特殊群的子群、不变子群与商群

特殊群的子群、不变子群与商群
摘 要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容.
关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群
引言 在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可.
1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。

因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x ，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。

阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.
1 群及其同态与同构
定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =；
Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =； Ⅲ.对G 中每个元素a 在G 中都有元素1a -，叫做a 的左逆元，使1a a e -=，则称G 对代数运算*做成一个群。

定义1.2 设{,}G 和{,}G 都是群.如果存在映射:G G ϕ→使G b a ∈∀,在G 上,都有)()()(b a b a ϕϕϕ =（即ϕ保运算）则称ϕ是同构映射.同时称G 与G 同构,记为G G ≅,也称G 是G 的同构象.
性质1.1 G →G 是群同构映射,那么ϕ的逆映射ϕ
1-:G →G 也是群的同构映射. 证明 已知, ϕ1-:G →G 必是双射,现须证ϕ1-能保运算即可．事实上，注意到了
1ϕ-ϕ＝G 1，且∀a ，b ∈G ，则必然存在a ，b ∈G 使ϕ)(a ＝a ，ϕ)(b ＝b ，且1ϕ-)
(a ＝a ，ϕ
1-)(b ＝b ．于是 1ϕ-)(b a =（()a φ()b φ）=1ϕ-))((b a ϕ==-)(1b a ϕϕ
G 1==b a b a )()()(11b a --ϕϕ
1ϕ-)(b a =)()(11b a --ϕϕ ⇒ϕ
1-保运算.即ϕ1-是同构映射. 性质 1.2 设1ϕ：1G 2G →和2ϕ:2G 3G →都是群同构映射,那么12ϕϕ 也是群同构映射。

证明： 因为1ϕ和2ϕ，都是双射，自然21ϕϕ也是双射.而21ϕϕ，都能保运算，须21ϕϕ也能保持运算. 1,G b a ∈∀ ，1221211212)()()]()([)(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒==b a b a ab 是同构映射。

性质1.3 在群之间的同构“≅”作为关系时，“≅”必是一个等价关系。

证明：（1）任一个群 G ，显然 G G 1≅ G ，这里 1G 是G 的恒等变换。

（2）若1G ϕ≅2G 那么由结论1121G G -=⇒ϕ
（3）若1G 1ϕ≅2G ，且,322G G ϕ=由结论2311
2G G ϕϕ≅⇒
由（1），（2）知，“≅”满足发射定律，对称律和传递律。

所以，“≅”是等价关系。

例1 设群4U ={1,1,,}i i --是四次单位根群，K ={,,,}e a b ab 是由元素a ，b 和关系2a =2b =e 和ab =ba 所定义的群.问4U 与K 是否同构，为什么？
解 如果4U 与K 同构，ϕ是4U 到K 的同构映射.则
易知 2(1)(
)[()]i i i e ϕϕϕ-=⋅==， 而(1)e ϕ=，ϕ是单射，我们可以得到-1=1.
这是一个矛盾。

从而知4U 与K 不同构
定义 1.3 设{} ,G 和{,}G 都是群，如果存在映射G G →：ϕ使,G b ,a ∈∀都有)()()(b a b a ϕϕϕ =，则称ϕ是群同构态映射；如果ϕ是满射，则必ϕ为群满同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）简称
G 与G 同态,并记为G ~G ,此时也称G 是G 的同态像.
性质1.4 设
ϕ 是两个代数体系 {} ,A 到 {} ，A 的同态满射,若 {} ,A 是群,那么{} ，A 也一定是群.
性质 1.5 设 G G →:ϕ是群同态满射. 那么
（i ）若e 是G 的单位元，()e e =⇒ϕ，必是G 的单位元.
（ii ）若11)()()(--=⇒=a a a a ϕϕϕ
2 子群的同构与同态及陪集的基本定义和性质
定义2.1 设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，若H 本身对于G 的·运算下也是群，则称H 是G 的一个子群.
定理2.1 设H 是群G 的非空子集，则H 是G 的子群当且仅当H 满足下列两条件之一：
（1）对任意,a b H ∈，ab H ∈且1
a H -∈；
（2）对任意,a b H ∈, 1ab H -∈.
性质2.1 H 是群G 的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的.(封闭条件是指：任两个在H 内两元素a 和b ，ab 和1a -都为在H 中）.
性质2.2 任两个在H 内的a 和b ，1ab -也在H 内.若H 是有限的则H 是G 一个子群当且仅当H 在乘积下为封闭的(在此情形下，G 的每一个元素a 都会生成一个G 的有限循环子群).
性质2.3 一个子群内的一元素的逆元素为群内的此元素的逆元素：若H 是群G 的子群，且a 和b 为会使得ab ba eH ==成立的H 内的元素，则ab ba eG ==.
性质2.4 若S 是G 的子集，则存在一个包括S 的最小子群，其可以由取得所有包括S 的子群之交集来找出；此时最小子群被标记为<S>并称为由S 生成的子群。

