代数系统

..
……
..
……
..
……
aann aannaa11 aannaa22 …… aannaann
二元运算的运算表
aai i aa11 aa11 aa22 aa22 .. .. .. .. .. .. aann aann
一元运算的运算表
7
运算表的实例
例3 设 S=P({a,b})，S上的和 ∼运算的运算表如下
第二篇 代数系统
1.代数系统的基本概念介绍 2.两类重要的代数系统介绍: (1)群论介绍—包括群、半群与单元半群等。 (2)环论与格论介绍—包括环、格及布尔代数
1
第4章 代数系统概论
4.1代数系统介绍
代数系统由集合、运算及运算封闭性三部分组成。 1.集合:集合是代数系统的基础,它给出了代数系统的 研究对象。 2.运算:运算给出了代数系统的研究手段与工具。因 此运算是代数系统的灵魂。 定S当1义=nS=42.21时=运…称=算二Sn:元n则元运称函算f为；数Snf:=上S11的时×n称S元一2×运元…算运×,或算S简。n称Sn中元有运S算=。
24
第4章 代数系统概论
4.3代数系统的同态与同构
定义4.4:同态:两个同类型代数系统(X,)与(Y,)若存
o o
在一个映射g:XY,使得对任意x1, x2X必有:
o
g(x1x2)＝g(x1)* g(x2)
则称g是从(X,)到(Y,)的同态映射,或叫
(X,)与(Y,)同态。当X=Y时则称为自同态。
4
例 (1) 求相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上
的一元运算 (2) 求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上一元
运算 (3) 求共轭复数是复数集合C上的一元运算 (4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运算~是P(S)
上的一元运算. (5) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求转置矩阵是
26
第4章 代数系统概论
X
x1
g
x2
x1 x2
Y
g (x1) g (x2)
g(x1)*g(x2)
(a)同构示意图
Y
X G(Y)
x1
g
y1=g(x1
x2
)
x1 x2
y2=g(x2
)
(b)单同态示意图
y1•yy3 2
27
第4章 代数系统概论
X
x1 x2 x3 x1x2
g
(c)满同态示意图
Y
y1=g(x1) y1=g(x2) y2=g(x3) g(x1)g(x2 )
还有:
a l－1＝ar－1＝a－1
(S,)满足结合律,则对aS如存在逆元素a－1 必唯
一。
19
第4章 代数系统概论
例: 代数系统中(Z,+)对运算“+”满足结合律且存在 单位元0,对aZ的逆元为-a,即3的逆元为-3,17的逆 元为-17。因为我们有:
a+(-a)＝0。 例: 代数系统(R,)中对运算“”满足结合律且存 在单位元1,对aR的逆元为1/a,即3的逆元为1/3,17 的逆元为1/17。因为我们有:
2
定义 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算，简 称为二元运算．
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算， 但减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．
{a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {b} {a,b{}a,b}
8
第4章 代数系统概论
例:在代数系统中可以任意定义运算。如在集合 S={1,2,3}上可以定义一个二元运算如下:
表4.1 二元运算定义表
123
1
211
2
312
3
312
9
第4章 代数系统概论
··· aaa bbb ccc
aaa aaa bbb ccc bbb bbb ccc ccc ccc ccc ccc ccc
23
解
(1) * 满足交换律. ∘ 不满足交换律. ·满足交换律.
(2) * 的单位元为b，没有零元， a1=c, b1=b,c1=a ∘ 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. ·的单位元为 a，零元为c，a1=a，b, c不是可逆元素.
且ran f 中没有负数. (3) 不是G 的自同态，因为 f 不是 G 到 G 的函数 (4) 不是G 的自同态，因为 f(22)=2, f(2)f(2)=22=4
25
第4章 代数系统概论
定义4.5:满同态:两个代数系统(X,)与(Y,),若存在 满射g:XY 使得对任意x1, x2X必有:
g(x1x2)＝g(x1)* g(x2) 则称g是从(X,)到(Y,)的满同态映射,或称(X,) 与(Y,)满同态。 若g为单射,则称g是从(X,)到(Y,)的单同态映 射, 或称(X,)与(Y,)单同态。 若g为双射,则称g是从(X,)到(Y,)的同构映射, 或称(X,)与(Y,)同构。
28
例题
设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统， 判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.
(1) f(x) = |x| +1 (2) f(x) = |x| (3) f(x) = 0 (4) f(x) = 2
29
解答
解 (1) 不是同态, 因为 f(22)=f(4)=5, f(2)f(2)=33=9 (2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为 f(1)= f(1),
{a} {a}{b} {b{}a,b{}a,b} x x ∼x ∼x
{a} {a}{b} {b}{a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {a.b{}a.b{}b} {b} {b} {b} {b} {b{}a,b{}a,b} {a} {a} {a,b{}a,b}{a,b{}a,{bb}} {b}{a} {a}
Mn(R)上的一元运算.
