齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析
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Z 0 58.499
MX
MN
Y X 233.997 175.497 292.496 350.995 409.494 467.993 526.492 0 53.013 106.026 159.039 212.052 265.065 318.079 371.092 424.105 477.118
a —刀顶圆角圆心 C ρ 距中线的距离； b—刀顶圆角圆心 C ρ 式中：
1.2.1 齿轮渐开线建模
构造极坐标方程是齿轮渐开线建模中最常用的方法： rk = rb （6 ） cosαk θk =tanαk- αk （7 ） rb —基圆半径； αk—渐开线压力角； θk—渐开线展角。 式中： 但由于该渐开线方程都是在局部坐标系下建立的， 很难确定 两齿轮的啮合位置关系， 因此必须统一坐标系， 即以齿轮中心为 原点， 轮齿对称线为中心轴建立新的整体坐标系， 如图 3 所示。
图 5 齿条型刀具加工齿轮的齿廓 Fig.5 Rack-type tool processing gear tooth profile
其中齿根过渡曲线对应的直角坐标方程为： X＝ r′sinφ （ a1 + ρa0 ） cos （α′- φ ） sinα′ Y＝ r′cosφ （ a1 + ρa0 ） sin （α′- φ ） sinα′ φ= 1 （ a1 + b ） r′ tanα′ a1 = a-xm 式中： r′ —齿轮节圆半径； x —齿轮变位系数。
No.7 Jul.2009 1.3.1 接触面单元类型
机械设计与制造
3
确定齿轮接触面单元类型、 约束条件和施加的齿轮载荷。 齿轮相接触属于面-面接触， 需要用面-面接触对单元， 面面接触对单元是由目标面和接触面形成的接触对。ANSYS 分别 用 TARGE169 和 TARGE170 单 元 模 拟 2D 和 3D 目 标 面 ， 用 CONTA171、 CONTA172 和 CONTA173、 CONTA174 单元模拟 2D 和 3D 接触面。论文针对齿轮的接触问题，采用 TARGE169 和 CONTA172 单元模拟 2D 目标面和接触面；用 TARGE170 和 CONTA174 单元模拟 3D 目标面和接触面。
1.3.2 约束条件与齿轮载荷
对于赫兹有限元模型，需将底边和中间轴边线进行全约束， 再将法向力 Fb 施加于模型顶端节点。 而对于齿轮有限元模型， 为 模拟被动齿轮阻力矩， 需将被动齿轮齿圈和轮齿两边界节点进行 全约束， 而只限制主动齿轮两边界的径向与轴向自由度， 再将主 动齿轮的转矩其转化为齿圈节点上的平均切向力： Fy = T （19 ） rk N Fy —主动齿轮齿圈节点上的平均切向力； rk —齿轮齿圈半 式中： 径； N—齿轮齿圈节点总数。
Y E1 v 1 ρ1 F 11
1
1.1.1 法向力的计算
轮齿在节点处啮合时对应法向力 Fb 直齿轮： Fbt =Ft /cosαt 斜齿轮： Fbn =Ft（ / cosαt cosβb ） 式中： Ft —主动齿轮分度圆名义切向力。 Ft = 2000T d
＊来稿日期： 2008-09-06
＊＊
从赫兹二维与三维有限元模型的对比上来 果就必然会产生误差。 看， 三维模型显然具有较高计算精度， 这是由于二维赫兹模型只 能将斜齿轮螺旋角作为载荷修正量予以考虑， 而三维模型则可以 进一步将斜齿轮相对接触线的延长作为端面齿宽的增加进行修 正， 从而减小了模型误差。
NODAL SOLUTION STEP=2 SUB=1 TIME=2 CONTPRES (AVG) DMX=.011525 SMX=526.492 NODAL SOLUTION STEP=2 SUB=1 TIME=2 CONTPRES (AVG) RSYS=0 DMX=.008193 SMX=477.118 MX MN
由此构造的整体极坐标系下的渐开线方程为： rkr = rb cosαkr （11 ） 准kr ＝ 准br + tanαkr - αkr 在确定渐开线各点对应极坐标后， 根据极坐标与直角坐标转
!