而G 内的一个元素在<S>内当且仅当其为S 内之元素的有限乘积且其逆元.
性质2.5 若e 为G 的单位元素，则群{e}会是群G 的最小子群，而其最大子群则会是群G 本身.
例2 找出模12的剩余类加群的所有子群.
解 设H 是12Z 的子群，则H 的个数只能为1、2、3、4、6、12；
()1,{}H H e ==
()[][]{}2,06H H ==
()[][][]{}3,048H H ==
()[][][][]{}4,0369H H ==
()[][][][][][]{}6,0246810H H ==
()1212,H H ==Z
例3 假设H 是群G 的一个非空子集，并且H 的每一个元的阶都有限，证明H 作成子群的充要条件是：
,a b H ab H ∈⇒∈
证明 必要性 显然.
充份性 a H ∀∈，设n a e =，则11n a
a H --=∈，故H 作成子群. 定理 2.2设:~G G ϕ,则
（1）()N
G N G ϕ⇒ (2) 1()N G N G ϕ-⇒
3 不变子群的定义判别条件及不变子群与同态
定义 3.1 设H 是群G 的子群.如果a G ∀∈都有aH Ha =，则称H 是G 的不变子群
或正规子群，记为：G H ，称Ha 是由子群H 确定的一个右陪集；而称aH 是由H 确定的左陪集.
当H 是G 的不变子群时，把它的左陪集和右陪集通称为陪集.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.
注意 这里右陪集的“右”的含义在于元素a 是从右边乘以子群H ，而左陪集是元素a 从左边乘以子群H .
我们看一个群G 和G 的一个子群H .我们规定一个G 的一个元中间的关系~：
~a b ，当且只当1ab H -∈的时候
给了a 和b ，我们可以唯一确定，1ab -是不是属于H ，所以~是一个关系.但
（1）1aa e H -=∈，所以 ~a a
（2）1
111()aa H ab ba H ----∈⇒=∈, 所以~~a b b a ⇒ （3）1ab H -∈，1111
()()bc H ab bc ac H ----∈⇒=∈，所以
~a b ，~~b c a c ⇒
这样，~是一个等价关系.
定义 3.2 由上面的等价关系~所决定的关系叫做子群H 的右陪集.包含a 的右陪集用符号Ha 来表示.
例4 3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}G S == {(1),(12)}H = 那么 (1){(1),(12)}H =
(13){(13),(123)}H =
(23){(23),(132)}H =
我们还可以用(12)，(123)，(132)来作右陪集
(12),(123),(132),H H H
但因为(12)(1),(123)(13),(132)(23)H H H H H H ∈∈∈
这样，子群H 把整个群分成(1),(13),(23),H H H 三个不同的右陪集. 这三个不同的右陪集放在一起显然是G ，因此，他们的确定是一个分类.
关于右陪集有如下性质：
性质3.1 设G 是群，H G ≤，则：
（1）,a Ha a G ∈∀∈；
（2） 1ab H -∈当且仅当Ha
Hb ≠∅当且仅当Ha Hb ； （3） He Ha Hb Hc
， 其中e 是G 的单位元, ,,,,e a b c 中任意两个,x y 均有1
,x y H -∉. 定义 3.3 设m S S S ,,,21 为群G 的m 个子集合，用记号
},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m =∈=
称为集合m S S S ,,,21 的乘积.
定理 3.1 设N 是G 的子群，则
（1）G N ；
（2）N n G a N ana ∈∀∈∀∈-,,1；
（3）G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1)
（4）G a N aNa ∈∀=-,1
； （5）N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.
证明 (1)⇒(2)：N n ana
a n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,
(2)⇒(3): 显然 (3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ， 故N aNa =-1.
(4)⇒(1)：对于G 任意的一个元a 都有N aNa =-1
aN aNe a aNa Na N aNa ===⇒=--)(11
那么N 是不变子群.
(1)⇒(5)：显然
(5)⇒(1)：,G a ∈∀则b G ∃∈使得aN Nb =，因为
Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a =⇒≠⇒∈⇒⎭
⎬⎫∈=∈φ 故aN Na =,即G N .
例5 假定H 是G 的子群，N 是G 的不变子群，证明HN 是G 的子群.
证明 1122,h n h n HN ∀∈，
11221212()h n h n h h n n HN '=∈
1111111113()h n n h h n HN ----==∈
例6 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.
证明 设 与
为 的两个正规子群, L H K =, 则 为 的子群. 又任给, g G ∈
, 则因为
与 都是 的正规子群, 所以11,gag H gag K --∈∈,进而, 1gag H K -∈. 故G K H
1.G HK G N G H ≤⇒≤ ,
2.⎩⎨⎧⇒G
MK G K M G N G M , 正规子群不具有传递性，即3221,N N N N 推不出31N N ，但有传递性
2131321,N N N N N N N ⇒⊆⊆
.
定义 3.4 假定φ是一个群G 到另一个群G 的一个同态满射. G 的单位元e 在φ之下的所有逆象所成的G 的子集叫做同态满射φ的核.
定义 3.5 假定φ是集合A 到集合A 的一个满射.S 是A 的一个子集S 在φ下的象，假如S 刚好包含所有S 的元在φ下的象；S 是A 的一个子集S 在φ下的逆象，假如S 刚好包含所有S 的元在φ下的逆象.
定理 3.2 假设G 和G 是两个群，并且G 与G 同态，那么在这个同态映射之下的 （Ⅰ）G 的一个子群H 的像H 是G 的一个子群；
（Ⅱ）G 的一个不变子群N 的像N 是G 的一个子群。

