微分中值定理关系浅析

&@(
C&)($ %&)(4 %&+(4 L/*&)(4 *&+(0. 设 %&)(P*&)(在/+"-0上连续"在&+"-(内可导"则函数 C&)(显然在/+"-0上连续"在&+"-(内可导" 且 C&+($C&-($ N"所以 C&)(满 足 DEFFG中 值 定 理 的 三个条件"因而在 &+"-(内 至 少 存 在 一 点 M"使 得
L$
%5&M(代 入 *5&M(
&@("改
写得
9:;<=>中 值 定 理 Q
@(令
*&)($ )"则
*5&M($ ?"而 &@(式 中
*&+($ +"*&-($ -"将
L$
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入
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写
得
H:IJ:KIG
%0
佛 山 科 学 技 术 学 院 学 报 1自 然 科 学 版 2
第 ,3卷
C5&M($N"即 %5&M(4L*5&M($N"所以 L$ %*55&&MM((. ?(设 %5&)("*5&)(在&+"-(内不 同 时 为 零"且 *&+(O*&-("必 有 *5&M(O N"否 则"若 *5&M($ N"由 式
%5&M(4 L*5&M($ N得
%5&M($ N"这 是 不 可 能 的 "将
C&)($
%&)(4
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%&-(4 -4
+%&+(&)4
+(
与
C&)($
%&)(4
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*&+(0
再应用 DEFFG定理"可完成这两个定理的证明.显然"在证明中辅助函数 C&)(起了由特殊的 DEFFG定理
过渡到一般的 H:IJ:KIG定理与 9:;<=>定理的桥梁作用.这是应用特殊证明一般的常用方法.下面是
&光 滑 (曲 线
1"从 点
2/*&+("%&+(0连 续 变 化 到 终 点
3/*&-("%&-(0.由 解
析
几何
知 "差
商
%&-(4%&+(表 *&-(4*&+(
示 连接曲线 1的始点 2 与终点 3的割线斜率"导数之商 %*55&&66(("&+767-("表示当参数 ’$6时"曲线 1 上某点 8/*&6("%&6(0的切线斜率.柯西定理的几何意义是"曲线 1上至少存在一点 8/*&6("%&6(0"该
第 !"卷第 #期
佛 山 科 学 技 术 学 院 学 报 $自 然 科 学 版 %
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!++,年 -月
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佛山科学技术学院学报（自然科学版） JOURNAL OF FOSHAN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 2006，24(3) 0次
参考文献(5条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 1988 2.毛羽辉.蒋国芳 数学分析解题指南 1985
3.刘文武 两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨[期刊论文]-数学的实践与认识 2005(08) 4.袁文俊 微分中值定理教学改革探讨[期刊论文]-广州大学学报(自然科学版) 2004(03) 5.路可见 关于微分中值定理的思考[期刊论文]-高等数学研究 2002(03)
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D 微分中值定理形式上的统一
若函数 U$V%与 W$V%在 XYHZ[上 连 续H在 $YHZ%内 可 导HU\$V%与 W\$V%在 $YHZ%内 不 同 时 为 零H且 W $Y%]W$Z%H则在$YHZ%内至少存在一点 ^H使得
UW\\$$^^%%_
U$Z%‘ W$Z%‘
UW$$YY%%P
这就是著名的 O2/>6<中值定理H它给出了其它几个微分中值定理的统一形式
第 !期
谈 悦 华 等 S微 分 中 值 定 理 关 系 浅 析
R
如图 !"将函数 #$%&’(与 )$*&’("+,’,-"看做是以 ’为参数的参数方程.当函数 #$%&’(与 )$ *&’(在/+"-0上满足柯西定理 的 条 件 时"参 数 方 程 #$%&’(与 )$*&’(的 图 像 是 )#坐 标 平 面 上 的 一 条
几 何特征在不同条件&主要是曲线方程的不同(下分析表述的结果"微分学三个中值定理由一条曲线串
在 一 起 "其 内 在 联 系 清 晰 明 了 .
