常用结论
1.奇偶函数的定积分 结论1： f (x )在[a, a] 上连续， 当 且有 (1) f (x )为偶函数， 则
y y f (x) -a a
y -a
0
o
x
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx.
0
a
(2) f (x )为奇函数， f ( x )dx 0. 则
dx a cos t dt , t 0 2 2 2 2 ∴ 原式 = a cos t dt 0 2 1 1 a y y a2 x2 2 a ( t sin 2t ) 2 . 0 2 4 4
o a x
12
x
0
a
另解 由定积分的几何意义 a 1 2 2 πa 2 0 a x dx 4
1 t 1 3 2 t ln 2 ln . 2 t 1 2 2
只须把公式左右两 换元公式可反过来用， 注意： 边对调地位， 同时把 t 改记为 x .
3
f ( x) ( x)dx
b a
f ( t )dt
令 ( x) t .
9
例2 计算
π
0
x sin x π π sin x dx dx 2 2 1 cos x 2 0 3 cos x π π 1 d(cos x ) 2 2 0 3 cos x
π cos x ) arctan( 2 3 3 0
3 . 9
π
20
3.积分上限函数的奇偶性 x 结论3： f ( x ) 是连续函数， ( x ) f (t )dt . 证明： 设
f ( u)du
f ( u) f (u)
x
f (t )dt ( x ) 所以( x ) 为偶函数
0
同理可证明（2）
21
例9
设 f ( x ) 是连续函数，下列函数必为偶函数的是（
( A) f (t 2 )dt
0 x
D）
( B) f 2 (t )dt
0
x
(C ) t[ f (t ) f ( t )]dt
f [ (t )] (t )dt ( ) ( )
F[ ( )] F[ ( )],
又 ( ) a, ( ) b,
f [ (t )] (t )dt F (b) F (a ). 证毕
7
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t ) d t
arcsin(ln x )
arcsin(ln1) arcsin(ln e )
能凑微分就不换元
11
π 1 0 arcsin . 6 2
例4 计算 0 解 令 x a sin t , t , 2 2
a
a 2 x 2 dx, (a 0).
注意： (1) 时， 当 换元公式仍然成立. 对a>b仍成立. (2)换元的同时应换限. (3) 上限与上限对应， 下限与下限对应.
8
例1 计算
ln 8
ln 3
1 e dx.
x
x
ln3 ln8
t
2
3
解 令 1 e x t , 则 x ln(t 2 1), dx 2t dt， 2 t 1 3 3 2t 1 原式 t 2 dt 2 (1 2 )dt 2 2 t 1 t 1
5
2
0
1 6 2 1 [ cos x ]0 . 6 6
说明： 不换元时不换限，换元的同时应换限.
10
例3 计算
1 e
1 x 1 ln 2 x
dx .
1 解 由于 dx d(ln x ), x
1 e
1 x 1 ln x
2
dx
1 e
1 e
1 1 ln 2 x
d(ln x )
1 dx d(2 x ) x
4
第四节
第六章
定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
5
一、定积分的换元公式 定理
(1)函数 f (x )在区间 [a , b]上连续； (2)当 t 在区间[ , ]上变化时， (t ) 的值 x 在区间[a , b]上变化，且 ( ) a , ( ) b x (t ) 在区间 [ , ]上具有连续导数
1
6-4
定积分的换元法 与分部积分法
2
1.定积分定义
b a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
2.定积分的几何意义
y
y f (x )
(1) f ( x ) 0 时， f ( x )dx A 当
a
b
曲边梯形的面积
o
a
b a
bx
(2) f ( x ) 0 时， f ( x )dx A 曲边梯形面积的负值 当
奇函数
2
1
dx
4
1 0
1
x2 1 1 x2
2
dx 4
1 0
x (1 1 x ) dx 2 1 (1 x )
2 2
1 0
4 .
4 (1 1 x ) d x 4 4 0
1 x dx
2
单位圆的面积
16
例8 证明a f ( x)dx a f (a b x)dx 证 令a b x t , 则 x a b t , dx dt
0
π 2 0 π
π 2 0
2
2 0
f (cos t )dt
即
π 2 0
π 2 0
2
x
t
0
2
2 0
π 2 0
f (cos x )dx .
