最新课件-无穷等比数列各项的和 推荐

33 16
( 4)n1 9
An
An1
33 16
( 4)n1 9
334
A2 A1
16
9
A3
A2
33 16
(4)2 9
A4
A3
33 16
(4)3 9
An
A1
33 16
4 [1 (4)n1] 99
1 4
9
An
2
3 5
33 20
( 4 )n1 9
An
An1
33 16
( 4)n1 9
(5)由Ln
3
… Mn
图3
边数 Nn N1 3 34 12 124 48 484 192 …
增加三角 形的个数
边长Tn T1 1
3
12
48
…
1 3
T1
1 3
1 3
T2
1 32
1 3
T3
1 33
…
增加的 每个小 三角形 的面积
A1
A1
A1
9
92
93
…
曲线所围 A1
面积
A2
A1
3
A1 9
A3
A4
A2
所有正方形的周长：l 4 a1 1q
4 1 8 4 2. 1 2 2
所有正方形的面积：S
a12 1 q2
1 1 1
2.
2
例4：如图，在RtABC内有一系列的正方形，
它们的边长依次为a1, a2,, an ,, 若AB a, BC 2a,
求所有正方形的面积的和.
A
解： a a1 a1
把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段，为边向外作 等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4, …)
例5：设图中的等边三角形的边长为1，并分别
将图(1)(2)(3)中的图形依次记作M1, M 2 , M 3 ,
(1)求M
中
n
的
边
数N
n
;
(2)求M
中
n
每
条
边
的
长
度Tn
;
(3)求M
12
A1 92
A3
48
A1 93
…
Nn
3 4n1 N n1
3 4n2
Tn
( 1 )n1 3
Tn2 A1
A1 9n1
An An1
3
4n2
A1 9n1
例5：设图中的等边三角形的边长为1，并分别
将图(1)(2)(3)中的图形依次记作M1, M 2 , M 3 ,
(1)求M
中
n
的
边
数N
n
;
(2)求M
无穷等比数列各项的和：
已知无穷等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,
若｜q｜ 1,q 0,
则lim n
S
n
lim n
a1(1 qn ) 1q
lim a1 lim (1 qn ) n 1 q n
a1 1q
,
把 q 1的无穷等比数列的前n项和Sn当n 时
的极限叫做无穷等比数列各项的和,
3
(
4 3
)n1
,当n无
限
增
大
时
，Ln也
随
之
无
限
增
大，lim n
Ln
不
存
在;
lim
n
An
lim[ 2 3 n 5
33 20
( 4)n1 ] 9
23 5
1
例1： 已 知an
n(n 2(
1
3
1) ) n 2005
(1 n 2005) (n 2006)
求
：(1)
lim
n
an
;
(2)
lim
限继续下去，求所有这些正方形的周长的和与面积的和.
A
D1
D
A2 D3 D2
A1 A3
C3 C1
B2 B3 C2
B
B1
C
解 ： 设 各 边 长 构 成 数 列an , 则
a1 1,
a2
a1
2
a1
2
2 2
2 2
a1
2 ,, 2
an
an1
2
an1
2
2 2
2 2 an1,
即：n 2时，an 2 , an1 2
(1)求M
中
n
的
边
数N
n
;
(2)求M
中
n
每
条
边
的
长
度Tn
;
(3)求M
的
n
周
长Ln
;
(4)求M
n
所
围
成
的
面
积An
;
(5)求周长和面积的极限.
图3
(2)图形中的每条线段长度在后一个图形中变为原长的1 ,
T1
1,Tn
1 3
Tn1
(n
2)
Tn
(1)n1.(n 3
N*)
3
(3)周长Ln Nn Tn 3 ( 4)n1.(n N *)
1q
4
又 q 1且q 0 1 a1 1且1 a1 0,
4
4
1
a1 4
1
1且a1
4
0 a1 8且a1 4,
a1 (0,4) (4,8).
例3：如图：正方形ABCD的边长等于1，连接这个正方形
各边的中点得到一个小正方形A1Байду номын сангаас1C1D1; 又连接这个小正
方 形 各 边 的 中 点 得 到 一个 更 小 的 正 方 形A2 B2C2 D2 ; 如 此 无
a 2a
1 2 a1
2 3
a.
a a1
a2
同理：an1 an an
1 2
an
2 3
an
1
(n 2)
B
2a
C
a12 , a22 , a32 ,, an2
面 积 和S
,成等比，首项为4
4 a2 9
4 a2.
9
a
2公
比为
4 9
;
1 4 5
图3
图1是一个等边三角形 M1，把M1的每条边三等分，并以中间的 那一条线段为边向外作等边三角形，再擦去中间的那一条线 段，得图2,记作M2; 把M2的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作 等边三角形， 再擦去中间的那一条线段，得M3,
的
n
周
长Ln
;
(4)求M
n
所
围
成
的
面
积An
;
(5)求周长和面积的极限.
图3
解：(1)每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，
N1 3, Nn 4Nn1 (n 2) Nn 3 4n1.(n N * )
例5：设图中的等边三角形的边长为1，并分别
将图(1)(2)(3)中的图形依次记作M1, M 2 , M 3 ,
中
n
每
条
边
的
长
度Tn
;
(3)求M
的
n
周
长Ln
;
(4)求M
n
所
围
成
的
面
积An
;
(5)求周长和面积的极限.
(4) A1
3, 4
当
由M
生
n1
成M
时
n
，
在M
的
n1
图3
每
条
边
上
多
了
一
个
面积
为T_n2_A_1
的小正方形，这些小正多边形面积之和为 _N_n__1T_n2_A_1,
An
An1
Nn1Tn2 A1
An1
n
Sn
.
解
：(1)
lim
n
an
lim[2( 1 )n2005 ]
0.29 29 1 0.01 99
••
(2)0.431
0.4
••
0.031
0.4
0.031
4 31 427
1 0.01 10 990 990
例2： 已 知 无 穷 等 比 数 列an 的 各 项 和 为4，
求首项a1的取值范围.
解：设无穷等比数列的公比为q, 则
S a1 4 q 1 a1 .
并用符号S表示，即：S a1 . 1q
即无穷递缩等比数列各项的和公式为 S a1 .( q 1) 1q
例1：化下列循环小数为分数：
••
(1)0. 29
••
(2)0.431
•
(3)0.9
解：(1)0.2•9• 0.292929
0.29 0.290.01 0.29(0.01)2 0.29(0.01)n1