! 微分中值定理证明的统一
已 知 洛 尔 定 理 是 拉 格 朗 日 定 理 的 特 殊 情 况 "也 是 柯 西 定 理 的 特 殊 情 况 .证 明 拉 格 朗 日 定 理 与 柯 西 定 理 "分 别 构 造 了 辅 助 函 数
点的切线平行 于 连 接 两 点
2与
3
的
割
线
"它
们
的
斜
率
相
等 "即
%*55&&66(($
%&-(4 *&-(4
*%&&++(("&+7
67
-("此
为
9:;<=>中 值 定 理 .
图 ? 洛尔定理几何说明
图 @ 拉格朗日定理几何说明
图 ! 柯西定理几何说明
由 以 上 图 形 可 看 出 "A在 曲 线 上 至 少 存 在 一 条 切 线 平 行 于 端 点 的 连 线 .B三 个 微 分 中 值 定 理 正 是 这 一
5656789:;:<=>?@A@87>;<6: ;6B;==@C@6>;78D@76EF78G@H?@<C@I:
JKL MNO4PNQ%"RSTUPNV4O,
1%’WXYPQVZOV[X\JO]PV[]Q^Z]PXX^"WXYPQV+,*000"UP[VQ_ ,’Z]PXX^X‘(QaPObQa[]YQVcSV‘X\bQa[XVZ][OV]OY"dNQVefPXNgV[hO\Y[ai"dNQVefPXN+%000-"UP[VQ2
文 章 编 号 CD++EF+DGD$!++,%+#F+++EF+#
微分中值定理关系浅析
谈 悦 华 DH谢 春 娥 !
$D)广东省佛山市高级技工学校H广东 佛山 I!E+++J!)广州大学数学与信息科学学院H广东 广州 ID+++,%
摘 要C从 几 何 直 观 出 发H立 足 于 整 体 角 度H研 究 微 分 中 值 定 理 之 间 的 关 系H讨 论 K’((:定 理LM2N021N:定 理L
D%令 W$V%_VH由$D%式得 M2N021N:中值定理
$D%
U\$^%_
U$Z%‘ Z‘
UY$Y%H
!%令 W$V%_VH且 U$Y%_U$Z%H由$D%式得 K’((:中值定理C
U\$^%_ +P
! 微分中值定理几何意义上的统一
观察几何图形C如图 DH在两个高度 相 同 的 点 aHb之 间 的 一 段 连 续 曲 线 的 方 程 表 述 为 c_U$V%HV
d XYHZ[H那么显然有 U$Y%_U$Z%P若除端点外H它在每一点都有不垂直于 V轴的切线H则该曲线至少存 在一点H过该点的切线平行于 V轴$过两端点 aHb的弦%H即 U\$^%_+H此为 K’((:中值定理P
如图 !H在两个高度不同的点 aHb之间的一段连续曲线的方程表述式仍为 c_U$V%HVdXYHZ[H若
曲 线 c_U$V%在$YHZ%内每一点都有不平行于 c轴的切线H则该曲线至少存在一点 e$^HU$^%%H使 曲线
在该点的切线平行于过曲线两端点
aHb 的 弦 H即
U\$^%_
U$Z%‘ Z‘
U$Y%成 Y
立
H此
为
M2N021N:中 值 定 理 P
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收 稿 日 期 C!++,F+,F+! 作 者 简 介 C谈 悦 华 $D-,EF%H女 H广 东 佛 山 人 H佛 山 市 高 级 技 工 学 校 讲 师 P
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1.期刊论文 曾静 微分中值定理与Newton-Leibniz公式的关系及证明 -中国民航飞行学院学报2008,19(2)
采用常数 L值法构造辅助函数统一证明三个定理.