π 2 0
2
0
f (sin x )dx f (cos x )dx
特殊地： sin n xdx
cos xdx
n
18
π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx . 2 0 0 3 cos x 2 0 π
0 0
π
π
π f (sin x )dx xf (sin x )dx
0 0
π
π
π
0
π π xf (sin x )dx f (sin x )dx . 2 0
19
π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx . 2 0 0 3 cos x 2 0 π
（1）若f ( x )奇函数 ( x )为偶函数 （2）若f ( x )偶函 ( x )为奇函数 数 证明 （1） ( x )
f 偶，(x ) 奇 f ( t )dt f 奇， (x )偶
x
0
f (t )dt
x 0
x
0
令t u
x
0
f ( u)d（ u)
5
注意： 去绝对值或去根号时，应注意其正负，否则就会出错.
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xe , x 0 4 , 计算 f ( x 2)dx . 例6 设函数f ( x ) 1 1 , 1 x 0 1 cos x x 1 4 解 设x 2 t , 则dx dt , t -1 2
sin x cos xdx sin x ( cos x )dx
2
3 2
3 2
2
3 2
3 2
2
3 2
2 sin xd sin x sin xd sin x
0
3 2
2
5 2 4 2 2 2 2 2 2 [ sin x ]0 [ sin x ] ） . （ 5 5 5 5 5 2
注意：计算定积分时，方法一定要灵活.
例5 计算 0
sin3 x sin5 xdx.
3 2
解 由于 sin3 x sin5 x sin3 x(1 sin2 x ) sin x cos x ，
ห้องสมุดไป่ตู้
原式=
2
0
0
(sin x cos x )dx (sin x cos x )dx
x2
4
1
f ( x 2)dx f (t )dt 1 f (t )dt 0 f (t )dt
2 1
0
2
0 1 1 2 t2 2 2 1 t dt e d( t 2 ) dt te dt 1 1 1 cos t 0 2 0 2 t 2cos 2 0 2 1 1 4 1 t 1 t2 tan e tan e . 2 2 2 2 1 2 0
(1) f (sin x )dx f (cos x )dx π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx. 2 0 0 3 cos x 2 0 证 (1)令x t dx dt , 2 π 0 π 2 f (sin x )dx π f sin( t ) ( dt )
b
b
xa
t b,
a b
x b t a,
b
b
a
f (a b x )dx f (t )( dt ), f (t )dt f ( x )dx 证毕 a a
b
经验： x t
特点：使限变号 特点：不改变积分限
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x 上限 下限 t
2.两个常用公式 P239第20题 结论2： 设f(x)在[0,1]上连续，证明
e xdx d(e x )
cos xdx d( sin x )
sin xdx d(-cos x)
sec xdx d( tan x )
2
1 dx d( ln x ) x 1 1 dx d( - x ) 2 x
1 dx d(arctan x ) 2 1+x
sec x tan xdx d( sec x )
a
a
即
a
a
f ( x )dx 2
0，
f (x ) 奇 f f ( x )dx，(x )偶
y f (x)
a
x
a
0
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例7 计算 1 解 原式
1
1
2 x x cos x
2
1 1 x
2x2 1 1 x
偶函数
2
dx .
1
2
dx
1
x cos x 1 1 x
证 (2)令x t ,0 xf (sin x )dx π (π t ) f [sin(π t )]dt
(π t ) f [sin(π t )]dt (π t ) f (sin t )dt
0 0 π π
π
0
π f (sin t )dt tf (sin t )dt
2
0
cos5 x sin xdx.
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x
0
1
2
t
6 1
0
2
0
t 1 cos x sin xdx t dt . 1 6 0 6
5
0
5
另解
2
0
cos5 xd( cos x ) cos x sin xdx
0
x
( D) t[ f (t ) f ( t )]dt
0
x
例10
假设
(3)函数
且其值域 R [a, b] ；
则有：
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t ) d t
6
则 证 设 F ( x)是f ( x)的一个原函数， f ( x )dx F (b) F (a ), a
b
dF dx f ( x) (t ) f [ (t )] (t ) 记(t ) F ( (t )), 则(t ) dx dt (t )是f [ (t )] (t )的一个原函数，
a
b
(3) f (x ) 在[a,b]上有正有负时， 当
f ( x )dx 表示各部分
x 面积的代数和， 轴上方的取正号，x轴下方的取负号. 3.微积分基本公式
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ). 其中： F ( x ) f ( x )
3
4. 常用的凑微分公式
1 dx d(ax b), a 0 a 1 2 xdx d( x ) 2
0
14
二、几个重要的代换技巧及常用结论
1.奇偶函数的定积分 结论1： f (x )在[a, a] 上连续， 当 且有 (1) f (x )为偶函数， 则
y y f (x) -a a
y -a
0
o
x
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx.
