抛物线与直角三角形

7 ， 4
解出 P2 (
9 105 7 9 105 7 , ) ， P3 ( , )。 4 4 4 4
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：由等腰三角形变化为等腰直角三角形，数学思维训练如抽丝剥茧，层层 深入，通过以上问题变式，打破了学生思维的封闭性，训练学生类比推理的能力，
通过“再建模型”培养了学生的求异思维，深化了对分类讨论、建模转化等方法的
解法探究：
如图，设直线 PC 的解析式为 y kx 1 ，设 P(t , kt 1) ，类比上述方法，过点 P 作 PE x 轴于 点 E ， PE OE EB ， (kt 1)2 t (4 t ) ， k 2t 2 2(k 2)t 1 0 ，有且只有一个点 P ，意涵
串联融通，丰富了学生解题经验。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
拓展 1 如图，已知抛物线 y
1 2 1 b x (b 1) x 4 4 4
（ b 是实数且 b 2) 与 x 轴的正半轴分别交于点 A 、 B （点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的正半 轴交于点 C 。 （1）点 B 的坐标为______，点 C 的坐标为_______（用含 b 的代数式表示） ； （2）请 你探索在第一象限内是否存在点 P ，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b ，且 PBC 是以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
问题图式是与问题解决有关的知识组块，是已有问题解决成功样例的概 括和抽象。它可被当前问题情境的某些线索激活，进而预测或猜测某些未知 觉到的线索，有助于问题表征的形成。这里，从典型问题出发，通过变式进 行纵向拓展，逐渐演化成代表一类问题的概括性内部表征，是形成灵活应用
法和程序，并用以指导整个解题活动的训练。因此，建立“问题图式”对于学生掌握知识和 培养能力，提高初三数学复习效率都具有较高的价值。
思想方法
（1）在问题解决中，通过分析和反思把方法形成了数学解题策略，从多角度来挖掘思维深度。 从数学思想方法角度来完善和理解数学问题图式，对于探索发现的结论拓展变式，挖掘思维
角形问题所选用的方法。
复习要点 问题启智，形成图式
问题图式表征：
（1）如何构建问题图式揭示几何图形特征？
（2）如何求解抛物线问题背景下的直角三角形顶点坐标？ （3）如何用特殊点的坐标刻画相关线段的长度？
复习要点 问题启智，形成图式
复习要点 问题启智，形成图式
复习要点 问题启智，形成图式
效能分析：引导学生画图、识图澄清一些模糊认识， 找到庐山真面目，顿悟二次函数图像的对称性和直角 三角形所构成的几何图形，自我纠错反思的同时也让 其他同学站在同伴的肩膀上，对自己曾经的思考进行 有效调整和逐步深化，将思维引向深处，比较思想、 方法的利弊将知识内化为能力，提升为思想。 （1）尝试添加辅助圆，运用直径所对的圆周角是直 角判断直角顶点。 （2）用勾股定理的逆定理或相似三角形角的特殊关
问题图式
（1）数学学习中，从掌握知识到形成能力，需要经历一定的解决问题训练。认知心理学的图 式理论认为，学生在解题训练中形成了问题图式，而解题能力实际上是问题图式的迁移能力。 所谓问题图式，是指由与问题类型相关的原理、概念、关系、规则和操作程序构成的知识综 合体，是解决一类数学问题所特有的认知方式，具有较强的针对性，因此能极大地提升解决 问题的有效性。
Q1 (3, 101 15 7 ) ， Q2 ( , ) 。 8 4 8
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：本题探究将动点问题迁移到圆的问题情境中的等腰三角形问题中，引导 学生在前面已解决的问题铺垫中，万变不离其“宗”，比较图形特点，多途径的整
合和拓展，强化转化和化归的应用意识。帮助学生认识蕴涵在这些变化中的图形特
9 7 1 9 13 422 11 422 P ( t , t ) ，代入 y x 2 x 1 ，得出 P ( , ) 1 4 4 2 4 4 8 4 8
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
如图，过点 P 作 PD x 轴于 D ，当 BQ PB 时， Rt BEQ ≌ Rt PDB ， PD EB
解法探究：
如图，以 PA 为直径的圆 M 的圆心为 M ， A( , 0) ， P(5, ) ， M (
1 2
9 4
11 9 , ) ， QAP 中， 4 8
1 2 9 y x x 1 53 2 4 AQ PQ ，有 MQ AP 于 M ，直线 QM 解析式为 y 2 x ， ，求出 53 8 y 2 x 8
（2）类比“题型加技巧” 的教学，以建立“问题图式”为目标的教学并不关注“一招一式”
的解题方法，它关注相关知识的联系性，强调数学思想方法的纽带作用，从而能帮助学生在 头脑中形成相关的知识组块；重视成功解题经验的总结与概括，并强调将经验抽象成为一定
的解题策略，从而增强经验的可迁移性；强调在新问题情境下激活问题图式蕴含的策略、方
是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点，问题（2）没有纠缠细节，
直奔主题，凸现数学建模的示例功能。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
变式 1 若点 P 在过点 C 的直线 y kx b 上移动，只存在一个点 P 使 OPB 90 ，求此 时这条过点 C 的直线解析式。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
(2t 1)2 t (4 t ) ，∴ t
4 11 3 2 11 4 11 3 2 11 4 11 ( , ) P ( , )。 ，∴ P ， 1 1 5 5 5 5 5
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：将函数问题通过巧妙构图转化，数形结合，建立建立几何模型， 读懂题意，把分散的条件集中在直角三角形中，正确解题。数学问题图式
解法探究：
如图，题意说明直线 AC AP 于 A ，直线 AC 解析式为 y 2 x 1 ，直线 AP 解析式为
