概率论知识点总结及心得体会

第一章随机事件和概率

第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结

果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用

E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随

机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体

样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集

一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等

若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A

或A⊂B。

若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：和事件

“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件

A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈

A，或e∈B}。

定义：积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义：差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e∉B} 。

定义：互不相容事件或互斥事件

如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

定义6：逆事件/对立事件

称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。A与Ā满足：A ∪Ā= S,且AĀ=Φ。

运算律：

设A，B，C为事件，则有

（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA

（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C

A(BC)=(AB)C=ABC

（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)

A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC

（4）德摩根律：

小结：

事件的关系、运算和运算法则可概括为B

A

B

A =

B

A

B

A =

四种关系：包含、相等、对立、互不相容；

四种运算：和、积、差、逆；

四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。

第二节：

1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件

A 由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝

A 包含的样本点数/S 中的样本点数。

2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则

向区域S 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：

P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用

一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的

含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.

概率的性质： （1）P(φ)=0, （2）

（3） （4） 若A ⊂B ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).

第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).

()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1

1m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,11∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=n k k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，),

(1)(A P A P -=()

()

B P AB P B A P =)|(

而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率.

乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B )

P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则 贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则

第五节 ：若两事件A 、B 满足

P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件：

对于三个事件A 、B 、C ，若

P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )

P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.

第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为

总结：

1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，

在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 ∑==n

i i i A B P A P B P 1

)()()(｜∑==n

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j i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜p

q n k q p C k P k n k k n n -===-1,,,1,0)(