3矩阵特征值与特征向量的计算

足 1 2 L n 。
下面通过分析由迭代格式
u(k) Au(k1) , k 1, 2,L ;初始值u0任意选取。(3.1)
产生的序列u( k ) 的收敛情况来构造计算1和它对应的特征
向量x1的计算方法。
设u(0) 1 x1 2 x2 L n xn ,则
u(k ) Au(k1) A2u(k2) L Ak u(0)
6
当 k k1 k
时，以i
1
k
+ *作为i的近似值，y(k)
作相应的近似特征向量。
2 1 0 例：A 0 2 1，用反幂法求矩阵A接近2.93的特征值，
0 1 2
并求相应的特征向量，取x(0) (0, 0,1)T .
解：对A 2.93I作三角分解得
0.93 1 0
A
2.93I
0
0.93
u(k )
Ak u(0)
1 1
k
1 x1
2
2 1
k
x2
L
1 x1
2
2 1
k
x2
L
n
n 1
k
n
n 1
k
xn xn
当k充分大时，有y ( k )
1 1
k
1 x1 1 x1
，即y ( k )可近似地作
为1对应的特征向量，且 y(k) =1
特征值的计算
方法1 由于u(k ) Ay(k1) 1 y(k1) ,从而有
12 12 51
值和相应的特征向量。取x(0) (1, 0, 0)T , k k1 107. k
解：应用算法3.2的结果
k0
1
2L
16
17
x1 1 0.2857143 0.3617725 L 0.0000024 0.0000010
x2 0 -1.0000000 -0.5878803 L -0.4472155 -0.4472144
= 1 Ak x1 2 Ak x2 L n Ak xn
11k
x1
k
22
x2
L
k
nn
xn
1k
1 x1
2
2 1
k
x2
L
n
n 1
k
xn
不妨设1 0,由 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim
k
i 1
k
i xi
当k充分大时，有
u(k )
1k
1 x1
n i2
x2 0 -1.0000000 -0.8125000 L -0.5002619 -0.5010491
x3 0 -0.5714286 -1.0000000 L -1.0000000 -1.0000000
k
21.000000 20.5714286 L 44.9999723 45.0000055
前面假定 1 2 。 若按模最大的特征值有多个，即有 1 2 L m m1 L n 时幂法是否有效？ 条件2 1是m重根，即1 2 L m , 矩阵A仍有n个线性
归一化处理与实际计算方法
y ( k 1)
u( k 1) u( k 1)
u(k ) Ay(k1)
k 1, 2,L ;u(0)任意选取。
分析：u(k ) Au(k1) A2u(k2) L
Ak u(0) ;
u( k 1)
Au( k 2 )
Ak u 1 (0)
y(k ) u(k ) Ak u(0)
（2）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。设A (aij )nn ,
n
n
U为正交矩阵，记B U T AU (bij )nn ,则
ai2j
bi2j
i, j1
i, j1
Jacobi方法的基本思路：通过一次正交变换,将A中一对非
零的非对角元素化成零,并且使得非对角元素的平方和减少。
反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和
第三章 矩阵特征值和特征向量计算
工程实践中有许多问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动， 及一些稳定性分析和相关分析可 转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
设A (aij )nn是n阶方阵, 如果数 和 n 维非零向量x满足 Ax x，则称 为 A 的一个特征值， x称为矩阵A对应 于的特征向量。
y(k1) T u(k ) 1 y(k1) T y(k1)，
y u (k1) T (k ) 1 y y (k1) T (k1)
迭代算法3.1
y(k1)
u( k 1) u( k 1)
u(k ) Ay(k1)
k =
y u (k 1) T (k ) y y (k 1) T (k 1)
则有
a(1) pi
a(1) ip
a pi
cos
aqi
sin
a(1) 来自百度文库i
a(1) iq
a pi sin aqi cos
a(1) ij
a(1) ji
aij
(i p,q) (i, j p,q)
a(1) pq
a(1) qp
1 2 (aqq
app )sin 2
a pq
cos 2
如果取使得 cot 2 (app aqq )
k 1, 2,L ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
迭代算法3.3 使用 范数
hr( k
1)
max
1 jn
h(k 1) j
y(k1)
u( k 1) h(k 1)
r
k 1, 2,L ;u(0)任意选取。
x3 0 -0.5714286 -0.7235450 L -0.8944262 -0.8944268
k
6.0000000 31.4081633 L 44.9999275 44.9999710
应用算法3.3的结果
k0
1
2
L
11
12
x1 1 0.2857143 0.5000000 L 0.0002623 0.0001048
i 1
k
i xi
1k1 x1
因此，可把u( k )作为与1相应的特征向量的近似。
同样，我们还有u(k +1)
1k
+1 1
x1
1
u(k )。
u( k +1)与u( k )对应分量近似成比例，比例因子正好近似等
于1,由于迭代公式(3.1)本质上是计算u(k) Ak u(0) , 因此称
这种迭代法为幂法。
A的一些好性质（如稀疏性），因此，反幂法在实际运
算时以求解方程组
Au(k ) u(k1)
代替幂法迭代
u(k ) A1u(k1)
求得u( k )，每迭代一次要解一个线性方程组。由于矩阵
在迭代过程中不变，故当A的阶数不是很大时，可考虑
对A先进行三角分解，则每次迭代只要解两个三角形方
程组。
设n n阶实方阵A满足：
u( k -1)
4 解方程组 Lz y(k-1)，Uu(k ) z；
y u (k1) T (k ) 5 k = y y (k1) T (k1)
6
当 k k1 k
时，以n
1
k
作为n的近似值，y(k )作相
应的近似特征向量。
反幂法的一个应用
用带原点移位的反幂法来修正特征值，并求
相应的特征向量是非常有效的。
设已知A的一个特征值的近似值为 *，因 *
接近i，一般有 0< * i *
(i )
故 *是矩阵A *I的按模最小的特征值，且由
上式可知，比值 * ／i * (i )较小。因 此，对A *I用反幂法求 *一般收敛很快，通
常只要经过二、三次迭代就能达到较高的精度。
算法3.5：
动，则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵A无n个线性 无关的特征量时，幂法收敛很慢，亦应考虑改用其他方法。
幂法计算简便易行，它是求大型稀疏矩阵按模最大特 征值的常用方法。
§3.1.2 反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量
的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最
有效的方法。
设A为n n阶非奇异矩阵， , x为A的特征值与相应
1. 输入A (aij ), 近似值 *，初始向量u(0) ,误差限，最大迭
代次数N。
2. 作三角分解 ( A *I ) LU
3 y(k-1) u(k-1) ; u( k -1)
4 解方程组 Lz y(k-1)，Uu(k ) z；
y u (k1) T (k ) 5 k = y y (k1) T (k1)
2a pq
(
/
4)则有a
(1) pq
空间中的二维坐标旋转矩阵。
坐标旋转矩阵U pq ( )是正交矩阵.
