湍流的半经验理论
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du lm dy d 2u 2 dy
于是有：
引入比例常数：
du lm dy d u 2 dy
2
du t dy
2
3
d u du 2 dy dy
假设：湍流运动中，流体微团在运行某一距离后才与周围 其它的流体掺混，失去其原有特征，而在运行过程中流体 微团则保持其原有流动特征不变。流体微团运行的这个距 离称为混合长度。
u v u lm ( ) y
uv l 2
2
u u y y
u t l y
2
u u t l y y
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
3 卡门相似理论
混合长度理论没有给出确定 l m 的理论，冯•卡门给出了估
计掺混长度的理论，从而得到雷诺应力和时均流速场之间的
普遍关系。 假设：
1）除了紧靠固体壁面的区域以外，脉动机理不受流体
粘性的影响。 2）脉动速度场中各点附近的局部情况在统计上都是相 似的，只是长度比例和时间比例不同。
掺混长度沿横向的分布
(零压强梯度的平板湍流 边界层,克莱巴诺夫)
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
• 自由剪切湍流 假设混合长度 l m 与湍流混合区速度剖面的宽b成正比，即：
lm 1 b
而：
u 1 (u max u min ) y b
则有：
t l2
u 1b(u max u min ) y
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
考虑一个二维平行流动
u u ( y)
vw0
du 1 d 2u u u0 ( ) y0 ( y y0 ) ( 2 ) y0 ( y y0 ) 2 dy 2 dy
若表征湍流脉动的
长度尺度为掺混长度 l m
速度尺度为
v uv
这一理论的贡献在于：l m 对平均速度的依赖性大大减 弱了，它基本是当地状态的函数。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
在普朗特理论中，混合长度 lm 只能靠试验来确定: • 壁面剪切湍流
2 非常接近壁面： lm ~ y （莱恰特，Reichardt），粘性底层
相当接近壁面： lm ~ y （卡门）， 0.40 ，对数律层 远离壁面： lm 常数（普朗特），外层
团在横向运动lm的距离时，它同时在流动方向向下游运动了一
个更长的距离。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
• 缺点
u 0， 当时 t 0 ，可能与事实不符 y
没有考虑湍流的输运 需要估计混合长度 • 优点 计算关系式简单，对于能较好地用经验确定混合长度的许 多剪切流，计算结果具有一定的精度
Boussinesq假定
Prandtl混合长度理论
Karman相似性理论
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
1 Boussinesq假定
(布西内斯克,1877年)
是历史上第一位提出应用半经验理论来解决湍流问题的学者。
τl =μ u y u 推广的三维情况 t ,ij y
τt =-ρuv=μt
其它同前
ui ( t ) x j
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
说明：
•认为湍动粘性系数与平均速度梯度有关系并不总是合理。
Байду номын сангаас
•没有给出 t 的具体确定方法，其可能非常复杂
(1)既取决于流体性质，更取决于湍流的平均运动 (2)一般不为常数，且可能具有各向异性
u y
t 1b(u max u min )
其中， 1 为常数，由试验确定
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
关于普朗特理论的评述：
• 需要澄清的问题 为什么流体微团在lm的距离内不与周围流体相混合而保持原 有流速，直至运行到lm后才与周围流体掺混？ 湍流的脉动流速比时均流速要小一个数量级，因此当流体微
2
2
卡门常数，一般情况下 0.40 掺混长度只与当地的流速分布曲线形状有关，而与流速 大小无关。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
若时均速度分布已知，则可得出混合长度 lm 例：湍流边界层的对数律区 u ~ ln y
u 则： lm y 2 u y 2 y
缺点
2 u u 0 在速度剖面的拐点处，y 2 ，若 y 0 ，则 lm
常州大学研究生课程
《粘性流体力学》
湍流的半经验理论 Semi-empirical Theory of Turbulence
蒋绿林
“能源与环境”研究中心 2013年10月
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
0 前言
方程数： 连续方程 雷诺方程 1个 共4个 3个 未知量数：
- ρuiuj
ui
令： u u 0 Av , y y0 lm ， A 与 为两个无量纲量