定理 3.3 假设G 和G 是两个群，并且G 与G 同态，那么在这个同态满射之下的 （Ⅰ）G 一个子群H 的逆象H 是G 的一个子群； （Ⅱ）G 一个不变子群N 的逆象N 是G 的一个不变子群.
4 不变子群的陪集及商群
定理 4.1 一个群G 的不变子群N ，把N 的所有陪集作成一个集合
,,a b c G ∀∈ {,,}
S a N b N c N = 法则()()()xN yN xy N =是一个S 的乘法，关于该乘法N 的所有陪集能够构造出一个群 定义 4.1 设,G N 令}|{/G a aN N G ∈=，规定
N G bN aN N ab bN aN /,,)()()(∈∀=⋅
则),/(⋅N G 是一个群，称为G 关于N 的商群.
证明 (1)∙ 是N G /的一个代数运算：假设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=⇒⎭⎬⎫==--N
n b b N n a a bN N b aN N a 21111111， 又3111311..,n b b n t s N n Nb N b G N =∈∃⇒=⇒ ，于是
N n n n b b b n b b a a b b a ab ∈=====-----323111*********)()(，
从而N b a N ab )()(11=，所以)()()()(11N b N a bN aN ⋅=⋅
(2)),/(⋅N G 为一个群：
(Ⅰ)封闭性：显然；
(Ⅱ)结合律：N G cN bN aN /,,∈∀，有N c ab cN N ab cN bN aN ))(()()(=⋅=⋅⋅
N c ab N bc a N bc aN cN bN aN ))(())(())(()(===⋅⋅
(Ⅲ)单位元：N G aN /∈∀，)()()()()()(eN aN N ae aN N ea aN N e ⋅====⋅ (Ⅳ)逆元：
,/,/1N G N a N G aN ∈∃∈∀-)()()()()(111aN N a eN N aa N a aN ⋅===⋅--- 故),/(⋅N G 为一个群.
注：商群N G /中一定要求“G N ”.（否则不知道是左陪集还是右陪集之集） 推论 ]:[|/|N G N G =，特别地，当∞<||G 时，有||/|||/|N G N G =.
定理 4.2 一个子群G 同它的每一个商群/G N 同态.
证明 规定一个法则
a aN → ()a G ∈
显然该法则是G 到/G N 的一个满射.对于G 的任意两个元a 和b 来说，
()()ab abN aN bN →=
解 设G 与G 同态，那么由定理2.3，G
G N ≅，这里N 是G 到G 的同态满射的核.所以G N 的阶是n .但G N 的阶等于不变子群N 在G 里的指数，所以它能整除G 的阶m
由此|n m .
反过来设|n m .令()G a =，()G a =.定义
Φ： k
k a a →
若h k a a =，那么.|m h k -.于是|n m ，得|n h k -而h k a a =.这样Φ是G 到G 的一个映射.很容易证明，Φ是G 到G 的一个同态满射.因此G 与G 同态.
性质4.1 设H 为G 的正规子群, 则e eH H ==为 G
H 的单位元,1
a H -为aH 逆元.
性质4.2 交换群的任一子群都是交换群, 且其商群也是交换群.
性质4.3 循环群的任一商群也都是循环群.
例8 {(1),(12)},{(1),(13)}A B ==是3次对称群3S 的两个子群，但 {(1),(12),(13),(132)}AB =
{(1),(12),(13),(132)}BA =
都不是3S 的子群，并且. BA AB ≠
例9 设(,)G Z =+, 为加群, 所以它的任一子群都是正规子群. 设 为一大于1的正整数, ()H m = , 则
{}{0,1,,1}()m Z a H a Z m Z m =+∈=-=. 且a b a b +=+ 与m Z 中的加法相同, 故()m Z Z m =.
5 常见的特殊群及相应理论
定义5.1 非空集合X 的全体可逆变换关于变换的合成所构成的群X S 称为集合X 的对称群. X S 的任一子群称为X 的一个变换群.
定理5.1 每一个群都同构于一个变换群.
证明 设G 是群，a G ∈.
（1）：确定非空集合X ，取X =G
（2）：构造G 的一个变换l G .，规定 a φ：G G → x G ∈
则1 a φ是G 的一个变换（称为左乘变换）；
2 设若,x y G ∈，()a x φ=()a y φ，即ax =ay ，x =y .于是a φ是单射.
3 g G ∀∈，可找
x =1a -，g G ∈.则()a x φ=ax =g .于是a φ是满射.由此得a φ可逆，因此a φ∈G S .
令l G ={}a a G φ∈⊆G S 下证：l G 是G S 的子群：
1 a φ，b
φ∈l G ，x G ∀∈， ()()a b x φφ⋅=(())a b x φφ=()a bx φ=()a bx = abx =()ab x φ
由x 的任意性，a b φφ⋅=ab φ∈l G
2 ∀a φ∈l G ，1a φ-∈l G ，
1()()a a x φφ-⋅=1()a a x φ-=1aa x -=x
于是1a a φφ-⋅=1
a a φφ-⋅为恒等变换，所以1a φ-=1()a φ-，于是证明了l G 是G S 的子群. 3 下面证明：G ≅l G
令 φ： G
→l G a →a φ，∀a ∈G ，
则1 显然ϕ是G 到l G 的映射.
2 设a ，b ∈G ，如果a ϕ=b ϕ，即a b φφ=，从而()()a b e e φφ=，即ae be =于是a b =。

