论文一般变质量问题的动力学方程与解题方法

一般变质量问题的动力学方程与解题方法

摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。

关键词：变质量，动力学方程， 合外力

在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

1.变质量物体的动力学方程

在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。 设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v →

（v <

运动，并在t +△t 时间间隔内与m 相合并，合并以后的共同速度是

v →+△v →。如果作用在主体m 及微小质量△m 上的合外力为F →

，而内力和约束力恒

有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得

（m +△m ）（v →+△v →）-（m v →+△m u →）=F →

△t （1） m v →+△m v →+m △v →+△m △v →-m v →-△m u →=F →

△t （2） △m （v →-u →）+m △v →+△m △v →=F →

△t （3） 由于△m 是一微小质量，△v →是一微小速度，则△m △v →

是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成

△m （v →

-u →

）+m △v →

=F →

△t （4）

对（4）式两边同时除以△t ，可得

t

△△m

（v →

-u →

）+m △t △v →

=F → （5）

在（5）式中，使△t →0，对其求极限可得

△t

△m

lim

△t →（v →-u →

）+ △t

△lim

△t v →

→m=F →

（6）

dt

dm

（v →

-u →

）+m dt d v →

=F → （7）

由于

dt

)d(m v →

=m

dt

d v →

+

v

→

dt

dm

（8） 则

m dt

d v →

=

dt

)d(m v →

-v

→

dt

dm

（9） 即（7）式可以写成

v

→

dt

dm

- u

→

dt

dm + dt )d(m v →

-

v

→

dt

dm =F →

（10） 化简整理（10）式可得

dt

)d(m v →

-

u

→

dt

dm =F →

（11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式：

形式一： dt

dm

（v →

-u →

）+m dt d v →

=F →

形式二：

dt

)d(m v →

-

u

→

dt

dm =F →

2.变质量物体运动方程的应用

在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。如

在上面的形式一，即（7）式中，若有v →=u →

，则有

m

dt

d v →

=F →

（12）

这与常质量物体的运动方程在形式上完全一样。 在上面形式二，即（11）式中，若有u →

=0，则有

dt

)d(m v →

=F →

（13）

此式与质量为定值的质点动量定理的表达形式完全相同，但需注意此处的m 是可变的。

对于这些特殊情况，我们均可以通过（12）式和（13）式去解决，下面我们通过具体例子体会一下这两式的具体应用过程。

例1.长为L 的均匀链条伸直的平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌边下垂，起始时整个链条静止。求此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度v 。

解：由于链条末端滑到桌子边缘时，此链条上各处的速度都是相同的，且方向都是竖直向下的，设链条的总质量为M ，链条的线密度为λ，则有M=λL ，下垂部分设为x ，这显然是一个变质量问题，取下垂链条x 段作为主体，则主体质量m=λx ，在下滑过程中并入x 段的质量dm=λd x 。又由于微质量dm 和主体彼此相连，故在并入瞬间微质量dm 的速度→

u 与主体的速度→

v 相同，因此该问题可用（12）式求解。合外力F →

就是作用在运动物体x 段链条上的外力，即重力G=mg=λx g ，于是由（12）式可得x 段链条的运动方程为

λL

dt

d v →=M

dt

d v →

=λx g （14）

dt

d v →

=

L

g

x dt dx x v d d →=x L

g

v d v =x L

g

d x （15）

又由题意可知

x =2

L

，v =0; x =L ，v =v

于是有

⎰⎰=L

L v

xdx L g vdv 2

0 (16) 整理化简得 v =

2

3gL

故此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度为

2

3gL

。 当然，在本题的这种情况下，用机械能守恒定律和动能定理求解要简单的多，下面分别用这两种方法对该问题加以解决。 解法一：利用机械能守恒解决该问题

设该链条的总质量为M ，取桌面为零重力势能面，根据题意，则有

-v M L Mg L Mg 2

2

1214121+-= （17）

整理化简解得