i i
换关系， 可得： x =r cos准 ! y =r sin准
i i i
（12 ）
i
准i、 ri —点的极坐标； xi 、 yi —点的直角坐标。 式中：
中 线 刀 具 加 工 节 线
φ 准br O X O
r′
刀具加工节圆
X
图 3 齿轮渐开线整体坐标模型 Fig.3 Gear involute coordinates the overall model
在图 3 中， 齿廓右侧渐开线起点对应极角为， 由几何关系可得 π β 准br = （8 ） 2 2 β —基圆齿厚对应圆心角，它等于节圆张开的圆心角 βr 与 式中： 两侧渐开线展角 θ1 和 θ2 之和。 对于变位齿轮， 节圆张开的圆心角： m π βr = （ +2xtanα ） ＝ 1 （π+4xtanα ） r 2 z 而由式 （7 ） 可得， 渐开线展角： θ1 ＝ θ2 ＝ tanα-α （9 ）
（a ） 二维齿轮模型 （b ） 三维齿轮模型 图 6 齿轮接触有限元模型 Fig.6 Finite element model of gear contact
1.3 齿轮接触分析有限元边界条件
无论是赫兹建模还是齿轮渐开线与过渡曲线建模， 都只是进 行齿轮接触有限元分析的基础， 要进行接下来有限元计算还需要
14
（5 ）
d
D
E
15
2
13 3
根据上述确定的法向力与曲率半径关系， 对应生成 1/4 圆柱
C b B X v2 A
4,12
3
5
4
1
2
图 1 赫兹 1/4 圆柱体模型 Fig.1 Hz 1 / 4 cylinder model
Y Z X Y Z X
GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERS
（15 ） （16 ） （17 ） （18 ）
（10 ）
对于标准重合度直齿轮， 单齿模型可以准确的反映齿轮啮合 接触状态， 但对于斜齿轮， 由于存在端面重合度 εd 和轴向重合度 εβ 的共同作用， 因此其实际齿轮载荷往往是由多对轮齿共同承担 的， 此时需要建立多齿有限元接触模型， 如图 6 所示。
第7期 2009 年 7 月
文章编号： 1001-3997 （2009 ） 07-0001-03 ＊＊＊＊＊＊＊ ＊＊ ＊＊＊＊＊＊＊
ρ2 E2
机械设计与制造 Machinery Design ＆ Manufacture
1
Comparing and analysis on gear contact stress calculation to different finite element modals
1 不同齿轮接触有有限元模型的建立
1.1 赫兹有限元模型的建立
根据赫兹原理建立接触有限元模型[2]， 如图 1 所示。 两个圆柱 无摩擦接触， 在法向力 Fb 的作用下， 齿 体的半径分别为 ρ2 和 ρ2， 面产生接触应力。对于赫兹有限元模型， 虽然不用像传统模型那 样计算各项齿轮应力修正系数，但对法向力 Fb 与啮合曲率半径 ρ2、 ρ2 的计算却还是必要的。
1.2.2 齿轮过渡曲线建模
根据 GB1356-2001 中规定的齿轮齿条基本齿廓，当加工刀 具取标准顶隙 cP =0.25m 时，刀顶圆角半径为 ρa0 =0.38m，如图 4 所示。对应的刀具参数关系如下： a=hop +cp - ρa0 b= πm +hop tanα + ρa0 cosα 4 （13 ） （14 ）
GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERS
（1 ） （2 ） （3 ）
（a ） 二维赫兹模型 （b ） 三维赫兹模型 图 2 1/4 圆柱体赫兹接触有限元模型 Fig.2 1 / 4 cylindrical finite element model of Hertz contact
设 计 与 计 算
齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析
李 杰 张 磊 赵 旗 ） （吉林大学 汽车动态模拟国家重点实验室， 长春 130025
式中： T—齿轮输入转矩； d—齿轮分度圆直径； αt —端面分度圆压 力角； βb—基圆螺旋角。
1.1.2 曲率半径的确定
直齿圆柱齿轮在节点 C 啮合时， 其曲率半径为： d ′ d ′ 1 2 ρ1 ＝ sinα′t， ρ2 ＝ sinα′t 2 2 式中： d′1—齿轮节圆直径； α′2—端面啮合角。 对应斜齿轮在节点 C 啮合时， 其曲率半径为： ρ ρ 1 2 ρn1 ＝ ， ρn2 ＝ cosβb cosβb 式中： ρn1、 ρn2—大、 小齿轮对应法面节点的曲率半径。 体的二维与三维赫兹接触有限元模型， 如图 2 所示。 （4 ）
Y 齿轮渐开线
a1 a
图 4 标准齿条型刀具对应齿廓 Fig.4 Corresponds to the standard rack tooth profile-type tool
齿条型刀具对应的刀具圆角与齿根过渡曲线关系， 如图 5 所示。
xm
Y
b
r′φ
βr ra r′ B C θ2 β rf θ1 rb A 齿轮过渡曲线 γ=α′-φ n ρ ρa0 l lcp P α′ n