0
a
(2) f (x )为奇函数， f ( x )dx 0. 则
dx a cos t dt , t 0 2 2 2 2 ∴ 原式 = a cos t dt 0 2 1 1 a y y a2 x2 2 a ( t sin 2t ) 2 . 0 2 4 4
o a x
12
x
0
a
另解 由定积分的几何意义 a 1 2 2 πa 2 0 a x dx 4
1 t 1 3 2 t ln 2 ln . 2 t 1 2 2
只须把公式左右两 换元公式可反过来用， 注意： 边对调地位， 同时把 t 改记为 x .
3
f ( x) ( x)dx
b a
f ( t )dt
令 ( x) t .
9
例2 计算
π
0
x sin x π π sin x dx dx 2 2 1 cos x 2 0 3 cos x π π 1 d(cos x ) 2 2 0 3 cos x
π cos x ) arctan( 2 3 3 0
3 . 9
π
20
3.积分上限函数的奇偶性 x 结论3： f ( x ) 是连续函数， ( x ) f (t )dt . 证明： 设
f ( u)du
f ( u) f (u)
x
f (t )dt ( x ) 所以( x ) 为偶函数
0
同理可证明（2）
21
例9
设 f ( x ) 是连续函数，下列函数必为偶函数的是（
( A) f (t 2 )dt
0 x
D）
( B) f 2 (t )dt
0
x
(C ) t[ f (t ) f ( t )]dt
f [ (t )] (t )dt ( ) ( )
F[ ( )] F[ ( )],
又 ( ) a, ( ) b,
f [ (t )] (t )dt F (b) F (a ). 证毕
7
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t ) d t
arcsin(ln x )
arcsin(ln1) arcsin(ln e )
能凑微分就不换元
11
π 1 0 arcsin . 6 2
例4 计算 0 解 令 x a sin t , t , 2 2
a
a 2 x 2 dx, (a 0).
注意： (1) 时， 当 换元公式仍然成立. 对a>b仍成立. (2)换元的同时应换限. (3) 上限与上限对应， 下限与下限对应.
8
例1 计算
ln 8
ln 3
1 e dx.
x
x
ln3 ln8
t
2
3
解 令 1 e x t , 则 x ln(t 2 1), dx 2t dt， 2 t 1 3 3 2t 1 原式 t 2 dt 2 (1 2 )dt 2 2 t 1 t 1
5
2
0
1 6 2 1 [ cos x ]0 . 6 6
说明： 不换元时不换限，换元的同时应换限.
10
例3 计算
1 e
1 x 1 ln 2 x
dx .
1 解 由于 dx d(ln x ), x
1 e
1 x 1 ln x
2
dx
1 e
1 e
1 1 ln 2 x
d(ln x )
1 dx d(2 x ) x
4
第四节
第六章
定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
5
一、定积分的换元公式 定理
(1)函数 f (x )在区间 [a , b]上连续； (2)当 t 在区间[ , ]上变化时， (t ) 的值 x 在区间[a , b]上变化，且 ( ) a , ( ) b x (t ) 在区间 [ , ]上具有连续导数
1
6-4
定积分的换元法 与分部积分法
2
1.定积分定义
b a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
n
2.定积分的几何意义
y
y f (x )
(1) f ( x ) 0 时， f ( x )dx A 当
a
b
曲边梯形的面积
o
a
b a
bx
(2) f ( x ) 0 时， f ( x )dx A 曲边梯形面积的负值 当
奇函数
2
1
dx
4
1 0
1
x2 1 1 x2
2
dx 4
1 0
x (1 1 x ) dx 2 1 (1 x )
2 2
1 0
4 .
4 (1 1 x ) d x 4 4 0
1 x dx
2
单位圆的面积
16
例8 证明a f ( x)dx a f (a b x)dx 证 令a b x t , 则 x a b t , dx dt
0
π 2 0 π
π 2 0
2
2 0
f (cos t )dt
即
π 2 0
π 2 0
2
x
t
0
2
2 0
π 2 0
f (cos x )dx .
π 2 0
2
0
f (sin x )dx f (cos x )dx
特殊地： sin n xdx
cos xdx
n
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π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx . 2 0 0 3 cos x 2 0 π
0 0
π
π
π f (sin x )dx xf (sin x )dx
0 0
π
π
π
0
π π xf (sin x )dx f (sin x )dx . 2 0
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π x sin x π π (2) xf (sin x )dx f (sin x )dx,并由此计算 dx . 2 0 0 3 cos x 2 0 π