三类边界条件推导

三类边界条件的推导
边界条件是弦在两个端点处的状态或受到的约束情况，一般有三种：
1. 第一类边界条件：已知未知函数在边界上的值()i g t ，即端点处弦的位移：
1(0,)()u t g t =，2(,)()u l t g t =
当()0i g t =时，表示在端点处弦是固定的。

2. 第二类边界条件：已知未知函数在边界上法向导数的值，即端点处弦所受到的垂直于弦的外力() f t ：
对0x =，即弦的左端：
弦的张力在垂直方向的分量为：sin T α，根据牛顿第二定律，有：
000sin () x x u T T
f t x α==∂=-=∂
对于x l =，即弦的右端：
同理可得：
sin () x l l x l u T T f t x α==∂==∂
特别地，当()0i f t =时，表示弦在两端不受约束作用，即可以自由滑动，适应于自由端的情形。

3. 第三类边界条件：又称混合边界条件，它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线
性组合在边界上的值。

对弦的一维振动问题，即已知端点处弦的位移（引起弹性支撑的力）和所受的垂直于弦线的外力。

对0x =，即弦的左端：
弦对支撑外力的垂直分量为：u T x
∂∂，由胡克定律知： 000(t)x x u T ku f x
==∂=+∂ 设k T σ=，()()f t v t T
=，可以得到，弹性支撑条件下，弦振动的边界条件为： 0()()x u u v t x
σ=∂-=∂ 对于x l =，即弦的右端：
弦对支撑外力的垂直分量为：u T
x ∂-∂，由胡克定律知(t)x l x l l u T ku f x ==∂-=+∂
此时得到的弦振动的边界条件为： ()()x l u u v t x σ=∂+=∂
对于外力()0i f t =的特殊情况，即()0v t =，边界条件在弦的两端可统一简化为：
()0 (0,)x a u u a a l x σ=∂===∂。