LI Jie， ZHANG Lei， ZHAO Qi （Jilin University State Key Laboratory of Automobile Dynamic Simulation， Changchun 130025， China ） 【摘 要】为精确计算齿轮齿面接触应力， 选择与齿轮实际运转情况最为接近的有限元模型， 从赫兹 有限元模型的分析入手， 研究齿轮接触问题的赫兹有限元解法， 然后再将问题扩展到齿轮模型， 最后通过 对比不同有限元模型之间的差异发现， 三维多齿有限元接触模型同齿轮实际运转情况最为接近， 且利用 该模型不但能使计算更加精确， 而且更容易实现变速器齿轮乃至整车的轻量化设计。 关键词： 接触应力； 赫兹； 齿轮； 有限元 【Abstract】In order to compute the gear contact stress accurately， chose the finite element modal that was near to the gear actual operation. It commenced from the analysis of the Hertz model firstly， and stud－ ied the solution for the gear contact problem used the Hertz finite element modal， then expanded the prob－ lem to the gear model， finally found the difference through comparing with the different element modals， the 3D multi-gear contact model was near to the actual gear operation mostly， and made use of this model not only could make the computation more accurately， but also carried out the transmission gear and the whole car reduced in weight design more easily. Key words： Contact stress； Hertz； Gear； Finite element 中图分类号： TH16， U463.212 文献标识码： A
1.2 齿轮接触有限元模型的建立
齿轮接触有限元模型相对于赫兹模型最大的区别在于， 它不
2
李 杰等： 齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析
距刀具齿槽中心线的距离。
α b 中线 a Cp ρa0 hap cp
wenku.baidu.com第7期
但要反映啮合齿轮相互接触的状态， 更要对齿轮齿形即齿轮渐开 线和过渡曲线进行精确的参数化建模。
MX
MN
Y X 233.997 175.497 292.496 350.995 409.494 467.993 526.492 0 53.013 106.026 159.039 212.052 265.065 318.079 371.092 424.105 477.118
a —刀顶圆角圆心 C ρ 距中线的距离； b—刀顶圆角圆心 C ρ 式中：
1.2.1 齿轮渐开线建模
构造极坐标方程是齿轮渐开线建模中最常用的方法： rk = rb （6 ） cosαk θk =tanαk- αk （7 ） rb —基圆半径； αk—渐开线压力角； θk—渐开线展角。 式中： 但由于该渐开线方程都是在局部坐标系下建立的， 很难确定 两齿轮的啮合位置关系， 因此必须统一坐标系， 即以齿轮中心为 原点， 轮齿对称线为中心轴建立新的整体坐标系， 如图 3 所示。
图 5 齿条型刀具加工齿轮的齿廓 Fig.5 Rack-type tool processing gear tooth profile
其中齿根过渡曲线对应的直角坐标方程为： X＝ r′sinφ （ a1 + ρa0 ） cos （α′- φ ） sinα′ Y＝ r′cosφ （ a1 + ρa0 ） sin （α′- φ ） sinα′ φ= 1 （ a1 + b ） r′ tanα′ a1 = a-xm 式中： r′ —齿轮节圆半径； x —齿轮变位系数。
No.7 Jul.2009 1.3.1 接触面单元类型
机械设计与制造
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确定齿轮接触面单元类型、 约束条件和施加的齿轮载荷。 齿轮相接触属于面-面接触， 需要用面-面接触对单元， 面面接触对单元是由目标面和接触面形成的接触对。ANSYS 分别 用 TARGE169 和 TARGE170 单 元 模 拟 2D 和 3D 目 标 面 ， 用 CONTA171、 CONTA172 和 CONTA173、 CONTA174 单元模拟 2D 和 3D 接触面。论文针对齿轮的接触问题，采用 TARGE169 和 CONTA172 单元模拟 2D 目标面和接触面；用 TARGE170 和 CONTA174 单元模拟 3D 目标面和接触面。
1.3.2 约束条件与齿轮载荷
对于赫兹有限元模型，需将底边和中间轴边线进行全约束， 再将法向力 Fb 施加于模型顶端节点。 而对于齿轮有限元模型， 为 模拟被动齿轮阻力矩， 需将被动齿轮齿圈和轮齿两边界节点进行 全约束， 而只限制主动齿轮两边界的径向与轴向自由度， 再将主 动齿轮的转矩其转化为齿圈节点上的平均切向力： Fy = T （19 ） rk N Fy —主动齿轮齿圈节点上的平均切向力； rk —齿轮齿圈半 式中： 径； N—齿轮齿圈节点总数。