所以是单射
3 ∀a φ∈l G ，有∈G ，使()a a ϕφ=，所以ϕ是满射
4 ∀a ，b ∈G ，()()()ab a a b ϕφϕϕ==，所以ϕ是G 到l G 的同构映射，即G ≅l G
其中变换群l G 称为G 的左正则表示，变换a φ称为由元素a 所确定的左平移.
如果定义1()a x xa ϕ-=，那么同样可以证明：r G ={}a a G ϕ∈也是群G 的一个
变换群，称为G 的右正则表示，同时也有G ≅r G .
定义5.2 若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号G =()a 来表示. a 叫做G 的一个生成元.
例10 证明：循环群的子群也是循环群.
证明：设G =()a
H ≤G 只需要证明H 为循环群. （1）当
H =1时，H =()e . （2）当H 1时l a H ∀∈，令i 是使i a H ∈的最小正整数阶l iq r =+ （0r i ≤≤），l i qr i q r
a a a a +==∈H ⇒r a H ∈. 例11 若我们把同构的群看作一样的，一共只存在两个阶是4的群，他们都是交换群.
Z+为交换群
（1）G=4，元的阶为1，2，4，所以(;)
n
（2）G=4，元的阶是群的阶的因数，所以阶为1和4
例12 一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。

因为G的每一个元a
=，所以对于一个子群H来说，自然也有
都可以和任意元x交换，ax xa
=
Ha aH
参考文献：
[1]高海燕:不变子群的判别条件,西北师范大学数学系.
[2]杨子胥:近世代数学习辅导与习题选解,高等教育出版社.
[3]杨子胥:近世代数(第二版) , 高等教育出版社.
[4]孙丽萍:近世代数(高等院校教师教育数学系列教材),哈尔滨工业大学出版社.
[5]冯克勤,章璞:近世代数引论中国科学技术大学出版社,2009年12月出版.。