5
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算
符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表
公式表示
例:运算可看作是一个具有输入端与输出端的“黑
盒子”,图4.1(a)表示为一元运算而图4.1(b)则表
示为二元运算。一元运算中对应的是Hale Waihona Puke Baidu个输入端
与一个输出端。
输出
输出
二元运算中则对应两个
输入端与一个输出端。
输入
输入
(a)
(b)
图4.1运算是一个黑盒子
10
第4章 代数系统概论
定 义 4.2 代 数 系 统 : 非 空 集 合 S 上 的 K 个 运 算 1, 2,…,k(一元或二元运算)所构成的封闭系统称为 代数系统。可记为:(S, 1, 2 ,…k)。 例: 整数集Z上带有加法运算的系统构成一个代数 系统:(Z,+)。 例: 实数集R上带有“+”与“”运算的系统构成 一个代数系统:(R,+,)。
14
第4章 代数系统概论
4.2代数运算中的常见性质
1.单个二元运算的结合律: (S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)＝(ab) c
则称该代数系统的运算“”满足结合律。 2.单个二元运算的交换律
(S,)中如有aS,bS,均有: ab＝ba
则称该代数系统的运算“”满足交换律。
15
第4章 代数系统概论
11
第4章 代数系统概论
例:集合B={0,1}上的两个二元运算:“”与“” 构成一个代数系统。
表4.2 “ ”与“”的运算表
01 0 01 1 10 (a)
01 0 00 1 01
(b)
12
第4章 代数系统概论
例: 由有限个字母所组成的集合X,它叫字母表。在
X上构作任意长的字母串,它叫X上的句子或字或串, 串的字母个数M叫串的长度。长度为0的串叫空串 可用表示。可以构造在X上的所有串的集合X*。 定义在X*上的串的二元运算“”—称串的并置运 算,它是一个将两个串并置成一个串的运算。设 ,X*,则＝是一个串。X*上的并置运算是封闭的。 X*上的并置运算“”构成了一个代数系统(X*, )。 令X＋＝X*一{},则(X＋,)也是代数系统。
例: 代数系统(R,)中单位元为1。 例: 代数系统(Z,+)中单位元为0。 例: 代数系统(X*,)中空串为单位元。 定理4.1(S,)存在对“”的1l 与lr则它们必相等:
l l＝1r＝1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。
17
第4章 代数系统概论
5.二元运算中零元素
(S,)中若有元素S,对任一个xS均有
x 2
x
是x的逆元.
22
2．下面是三个运算表 (1) 说明那些运算是可交换的. (2) 求出每个运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元
*** aaa bbb ccc
aaa ccc aaa bbb bbb aaa bbb ccc ccc bbb ccc aaa
∘∘∘ aaa bbb ccc
aaa aaa aaa aaa bbb bbb bbb bbb ccc ccc ccc ccc
a1/a＝1
20
1．设∘运算为Q上的二元运算，
x, yQ, x∘y = x+y+2xy,
(1) 判断∘运算是否满足交换律和结合律，并说明理由.
(2) 求出∘运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元.
(1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取 x, yQ,
x∘y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取 x, y, zQ,
13
第4章 代数系统概论
定义4.3 代数系统类型:代数系统中的运算符个数 及运算元数称代数系统模型。两代数系统如运算 符个数及相应运算元数相同则称两系统有相同类 型；否则称不同类型。 定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满 足下列条件:
(1)S’S; (2)若aS’,bS’,则ab＝ab 则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。
x+e+2xe = x e = 0
由于∘运算可交换，所以 0 是幺元.
对于任意 x 有x∘ = 成立，即
x++2x = x+2x = 0 = 1/2
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x∘y = 0 成立，即
x+y+2xy = 0
y x 1 2x
(x≠ 1/2 )
因此当x
1/2时，
1
例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗： x, y∈R, x ∗ y = x.
那么 3∗4 = 3， 0.5∗(3) = 0.5
6
运算表
运算表：表示有穷集上的一元和二元运算
aa11 aa22 …… aann
aa11 aa11aa11 aa11aa22 …… aa11aann
aa22 aa22aa11 aa22aa22 …… aa22aann
3.两个二元运算的分配律 (S,,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 a (bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律
16
第4章 代数系统概论
4.二元运算中的单位元素 (S,)中若有元素1S,对任一个xS均有 1x＝x1＝x,则称此元素为对于运算“”的单位元 素或称单位元。
(x∘y)∘z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
x∘(y∘z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
21
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于任
意 x 有 x∘e = x 成立，即
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算， 而加法和减法不是．
3
(4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn(R)aaan 12111
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,..n.,
则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上二元运算.
0x＝x0＝0则称此元素为对于运算“”的零元素或
o
称零元。
同样有:
0 l＝0r＝0
还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。
18
第4章 代数系统概论
6.二元运算中的逆元素
存在单位元的(S,)中如对aS有a-1S,使得:
aa－1＝a－1 a＝1
则称a－1为a对运算“”的逆元素或称逆元。
代数系统如果其运算“”满足结合律则有: