第5、6、7章 习题课

第5章 样本及抽样分布

一、基本概念

总体、个体、容量；样本、样本值；统计量

总体X 的样本的两个特点：

（1）代表性：个体X 1,X 2,…,X n 与总体X 具有相同的分布；

（2）独立性：个体X 1,X 2,…,X n 是相互独立的。

二、抽样分布

1、几个常见的统计量：

11

11n n

i i i i X X x x n n ====∑∑样本均值： ； 22

221122221111()()1111()()11n n i i i i n n i i i i S X X X nX n n s x x x nx n n =====-=---=-=---∑∑∑∑样本方差： 222211

11()()11n

n i i i i S S X X s s x x n n ====-==---∑∑样本标准差：； 1111(1,2,)n n k k k i k i i i k A X a x k n n =====⋅⋅⋅∑∑样本阶原点距：；

1

1

1()1()(1,2,)

n

k

k i i n

k

k i i k B X X n b x x k n ===-=-=⋅⋅⋅∑∑样本阶中心距： 2、抽样分布 2211()()2x

f x e x π

-=-∞<<+∞（）标准正态分布：

正态分布的可加性

正态分布的分位点：设X ～N (0,1)，若给定α（0＜α＜1），满足

P { X > z α } = α

的点z α称为标准正态分布的上α分位点

（2）χ2分布：设X ～N (0,1)，X 1,X 2,…,X n 是X 的样本，则统计量

X 12+X 22+…+X n 2～χ2(n )

χ2分布的分位点：设χ2～χ2(n )，若给定α（0＜α＜1），满足

P { χ2 > χα2(n ) } = α

的点χα2(n )称为χ2(n )分布的上α分位点

（3） t 分布：设X ～N (0,1)，Y ～χ2(n)，X 与Y 相互独立，则统计量

()X t t n Y n

= t 分布的分位点：设t ～t (n )，若给定α（0＜α＜1），满足

P { t > t α(n ) } = α

的点t α(n )称为t (n )分布的上α分位点

（4） F 分布：设U ～χ2(n 1)，V ～χ2(n 2)，且U 与V 相互独立，则称

1122

(,)U n F F n n V n = F 分布的分位点：设F ～F (n 1, n 2)，若给定α（0＜α＜1），满足

P { F >F α (n 1, n 2) } = α

的点F α (n 1, n 2)称为F (n 1, n 2)分布的上α分位点；且有

112211(,)(,)

F n n F n n αα-= 三、正态总体样本均值与样本方差的分布

2122

2221,,,(,)(1)1(01)2(1)3(1)n X X X X N X X n S z N t t n n n S n

μσμμχχσσ⋅⋅⋅---==-=- 、设自正态总体的样本，则

（），；（）；（）

第6章 参数估计

一、点估计

11

222111()

1()11()n

i i n i i n k k i k i X A E X n X A E X n X A E X n ∧=∧=∧=⎧==⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎩∑∑∑ 、矩估计解出未知参数得矩估计

121121112(,,,,)(;)(;)1(,,,,)(;)(;)ln ()ln (;)(;)2ln ()ln (;)(;)n n i i i n n i i i n i i i n i i i L x x x p x X p x L x x x f x X f x L p x X p x L f x X f x θθθθθθθθθθθθ====⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∏∏∑∑ 、最大似然估计(下面步骤以一个参数为例）

若：第步：写出似然函数若：若：第步：将似然函数两端取自然对数若：第121212ln (,,,,)30(,,,)4(,,,)n n n d L x x x x x x d x x x θθθθ

θθθ∧

=== 令

步：解似然方程，得第步：从而得未知参数的最大似然估计值

12121231()2()()3lim 1

n E D D P θθ

θθθθθθθθθε∧

∧∧∧∧∧∧∧→∞=<⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭、估计量的评选标准

（）无偏性：（）有效性：，都是的无偏估计量且，则较更有效（）相合性：二、区间估计（见P153表）

第7章

假设检验 见P157——178