三类边界条件推导

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三类边界条件的推导
边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况,一般有三种:
1. 第一类边界条件:已知未知函数在边界上的值()i g t ,即端点处弦的位移:
1(0,)()u t g t =,2(,)()u l t g t =
当()0i g t =时,表示在端点处弦是固定的。

2. 第二类边界条件:已知未知函数在边界上法向导数的值,即端点处弦所受到的垂直于弦的外力() f t :
对0x =,即弦的左端:
弦的张力在垂直方向的分量为:sin T α,根据牛顿第二定律,有:
000sin () x x u T T
f t x α==∂=-=∂
对于x l =,即弦的右端:
同理可得:
sin () x l l x l u T T f t x α==∂==∂
特别地,当()0i f t =时,表示弦在两端不受约束作用,即可以自由滑动,适应于自由端的情形。

3. 第三类边界条件:又称混合边界条件,它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线
性组合在边界上的值。

对弦的一维振动问题,即已知端点处弦的位移(引起弹性支撑的力)和所受的垂直于弦线的外力。

对0x =,即弦的左端:
弦对支撑外力的垂直分量为:u T x
∂∂,由胡克定律知: 000(t)x x u T ku f x
==∂=+∂ 设k T σ=,()()f t v t T
=,可以得到,弹性支撑条件下,弦振动的边界条件为: 0()()x u u v t x
σ=∂-=∂ 对于x l =,即弦的右端:
弦对支撑外力的垂直分量为:u T
x ∂-∂,由胡克定律知(t)x l x l l u T ku f x ==∂-=+∂
此时得到的弦振动的边界条件为: ()()x l u u v t x σ=∂+=∂
对于外力()0i f t =的特殊情况,即()0v t =,边界条件在弦的两端可统一简化为:
()0 (0,)x a u u a a l x σ=∂===∂。

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