不等式知识的探究与延伸

不等式知识的探究与延伸

一、不等式的一个重要性质

设m, n为正整数，若m>n,则m n 1

例1、己知正整数a, b，c, d满足a<2b，3b<4c, 5c<6d, 7d<2003,则a的最大值是__________

解a, b, c, d 为正整数且a<2b, 3b<4c, 5c<6d, 7d<2003,

7d 1 2003,d 286 d 的最大值为286.

又5c 16d,c343c的最大值为343

又3b 1 4 c, b457b的最大值为457

又a 12b, a913a的最大值为913.

二、用不等式求最大值或最小值

在不等式x a中x=a是最大值，在不等式x b, x=b，是最小值

例2、己知三个非负数a, b, c满足3a十2b十c=5, 2a十b 一3c=1，若m=3a 十b 一7c求m的最大值和最小值

解：3a 十2b 十c=5, 2a 十 b 一3c=1

3a 十2b=5-c(1), 2a 十b =1+3c(2)

(1) (2)式中消去含b的项，得a=7c一 3 (3)

(1) (2)式中消去含a的项，得b=7 一11c (4)

a, b, c为非负数

7c 3 0

3 7

可得7 11c 0解得-c —

7 11

c 0

I 5

由m=3c-2可得m的最大值为一最小值为 -

II 7

三、双向不等式的简捷解法

双向不等式aa且y

若a

2x 1 2x 1 4 2 0

3 3 2x 11 2x 5 0

根据积的符号法则有

不等式（1）无解. 我们知道运用数学知识解决实际问题的方法是： 从实际问题中获取所需的信 息---分析处理有关信息---将实际问题转化为数学问题---解答原实际问题. 例4、某学校刻录一批教学用的 VCD 光盘，若要电脑公司刻录，每张需 9元,

（包括空白VCD 光盘费），若学校自刻，除学校租用刻录机需 120元外，每张 还需成本4元，（VCD 光盘费）问刻录这批VCD 光盘，到电脑公司刻录费用省， 还是自刻费用省？请说明理由？ 解：设需刻录x 张VCD 光盘，到电脑公司刻录需9x 元，贝阂需（120十4x ） 元.

当9x>120十4x 时，即x>24时，自刻费用省.

当9x=120十4x 时，即x=24时，到电脑公司与自刻费用一样.

当9x<120十4x 时即x<24时到电脑公司刻录费用省.

例3解不等式4 2x 1

3

解：原不等式等价于

2x 11

0 2x ⑴2x 5 0⑵2x

11 0 5 0

不等式（2）的解集是 故原不等式的解集是 11 7 11 2

5

2

5

2 四、 最佳方案的决策方法