du 1 d 2u 2 Av ( ) y0 lm ( 2 ) y0 2lm dy 2 dy
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
u u 2 d d v v 1 2 A 2 y 2 y d d l l m m
ui u i 2 •若 t 为标量，则有 uiui 2k t t x x i i
对不可压流，可得到：各点流场的湍动能 k 0 的结论 这显然同湍流场本身矛盾
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
布莱德肖(Bradshaw P)修正式
t ,ij
ui u j 1 2 uk ij (uiu j ) 2t ij k ij t ( ) uk 3 x j xi 3
p
6个
3个 1个 共10个
若引入雷诺应力方程，方程中又多出了新的未知量， 如 uiuj uk 、 ui p 等，即是说它们仍然是不封闭的。这就是 所谓的封闭性问题（closure problem）。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
需要用各种方法建立起这些高阶量与低阶量（ uiuj ） 或平均速度之间的关系，这就是建立模型方程的问题。 利用部分得到试验证明的一些假设去建立雷诺应力与 流场中的时均量之间的关系，以解决湍流基本方程的封 闭性问题，称为湍流的半经验理论。
即：
u 2 u d v d v y 2 d y d l l m m
du d 2u lm 2 dy dy
或记为 A f
1 g 2 2
对于任意展开点 y1 与 y2 ，均有：
A1 f1 A2 f 2 1 g1 2 2 1 g 2 2 2
A1 f1 g1 脉动的相似性，应有：A f g 2 2 2
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
ui u j (uiuj ) t 2 ij t ( ) x j xi
t 称为涡粘性系数（eddy viscosity）
于是，雷诺方程可写为，方程组封闭
Du i p F i Dt xi x j
ui p ( u u ) F i j i x xi x j j
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
2 混合长度理论（mixing length）
t 的确定方法：
1）纯粹根据试验数据确定：
如：边界层中 内层： 外层：
( t )i yu ( t )o a u
2）混合长度理论
1925年，普朗特提出
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
于是有：
引入比例常数：
du lm dy d u 2 dy
2
du t dy
2
3
d u du 2 dy dy
假设：湍流运动中，流体微团在运行某一距离后才与周围 其它的流体掺混，失去其原有特征，而在运行过程中流体 微团则保持其原有流动特征不变。流体微团运行的这个距 离称为混合长度。
u v u lm ( ) y
uv l 2
2
u u y y
u t l y
2
u u t l y y
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
3 卡门相似理论
混合长度理论没有给出确定 l m 的理论，冯•卡门给出了估
计掺混长度的理论，从而得到雷诺应力和时均流速场之间的
普遍关系。 假设：
1）除了紧靠固体壁面的区域以外，脉动机理不受流体
粘性的影响。 2）脉动速度场中各点附近的局部情况在统计上都是相 似的，只是长度比例和时间比例不同。
掺混长度沿横向的分布
(零压强梯度的平板湍流 边界层,克莱巴诺夫)
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
• 自由剪切湍流 假设混合长度 l m 与湍流混合区速度剖面的宽b成正比，即：
lm 1 b
而：
u 1 (u max u min ) y b
则有：
t l2
u 1b(u max u min ) y
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
考虑一个二维平行流动
u u ( y)
vw0
du 1 d 2u u u0 ( ) y0 ( y y0 ) ( 2 ) y0 ( y y0 ) 2 dy 2 dy
若表征湍流脉动的
长度尺度为掺混长度 l m
速度尺度为
v uv
这一理论的贡献在于：l m 对平均速度的依赖性大大减 弱了，它基本是当地状态的函数。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
在普朗特理论中，混合长度 lm 只能靠试验来确定: • 壁面剪切湍流
2 非常接近壁面： lm ~ y （莱恰特，Reichardt），粘性底层
相当接近壁面： lm ~ y （卡门）， 0.40 ，对数律层 远离壁面： lm 常数（普朗特），外层
团在横向运动lm的距离时，它同时在流动方向向下游运动了一
个更长的距离。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