Y E1 v 1 ρ1 F 11
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1.1.1 法向力的计算
轮齿在节点处啮合时对应法向力 Fb 直齿轮： Fbt =Ft /cosαt 斜齿轮： Fbn =Ft（ / cosαt cosβb ） 式中： Ft —主动齿轮分度圆名义切向力。 Ft = 2000T d
＊来稿日期： 2008-09-06
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从赫兹二维与三维有限元模型的对比上来 果就必然会产生误差。 看， 三维模型显然具有较高计算精度， 这是由于二维赫兹模型只 能将斜齿轮螺旋角作为载荷修正量予以考虑， 而三维模型则可以 进一步将斜齿轮相对接触线的延长作为端面齿宽的增加进行修 正， 从而减小了模型误差。
NODAL SOLUTION STEP=2 SUB=1 TIME=2 CONTPRES (AVG) DMX=.011525 SMX=526.492 NODAL SOLUTION STEP=2 SUB=1 TIME=2 CONTPRES (AVG) RSYS=0 DMX=.008193 SMX=477.118 MX MN
由此构造的整体极坐标系下的渐开线方程为： rkr = rb cosαkr （11 ） 准kr ＝ 准br + tanαkr - αkr 在确定渐开线各点对应极坐标后， 根据极坐标与直角坐标转
!
i i
换关系， 可得： x =r cos准 ! y =r sin准
i i i
（12 ）
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准i、 ri —点的极坐标； xi 、 yi —点的直角坐标。 式中：
中 线 刀 具 加 工 节 线
φ 准br O X O
r′
刀具加工节圆
X
图 3 齿轮渐开线整体坐标模型 Fig.3 Gear involute coordinates the overall model
在图 3 中， 齿廓右侧渐开线起点对应极角为， 由几何关系可得 π β 准br = （8 ） 2 2 β —基圆齿厚对应圆心角，它等于节圆张开的圆心角 βr 与 式中： 两侧渐开线展角 θ1 和 θ2 之和。 对于变位齿轮， 节圆张开的圆心角： m π βr = （ +2xtanα ） ＝ 1 （π+4xtanα ） r 2 z 而由式 （7 ） 可得， 渐开线展角： θ1 ＝ θ2 ＝ tanα-α （9 ）
（a ） 二维齿轮模型 （b ） 三维齿轮模型 图 6 齿轮接触有限元模型 Fig.6 Finite element model of gear contact
1.3 齿轮接触分析有限元边界条件
无论是赫兹建模还是齿轮渐开线与过渡曲线建模， 都只是进 行齿轮接触有限元分析的基础， 要进行接下来有限元计算还需要
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（5 ）
d
D
E
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根据上述确定的法向力与曲率半径关系， 对应生成 1/4 圆柱
C b B X v2 A
4,12
3
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2
图 1 赫兹 1/4 圆柱体模型 Fig.1 Hz 1 / 4 cylinder model
Y Z X Y Z X
GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERS
（15 ） （16 ） （17 ） （18 ）
（10 ）
对于标准重合度直齿轮， 单齿模型可以准确的反映齿轮啮合 接触状态， 但对于斜齿轮， 由于存在端面重合度 εd 和轴向重合度 εβ 的共同作用， 因此其实际齿轮载荷往往是由多对轮齿共同承担 的， 此时需要建立多齿有限元接触模型， 如图 6 所示。
第7期 2009 年 7 月
文章编号： 1001-3997 （2009 ） 07-0001-03 ＊＊＊＊＊＊＊ ＊＊ ＊＊＊＊＊＊＊
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机械设计与制造 Machinery Design ＆ Manufacture
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Comparing and analysis on gear contact stress calculation to different finite element modals
1 不同齿轮接触有有限元模型的建立
1.1 赫兹有限元模型的建立
根据赫兹原理建立接触有限元模型[2]， 如图 1 所示。 两个圆柱 无摩擦接触， 在法向力 Fb 的作用下， 齿 体的半径分别为 ρ2 和 ρ2， 面产生接触应力。对于赫兹有限元模型， 虽然不用像传统模型那 样计算各项齿轮应力修正系数，但对法向力 Fb 与啮合曲率半径 ρ2、 ρ2 的计算却还是必要的。