由于 9:;<=>中值定理&?(等价于
%&-(4 %&+(4 *%55&&MM((/*&-(4 *&+(0$ N. 因为 *&+(O*&-("故存在常数 L"使得
%&-(4 %&+(4 L/*&-(4 *&+(0$ N" 将上式中 -换为 )"得辅助函数
本刊编辑部
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微分中值定理关系浅析
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
谈悦华， 谢春娥， TAN Yue-hua， XIE Chun-e 谈悦华,TAN Yue-hua(广东省佛山市高级技工学校,广东,佛山,528000)， 谢春娥,XIE Chun-e(广州大学数学与信息科学学院,广东,广州,510006)
5j:>C7k>#JPO\O^Qa[XVY[Vc[‘‘O\OVa[Q^bOQV4hQ^NOaPOX\ObYQ\OYaNc[OclQYOcXVeOXbOa\[]Q^bOQV[Ve QVce^XlQ^mX[VaX‘h[On [VaP[YmQmO\’JPOc[‘‘O\OVa‘X\bYX‘oX^^OJPOX\Ob"pQe\QVeOJPOX\Ob QVc UQN]PiJPOX\Ob NV[‘[Oc[Vc[‘‘O\OVa[Q^bOQV4hQ^NOaPOX\ObYQ\OQ^YXc[Y]NYYOc’q[aPoX^^O(OQV4 hQ^NOJPOX\Ob QVcc[‘‘O\OVaQYY[Ya[Ve‘NV]a[XVY"YXbOXaPO\c[hO\Y[‘[Oc‘X\bYX‘c[‘‘O\OVa[Q^bOQV4 hQ^NOaPOX\ObY]QVlOcObXVYa\QaOc’ r@9s<Ct:#c[‘‘O\OVa[Q^bOQV4hQ^NOaPOX\ObY_\O^Qa[XVY_NV[‘[Oc_QYY[Ya[Ve‘NV]a[XVY
O2/>6<定理统一于微分学中值定理的各种形式J并以 K’((:定理为基础H借助不同形式的辅助 函 数 对 其 它 微 分
中值定理作出多种形式的统一证明P
关 键 词 C微 分 中 值 定 理 J关 系 J统 一 J辅 助 函 数
中 图 分 类 号 CQDG!)D
文 献 标 识 码 CR
洛 尔 $K’((:%定 理 L拉 格 朗 日 $M2N021N:%定 理 L柯 西 $O2/>6<%定 理 都 具 有 S中 值 T性 H它 们 统 称 为 中 值 定 理 或 更 确 切 地 称 为 微 分 中 值 定 理 P 它 们 是 微 分 学 的 基 本 定 理 H这 三 个 定 理 不 是 相 互 独 立 H而 是 有 着 非 常密切的联系H具有 高 度 的 统 一PK’((:定 理LM2N021N:定 理LO2/>6<定 理 的 关 系 是 后 者 包 含 前 者H即 O2/>6<定理的特殊情况就是 M2N021N:定理H而 M2N021N:定理的特殊情况就是 K’((:定理P
中值定理! 实践证明"在分析严谨的基础上"适当注意概念的纵向延伸和横 向比 较"注意理 论间 的相互 作用和
内在统一"注意知识建构的灵活性"则有助于对概念的透切理解和深度把 握"有助于 提高 分析问 题和解 决问题的能力!
参考文献# $%& 华东师范大学数学系’数学分析$(&’北京#高等教育出版社"%)**#%++’ $,& 毛羽辉"蒋国芳’数学分析解题指南$(&’上海#华东师范大学出版社"%)*+#,-*’ $.& 刘文武’两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨$/&’数学的实践与认识",00+"*1.+2#,3.4,33’ $3& 袁文俊’微分中值定理教学改革探讨$/&’广州大学学报#自然科学版",003",1.2#*+4*)’ $+& 路可见’关于微分中值定理的思考$/&’高等数学研究",00,"+1.2#%04%,’