范德蒙行列式及其应用

范德蒙行列式及其应用

摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.

关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换 一．

范德蒙行列式定义及性质

1.范德蒙行列式的定义

定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式

1

22

2

2

1

21

111

2

111n n n n n n n

x x x D x x x x x x ---=

(1)

叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）. 2.我们用定理证明范德蒙德行列式

已知在错误！未找到引用源。级行列式

中，第错误！未找到引用源。行（或第错误！未找到引用源。列）的元素除错误！未找到引用源。外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。与它的代数余子式错误！未找到引用源。的乘积错误！未找到引用源。 ，在

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。倍得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

根据上述定理

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

提出每一列的公因子后得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

最后一个因子是错误！未找到引用源。阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。表示，则有

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

同样可得

错误！未找到引用源。=（错误！未找到引用源。）(错误！未找到引用源。)错误！未找到

引用源。(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。

此处错误！未找到引用源。是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）错误！未找到引用

源。(错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）

由以上的计算可以得出，

定理1 n 阶范德蒙行列式

n V （1x ,2x ,…n x ）=1

22

2

2

1

21

11

1

2

11...1n n n n n n

x x x x x x x x x ---

=∏(i j x x -).

有这个结果立即得出

定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.

二． 范德蒙行列式的应用

范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.

1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用

在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,

如果 f(x)=2

012n n a a x a x a x ++++ 有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有

()i f x =22

012=0i n +i i n i a a x a x a x ++++≤≤ ，11

即 2011211202222220

12110,0,.......................0.n

n n

n n

n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨

⎪

⎪++++=⎩

这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式

211

1

2

2222

1

1

1

111

n n

n

n n n x x x x x x x x x +++

=∏(i j x x -)≠0.

因此010n a a a ==== ，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根.

例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n == . 证明 ：设()1

011n n f x c c x c x

--=+++ ，有条件得，(),1,2,i i f a b i n == .知

1

0111111

01212210

11,

,

.

n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩

因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式

()2111

1

2

1

222

12

1

1

101

n n j

i i j n

n n

n

n

a a a a a a D a

a a a a --≤<≤-=

=

-≠∏

.

则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1

011n n f x c c x c x

--=+++ ，使得

(),1,2,i i f

a b i n == .

例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤ 互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即

()i i f

a b =()1i n ≤≤.

证明： 设()1

2

121n n n n f x c x

c x

c x c ---=++++ ，要使()i i f

a b =()1i n ≤≤，即满足关

于12,,,n c c c 的线性方程组：1

2

111211112

2122212121

21,,

.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪

⎪++++=⎩ ，而该方程组的系数

行列

式为范德蒙行列式：121

1

11

2

22

2121111

2

1111

n n n n n n n n n n n n

n

n

a a a a a a D a a a a a a -----------=

.

当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤ 互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.