三角形边长的计算公式

三角形边长的计算公式

解三角形

解直角三角形（斜三角形特殊情况）：

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2, 其中a 和b 分别为直角三角形两直角边，c 为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4 和5 的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.

解斜三角形：

在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R 为三角形外接圆半径) （2）余

弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊

情况。（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab

斜三角形的解法：

已知条件定理应用一般解法

一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出 b 与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正

弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有

解时有一解。

三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用

A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C 边，可有两解、一解或无解。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）

内容：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方。几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90°，则AB²

+BC²=AC²勾股定理的逆定理也成立，即两条边长的平方之和等于

第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC

满足，则∠ABC=90°。

[3]射影定理（欧几里得定理）

内容：在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高

的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的

线段长度的乘积。几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90°，作BD

⊥AC，则BD²＝AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC 满足∠

ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB²=BD·BC (2)AC²;=CD·BC

(3)ABXAC=BCXAD

正弦定理

内容：在任何一个三角形中，每个角的正弦与对边之比等于三角形

面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中，

sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S 三角形/abc 结合三角形面积公式，可以变

形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R 是外接圆半径）

余弦定理

内容：在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方

和减去这两边的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC 中，a²=b²+c²-2bc×cosA 此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）÷2bc