设A为实对称矩阵，且apq aqp 0,若记
A(1)
U
T pq
AU
pq
(ai(j1) )
aaq((p1q1p))
a pp a pp
cos2 aqq sin2 sin2 aqq cos2
a pq a pq
sin 2 sin 2
无关的特征向量。此时有
u(k )
1k
1 x1 L
m xm
m1 1
k
m1 xm1 L
n 1
k
n xn
显然，只要1,L ,m不全为零，当k充分大时，就有
u(k ) 1k (1 x1 L m xm )
因1 x1 L m xm也是矩阵A相应于1的特征向量，所以，
当k充分大时，u( k )仍可近似地作为1对应的特征向量，同样
1
0 1 0.93
1 0 0 0.93 1
0
0
1
0
0
0.93
1
0 1/ 0.93 1 0
0 0.93 1/ 0.93
按算法迭代3次， 3.0000954,与准确值3的误差小于10－4，u
(1, 0.9992431, 0.9991478)T 与准确值(1, -1,1)T比较，残差 r 0.001.
u(
k
)
Ay(k 1)
h1(k ) , h2(k ) ,L , hn(k )
T
k =sign
h(k 1) r
h(k ) r
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
6 12 6 例1：用幂法求矩阵A 21 3 24的按模最大的特征
1o A有n个线性无关的特征向量x1, x2 ,L , xn; 2o A的n个线性无关的特征向量x1, x2 ,L , xn对应的特征值
满足 1 2 L n1 n 。
则用反幂法计算n及相应的一个特征向量的步骤如下:
算法3.4 (反幂法)
1 对A进行三角分解A LU 2 任取非零向量u(0) R做初始特征向量； 3 y(k-1) u(k-1) ;
趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和
特征向量。
一、矩阵的旋转变换
1
O
1
cos
sin
1
U
pq
(
)
O
1
sin
cos
1
O
1
其中，U pq的主对角线元素中upp uqq cos , 其余为1；而其
非主对角线元素中upq uqp sin , 其余为0。称U pq为n维
也有u(k+1) =Au(k) 1u(k).这表明对这种情况幂法仍然有效。
综上可知，当A的特征值分布为
1 2 L n 或 1 2 L m m1 L n (1 2 L m ) 时，用幂法可以计算出1及相应的特征向量。
如果按x(k1) Ax(k)迭代所得向量序列 x(k) 呈有规律的摆
1o A的特征值 由它的特征方程 ( ) det( I A) 0
的根确定。
2o 设为A的特征值，求齐次线性方程组 ( I A)x 0 的非零解, 便得到 A 的属于 的特征向量。
§3.1. 幂法和反幂法 §3.1.1 幂法
幂法用于求矩阵A的按模最大的特征值及相应的特征向量。 一、算法构造及收敛性分析 条件1 设n n阶实方阵A满足： 1o A有n个线性无关的特征向量x1, x2 ,L , xn; 2o A的n个线性无关的特征向量x1, x2 ,L , xn对应的特征值满
§3.2 Jacobi方法
Jacobi方法用来求实对称矩阵的全部特征值及相应特
征向量。理论基础：
(1) 任意实对称矩阵A可通过正交相似变换化成对角阵,即存在
正交矩阵U ,使得 U T AU D diag(1, 2 ,L , n ) 其中i
(i 1, 2,L , n)是A的特征值,U中各列即为相应的特征向量。
的特征向量，即
Ax x x A1 x A1 x 1 x
此式表明，A1的特征值是A的特征值的倒数，而相应的 特征向量不变。因此， 若对矩阵A1用幂法，即可计算 出A1的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的 特征值。 这就是反幂法的基本思想。
因为A1的计算比较麻烦，而且往往不能保持矩阵
k 1, 2,L ; u(0)任意选取。
终止条件：k k1 。 k
最后 k 作为1的近似值，以y ( k 1)作为其对应的特征向量。
迭代算法3.2 (使用 范数) 2
y
(
k
1)
u( k 1)
u u (k1) T (k1)
u(
k
)
Ay ( k 1)
k =
y ( k 1)
u T (k )