1.2.2 齿轮过渡曲线建模
根据 GB1356-2001 中规定的齿轮齿条基本齿廓，当加工刀 具取标准顶隙 cP =0.25m 时，刀顶圆角半径为 ρa0 =0.38m，如图 4 所示。对应的刀具参数关系如下： a=hop +cp - ρa0 b= πm +hop tanα + ρa0 cosα 4 （13 ） （14 ）
GEARr HERTZ CONTACT BETWEEN TWO CYLINDERS
（1 ） （2 ） （3 ）
（a ） 二维赫兹模型 （b ） 三维赫兹模型 图 2 1/4 圆柱体赫兹接触有限元模型 Fig.2 1 / 4 cylindrical finite element model of Hertz contact
设 计 与 计 算
齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析
李 杰 张 磊 赵 旗 ） （吉林大学 汽车动态模拟国家重点实验室， 长春 130025
式中： T—齿轮输入转矩； d—齿轮分度圆直径； αt —端面分度圆压 力角； βb—基圆螺旋角。
1.1.2 曲率半径的确定
直齿圆柱齿轮在节点 C 啮合时， 其曲率半径为： d ′ d ′ 1 2 ρ1 ＝ sinα′t， ρ2 ＝ sinα′t 2 2 式中： d′1—齿轮节圆直径； α′2—端面啮合角。 对应斜齿轮在节点 C 啮合时， 其曲率半径为： ρ ρ 1 2 ρn1 ＝ ， ρn2 ＝ cosβb cosβb 式中： ρn1、 ρn2—大、 小齿轮对应法面节点的曲率半径。 体的二维与三维赫兹接触有限元模型， 如图 2 所示。 （4 ）
Y 齿轮渐开线
a1 a
图 4 标准齿条型刀具对应齿廓 Fig.4 Corresponds to the standard rack tooth profile-type tool
齿条型刀具对应的刀具圆角与齿根过渡曲线关系， 如图 5 所示。
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Y
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βr ra r′ B C θ2 β rf θ1 rb A 齿轮过渡曲线 γ=α′-φ n ρ ρa0 l lcp P α′ n
LI Jie， ZHANG Lei， ZHAO Qi （Jilin University State Key Laboratory of Automobile Dynamic Simulation， Changchun 130025， China ） 【摘 要】为精确计算齿轮齿面接触应力， 选择与齿轮实际运转情况最为接近的有限元模型， 从赫兹 有限元模型的分析入手， 研究齿轮接触问题的赫兹有限元解法， 然后再将问题扩展到齿轮模型， 最后通过 对比不同有限元模型之间的差异发现， 三维多齿有限元接触模型同齿轮实际运转情况最为接近， 且利用 该模型不但能使计算更加精确， 而且更容易实现变速器齿轮乃至整车的轻量化设计。 关键词： 接触应力； 赫兹； 齿轮； 有限元 【Abstract】In order to compute the gear contact stress accurately， chose the finite element modal that was near to the gear actual operation. It commenced from the analysis of the Hertz model firstly， and stud－ ied the solution for the gear contact problem used the Hertz finite element modal， then expanded the prob－ lem to the gear model， finally found the difference through comparing with the different element modals， the 3D multi-gear contact model was near to the actual gear operation mostly， and made use of this model not only could make the computation more accurately， but also carried out the transmission gear and the whole car reduced in weight design more easily. Key words： Contact stress； Hertz； Gear； Finite element 中图分类号： TH16， U463.212 文献标识码： A
1.2 齿轮接触有限元模型的建立
齿轮接触有限元模型相对于赫兹模型最大的区别在于， 它不
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李 杰等： 齿轮接触应力计算不同有限元模型的比较分析
距刀具齿槽中心线的距离。
α b 中线 a Cp ρa0 hap cp
wenku.baidu.com第7期
但要反映啮合齿轮相互接触的状态， 更要对齿轮齿形即齿轮渐开 线和过渡曲线进行精确的参数化建模。