近世代数主理想环

（1）
令 m niZ [i]. 并由（1）得
/ (r m) (s n)
2 2
1 1 1 1. 4 4 2
（2）
现在令 . 显然 0 N . 于是由（2）得
/
但 是 N 中绝对值最小的非零元，故 0. 从而
( p)
是一个域， 又根据 p | ab 知
ab ( p) 从 而 (a ( p))(b ( p)) ab ( p) ( p) 但 域 无 零 因 子 ， 因 此 a ( p) ( p) 或 b ( p) ( p) 即 a ( p) 或 b ( p) 亦即 p | a 或 p | b 这说明
则 (ai ) (a j ) ， 从而 a (a j ) ， 于是 a b, ra (a j ) N 因此 N 是 K 的一个理想， 因为 K 是主理想环，所以 N (d ) 于是 d N (ak ) 从而 d 属于某个 (an ) 下证
an 是序列(1)中最后一个元素。若不然，设在(1)中还有 an1 则由于 d (an ) ，
是主理想环。 2 i 4、证明： Z
习 题 二 十 八 解 答 1 、证明 设 d 为 a , b 的任意一个公因子，则 d | a 且 d | b ，从而
d | (sa tb) ，由已知得 d 1 ，故 d 为单位，所以 a , b 互素。
2 、证明 设 a 是主理想环 D 的任意一个非零极大理想，则
( ). ，因此 N ( ) 。
的极大理想，与已知矛盾。所以 a 是素元。
3、解
由 于 x5 x3 1 x3 x 2 1 1 ， 所 以
1 x 2 1, x 5 x 3 1 ，于是得
2 5 3 x 1, x x 1 1 F [ x] 。
的任意一个理想， a 是 N 2 i 4、证明 令 N 是 Z
g ( x) f ( x) q ( x) r ( x) ，
g ( x) A ， 其中 r ( x) 0 或 (r ( x)) ( f ( x)) 。 因 f ( x) ， 所以 r ( x) A ，
故 r ( x) 0 。从而
g ( x) f ( x) q ( x) ，
即 A ( f ( x)) ，因此 Q x 是主理想环。 本节要证明的一个主要结论是主理想环一定是唯一分解环， 为 此，先证明以下两个引理。
引理 1 设 K 是一个主理想环，若在序列 a1 , a2 ,...,ai ,... (ai K ) 每个元素都是前一个元素的真因子，则这个序列一定是有限序列。
(1)中，
证明： 作主理想 (a1 )、 对这些元素中的每一 (a2 )、 (a3 )...因 ai 1 是 a i 的真因子， 个 作 主 理 想 ， 必 得 (a1 ) (a2 ) (a3 ) ... ， 令 N (a1 ) (a2 ) (a3 ) ... 则
a、b N 及 r K 总有 a (ai ), b (a j ) 其中 i, j 为某两个正整数，假设 i j ，
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第四章
整环里的因子分解
第 28 讲
第四章 整环里的因子分解
§3 主理想环
在这一节和下一节，我们介绍两种特殊的唯一分解 环，那就是主理想环和欧氏环，它们对我们判断一个整 环是不是唯一分解环有一定帮助。 本节介绍第一种唯一分解环——主理想环。 定义１ 环中由一个元素生成的理想称为主理想， 如果在一个有单位元的整环中每一个理想都是主理想， 则称此环为主理想环。 例 1 整数环 Z 是否为主理想环？ 解 设 A 是 Z 的任一理想，由于 A 是 Z 的子加群， 而 Z 中的子加群都是循环群，所以存在 n Z 使 A n ， 即 A 是主理想。所以 Z 是主理想环。
a ( p) ，从而 (a) ( p) ，于是 (a) ( p) ，这说明 ( p ) 是 K 的极大理想。
定理 4.3.1 主理想环是唯一分解环。 证明 设 K 是一个主理想环，任取 a K 且 a 0 也不是单位。 首先证明 a 的任何真因子链是有限的。用反证法，设有一个无限的真 因子链
例 2 证明 Q x 是主理想环。 证明 设 A 是 Q x 的任意理想，若 A 0 ，则 A 0 。若
A 0 ，则在 A 中取一个次数最低的多项式 f ( x) ，对 g ( x) A ，
有 q( x) Q[ x] ， r ( x) Q[ x] 使得
i0
元素 r K 使 A (r ) 。由 r A 可设 r (ak ) ，则 a k | r 。又因 ak A (r ) ， 得 r | a k 。故 ak 与 r 相伴，类似可得 a k 1 与 r 相伴。于是有 a k 1 与 ak 相伴， 这与 a k 1 是 ak 的真因子矛盾。因此 a 的任何真因子链是有限的。 其次,设 p 是 K 的一个不可约元，且 p | ab ，则由于 K 是主理想环， 故由引理 2 知 ( p ) 是 K 的极大理想， 从而 K
中绝对值最小的一个非零元素，下证 N a 。 任取 N ，显然
/ Q[i ] a bi a, b Q ,
令 / r si(r , s Q). 选取分别最接近 r , s 的整数 m, n ，即
1 0 r m , 2
1 0 sn . 2
K 中的不可约元都是素元。 综上，由定理 4.2.3 知 K 是唯一分解环。
注意：这个定理的逆命题不成立，即一个唯一分解环 不一定是一个主理想环。 例如 Z x 是一个唯一分解环，但 Z x 不是主理想环， 因为理想 (2, x) 就不是主理想。
习 题 二 十 八 1、设 K 为主理想环，a, b K ，如果 as bt 1 ，其中 s, t K ， 证明 a、 b 互素。 2、一个主理想环的非零极大理想都是由一个素元生成的。 3、数域 F 上的多项式环 F x 的理想 ( x2 1, x5 x3 1) 是怎样 的一个主理想。
a a0 , a1, a2 , , ai ,， (ai K ) ，
其中 ai 1 是 ai 的真因子，则对应一个真理想序列：
a a1 a2 ，
令
A ai ，显然 A 也是 K 的一个理想，由于 K 是主理想整环，存在
a D ，故 a 不是单位。由 a 0 得 a 0 。若 a 不是素元，则
a bc ，其中 b 为 a 的真因子。于是 b a ，但 b 不是的相伴元，从而 b a ，这样 a 就不是 D
an1 N (d ) 因此 an | d , d | an1 。从而 an | an1 ，这与 an1 是 an 的真因子矛盾。
引理 2 证明
主理想环中不可约元生成的理想是极大理想。 设 p 是主理想环 K 中的一个不可约元， 而 N (a) 是 K 的一个理
想，且 ( p) (a) 则 a | p ，但 P 是不可约元，故 a 只能是单位或 P 的相伴元。 若 a 是单位，则 (a) K ， 若 a 是 p 的相伴元，则 a p ( K的单位)