• 缺点
u 0， 当时 t 0 ，可能与事实不符 y
没有考虑湍流的输运 需要估计混合长度 • 优点 计算关系式简单，对于能较好地用经验确定混合长度的许 多剪切流，计算结果具有一定的精度
Boussinesq假定
Prandtl混合长度理论
Karman相似性理论
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
1 Boussinesq假定
(布西内斯克,1877年)
是历史上第一位提出应用半经验理论来解决湍流问题的学者。
τl =μ u y u 推广的三维情况 t ,ij y
τt =-ρuv=μt
其它同前
ui ( t ) x j
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
说明：
•认为湍动粘性系数与平均速度梯度有关系并不总是合理。
Байду номын сангаас
•没有给出 t 的具体确定方法，其可能非常复杂
(1)既取决于流体性质，更取决于湍流的平均运动 (2)一般不为常数，且可能具有各向异性
u y
t 1b(u max u min )
其中， 1 为常数，由试验确定
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
关于普朗特理论的评述：
• 需要澄清的问题 为什么流体微团在lm的距离内不与周围流体相混合而保持原 有流速，直至运行到lm后才与周围流体掺混？ 湍流的脉动流速比时均流速要小一个数量级，因此当流体微
2
2
卡门常数，一般情况下 0.40 掺混长度只与当地的流速分布曲线形状有关，而与流速 大小无关。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
若时均速度分布已知，则可得出混合长度 lm 例：湍流边界层的对数律区 u ~ ln y
u 则： lm y 2 u y 2 y
缺点
2 u u 0 在速度剖面的拐点处，y 2 ，若 y 0 ，则 lm
常州大学研究生课程
《粘性流体力学》
湍流的半经验理论 Semi-empirical Theory of Turbulence
蒋绿林
“能源与环境”研究中心 2013年10月
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
0 前言
方程数： 连续方程 雷诺方程 1个 共4个 3个 未知量数：
- ρuiuj
ui
令： u u 0 Av , y y0 lm ， A 与 为两个无量纲量
du 1 d 2u 2 Av ( ) y0 lm ( 2 ) y0 2lm dy 2 dy
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
u u 2 d d v v 1 2 A 2 y 2 y d d l l m m
ui u i 2 •若 t 为标量，则有 uiui 2k t t x x i i
对不可压流，可得到：各点流场的湍动能 k 0 的结论 这显然同湍流场本身矛盾
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
布莱德肖(Bradshaw P)修正式
t ,ij
ui u j 1 2 uk ij (uiu j ) 2t ij k ij t ( ) uk 3 x j xi 3
p
6个
3个 1个 共10个
若引入雷诺应力方程，方程中又多出了新的未知量， 如 uiuj uk 、 ui p 等，即是说它们仍然是不封闭的。这就是 所谓的封闭性问题（closure problem）。
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
需要用各种方法建立起这些高阶量与低阶量（ uiuj ） 或平均速度之间的关系，这就是建立模型方程的问题。 利用部分得到试验证明的一些假设去建立雷诺应力与 流场中的时均量之间的关系，以解决湍流基本方程的封 闭性问题，称为湍流的半经验理论。
即：
u 2 u d v d v y 2 d y d l l m m
du d 2u lm 2 dy dy
或记为 A f
1 g 2 2
对于任意展开点 y1 与 y2 ，均有：
A1 f1 A2 f 2 1 g1 2 2 1 g 2 2 2
A1 f1 g1 脉动的相似性，应有：A f g 2 2 2
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
ui u j (uiuj ) t 2 ij t ( ) x j xi
t 称为涡粘性系数（eddy viscosity）
于是，雷诺方程可写为，方程组封闭
Du i p F i Dt xi x j
ui p ( u u ) F i j i x xi x j j
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论
2 混合长度理论（mixing length）
t 的确定方法：
1）纯粹根据试验数据确定：
如：边界层中 内层： 外层：
( t )i yu ( t )o a u
2）混合长度理论
1925年，普朗特提出
《粘性流体力学》电子教案
湍流的半经验理论