SA13006060_左元_光子晶体光纤中导模的仿真

光子晶体光纤中导模的仿真

左元SA13006060

June29,2014

1背景简介

1.1光子晶体光纤

光子晶体是目前一个热门的研究方向，吸引着越来越多的研究人员的关注。光子晶体是一种周期结构，这种结构的折射率在空间分布上存在着周期性。研究人员希望通过光子晶体这种材料控制光的光学性质，利用光子晶体，可以让特定频率的光实现完美的反射，或者让它们只在某个特定的方向传播。光子晶体这种材料的这些性质，显示出它在激光工程、高速通信和计算等领域的潜在价值[1]。

图1显示的分别是一到三维的光子晶体示意图，从图中可以看到光子晶体材料的折射率在空间分布存在着固定的周期，这也是被称为“晶体”的一个原因。类比于常规的晶体，晶格对波的散射性质可以知道，光子晶体对光也会有类似的性质。类似于晶体的能量禁带概念，光子晶体也有光子带隙的概念。光子带隙会阻止特定方向传播的特定频率的光[1]。

图1:光子晶体

利用光子晶体的特性，可以制作出光子晶体光纤，也叫微结构光纤。图2是三种不同类型的光子晶体光纤，分别是布拉格光纤（一维光子带隙光纤）、二维光子带隙光纤、Holey光纤。应用中用得最多的是后面两种，光子带隙光纤利用光子带隙对光进行约束，让光在纤芯的低折射率的孔洞中传播。通常孔洞中导光材料是空气，因此可以有效的减少损耗、不希望的非线性特性以及其他不希望的特性。另一种是折射率导光光子晶体光纤(第三种)，这种结构的光纤不是

利用光子带隙，而是利用这种周期结构形成低有效折射率，而纤芯是高折射率材料，从而可以利用全内反射进行导光，将光约束在纤芯中[1]。

图2:光子晶体光纤

1.2时域有限差分(FDTD)方法

1966年，Yee首先提出麦克斯韦方程的时域有限差分求解方法，用来处理电磁场的传播和反射问题[2]。通过将微分方程离散化，利用数值方法求解方程的数值解。此后该方法得到进一步发展，1981年，Mur提出了在计算区域界断边界处的一阶和二阶吸收边界条件(ABC)[3]。后来，Berenger进一步提出了用完全匹配层(PML)做吸收边界条件[4]。这两种吸收边界条件被广泛地利用到仿真当中。

由于FDTD方法是直接从时域求解麦克斯韦方程，随时间的推进可以方便的给出电磁场随时间的演化过程。在计算机上利用伪彩色显示这种动态过程，这种可视化清楚的显示了物理过程，也有助于对物理问题的分析和理解。本文在仿真过程中也采用了这种可视化方法，得到了电场随时间演化的视频，作为附件放在邮件之中。

2理论分析

2.1光子晶体光纤的数值模型

本文将采用FDTD方法对光子晶体光纤的导模场进行仿真。光子晶体光纤的横截面介电常数分布如图3所示，深色的表示空气，光在纤芯的空气层中传导。光在介质中的传播行为可以用介质中的麦克斯韦方程来描述，其中两个旋度方程为

−σm H−µ∂H

∂t

=∇×E(1)

σE+ϵ∂E

∂t

=∇×H(2)

其中µ,ϵ,σ,σm分别是磁导率、介电常数、电导率、磁导系数，他们与位置有关。旋度方程离散化后可以得到6个标量一阶微分方程。对于光子晶体光纤仿真问题，假设场沿z轴传播，具有传播常数β。即场分量具有形式ϕ(x,y,z)=ϕ(x,y)e iβz。因此，对z的偏导可以用常数iβ替代，并且可以将3维的仿真问题转换为2维的FDTD仿真问题。进一步，为了避免复数的出现，让E z,H x,H y具有cos(βz)成分，而E x,E y,H z具有sin(βz)成分。于是，可以得到

图3:光子晶体光纤横截面介电常数分布

FDTD 的更新方程

H x |n +12

i,j +12=

1−σm ∆t 2µ1+σm ∆t 2µH x |n −12i,j +12−11+σm ∆t 2µ∆t µ∆y (E z |n i,j +1−E z |n i,j )+11+σm ∆t 2µβ∆t µE y |n i,j +12H y |n +12

i +12,j =

1−σm ∆t 2µ1+σm ∆t 2µH x |n −12i +12,j +11+σm ∆t 2µ∆t µ∆y (E z |n i +1,j −E z |n i,j )−11+σm ∆t 2µβ∆t µE y |n i +12,j H z |n +12i +12,j +1

2=1−σm ∆t 2µ1+σm ∆t 2µH z |n −12i,j +12−11+σm ∆t 2µ

∆t µ∆x (E y |n i +1,j +12−E y |n i,j +12)+11+σm ∆t 2µ

∆t µ∆y (E x |n i +12,j +1−E x |n i +12,j )E x |n +1i +12,j =1−σ∆t 2ϵ1+σ∆t 2ϵE x |n i +12,j +11+σ∆t 2ϵ∆t ϵ∆y

(H z |n +12i +12,j +12−H z |n +12

i +12,j −12)+11+σ∆t 2ϵβ∆t ϵH y |n +12i +12,j E y |n +1i,j +12=1−σ∆t 2ϵ1+σ∆t 2ϵE x |n i,j +12−11+σ∆t 2ϵ∆t ϵ∆y

(H z |n +12i +12,j +12−H z |n +12

i −12,j +12)−11+σ∆t 2ϵ

β∆t ϵH x |n +12i,j +12E z |n +1i,j =1−σ∆t 2ϵ1+σ∆t 2ϵE x |n i,j +12+11+σ∆t 2ϵ∆t ϵ∆x (H y |n +12i +12,j −H y |n +12

i −12,j )−11+σ∆t 2ϵβ∆t ϵ(H x |n +1

2i,j +12−H x |n +12i,j −12)(3)

其中Yee 元包中节点的选取如表1所示，电厂和磁场在时间和空间上交替采样。

本文仿真的光子晶体光纤是有缺陷的Holey 光纤，它的横截面介电常数分布如图3所示。为了求解导模的场分布，可以通过初始化所有模场分量都有的一个初始场，通过时间的筛选，最终达到稳定时剩下的就是导模[5,6]。从仿真过程来看，不是导模的成分就会被完美匹配层吸收掉，物理上来看，则是辐射出去了，只有导模才会被光子晶体光纤的周期结构束缚在光纤中。