1 2 9 y x x 1 1 1 9 2 4 y x ， ， 可求出点 P(5, ) ， 另解过点 P 作 PH x 轴于 H ，Rt COA 1 1 2 4 4 y x x 2 4
点，有助学生提高对此类问题及其解决策略的认识、理解与掌握。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
变式 4 点 P 为抛物线上一点， 连接 BP ， 并以 BP 为边作等腰直角 BPQ ， 当顶点 Q 恰好落在抛 物线的对称轴上时，求出对应的点 P 坐标？
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
如图，过点 P 作 PF EQ 于 F ，当 PQ PB 时， Rt PFQ ≌ Rt QEB ，设 EQ FP t ，有
基础上，变式拓展，尽管问题的背景发生了变化，但解决问题的方法不变，反映了
动点问题“变化中不变”的规律。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
变式 3
P 为抛物线上一点， 以 PA 为直径的圆与直线 AC 相切于点 A ， 在抛物线上找一点 Q ， 使
QAP 是以 AP 为底边的等腰三角形。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
初三数学专题讲座
课题 问题图式教学——例谈“抛物线与直角三角形”复习
目标要求 问题图式 思想方法
Contents
目录
复习要点 方法提炼 课后延伸 几点思考
目标要求
理解二次函数图像上点的坐标特征和几何意义，依据抛物线上特殊点的 坐标与方程的关系，运用直角三角形、相似三角形的判定和性质，尝试运用 问题图式解决抛物线背景下的直角三角形相关问题。通过该专题的复习，探 索有效的初三数学复习策略。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
1 2 1 问题 3 如图，已知二次函数 y x mx 1 的图象过 x 轴上的交点 A( , 0) 和点 B ，且与 2 2
y 轴交于点 C 。 （1）求此二次函数的解析式； （2）若点 P 是直线 AC 上一动点，当 OPB 90
时，求点 P 坐标。
∽ Rt AHP ，设 P ( 2t , t ) ，代入 y
1 2
1 2 9 9 x x 1 ，可求出 t 。 2 4 4
复习要点 激活问题可转化为方程问题，也可建立相似的直角 三角形模型，通过对图形的特征研究，形成转化思路，在巩固深化上述探究方法的
系确定待定顶点的位置。
（3）二条互相垂直直线的斜率积为-1，运用联立直 线和抛物线的方程组求解交点坐标。
复习要点 问题启智，形成图式
复习要点 问题启智，形成图式
解法探究：
效能分析：
（1）由坐标到线段间的相互转化。 （2）运用整体思想求解
（3）寻求等量关系，转化方程求解。
复习要点 问题启智，形成图式
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
如图，求出二次函数解析式 y
1 2 9 x x 1 ，直线 AC 解析式为 y 2 x 1 ，点 P 在直线 AC 2 4
Rt OPB 中 ， 有 PD2 OD DB ，
上 ， 设 P(t , 2t 1) ， 过 点 P 作 PD x 轴 于 点 D ，
刻地认识问题之本质。一个想法使用一次是技巧，经过多次使用可形成为 方法，指导学生从图形的特殊性质出发，探索出解决问题一般思路。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
变式 2 若点 P 为抛物线上一点， 若以 PA 为直径的圆与直线 AC 相切于点 A ， 求 P 点坐标？
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
2
为关于 t 的一元二次方程有两个相等的实数根， 即 0， 有k
3 3 ， 所求直线解析式为 y x 1 。 4 4
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：挖掘函数图象相关的问题，帮助学生熟练对文字语言、几何图 形、符号语言的相互转化，自觉形成实现三者间转化的意识，帮助学生正
确识图，抓住图形关键点构建母子直角三角形相似的几何模型，全面、深
问题图式表征：问题探究抓住图形的关键点研究图形，数
形结合，寻找直角三角形的基本模型，转化为方程问题， 总结的一般方法。
复习要点 问题启智，形成图式
解法探究：
不存在
复习要点 问题启智，形成图式
效能分析：运用转化思想变通数学问题，
一图多绎、多题归一再探究，防止学生思
维浮于表面，关注形成解题思路的依据是 什么？解决问题的方法是什么？如何在解 决问题后提炼出一般的方法？ （1）运用两点间的距离公式求出相关线 段长度。 （2）掌握分类讨论时有序表述的方法， （3）体会数形结合的数学方法。
深度，由浅入深、层层深入，揭示抛物线背景下的几何图形变换的规律，提高了学生解题能
力，真正把学生从题海中解救出来，形成“以问题引领，数学思维训练为核心”的教学特色。 （2）坐标线段间的相互转化、分类讨论，数形结合思想、方程、函数思想的运用。
复习要点 问题启智，形成图式
把一道典型题及解法作为图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研 究，形成合理的知识组块和问题图式。这里，归纳提炼形成问题图式的过程 属发现性思维，注重数学规律的揭示、解题策略的优化、合情推理与演绎推 理的融合，目的是利用图式启智，引导学生探索和发现解决抛物线和直角三
问题图式解决问题能力的有效途径。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
1 2 3 1 问题 2 如图，二次函数 y x x 2 的图像与直线 y x 4 相交于点 A 、 B ，已知点 2 2 2 P 为 x 轴上的一个动点，且 PAB 为直角三角形时，求 P 点的坐标。
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上通过寻求不 同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、灵活性、和敏捷性。
（1）分类讨论，画出图形，
（2）勾股定理或求解相关垂直线的解析式转化到方程解决问题。 （3）数形结合构造相似三角形，转化到方程（组）解决问题。