广义特征值问题中的预处理方法

§2.2 子空间迭代法
子空间迭代法是乘幂法的推广,它能同时求出对 称矩阵的几个极端特征值和特征向量。即是假设有 q p个 个初始向量同时进行迭代，来求得对称矩阵的前 p 按模最大的（或最小的）特征值和特征向量。通常 q 的大小可以这样选取 q min( 2 p, p 8) 。 算法1 子空间迭代法
1.以 q1 和 r1 执行算法2，迭代 n次，得到 p1个收敛的特征 对（i , xi ）。 2.以 q2 和 r2 执行算法2，得到 p2 个收敛的特征对，这时 所求的特征对个数就是 p1 p2，继续下去直 到 p1 p2 ... pi p 。（注意，当以新的Ritz 向量块迭 代的时候，产生的Ritz 向量块一定要与已收敛的特征 向量作 M -正交归一,这样求的特征值才不会是上一次 求得的已收敛的特征对。）
子空 间迭 代法
2 0.50055558658243 2 0.50025321533020
3 0.50142658494075 3 0.50057026013372
360
3598
4 0.50225196875936 4 0.50101543205781
预处 理子 空间 迭代 法
§2.3 迭代Ritz 向量法
原始的Ritz 向量法是按一定规律生成一组标准正 交的Ritz 向量，然后将特征方程转换到这组Ritz向量 上，只求解一次缩减的标准特征值问题，然后通过特 征变换，得到原特征问题的部分特征对，因为只求解 一次，所以求得的特征对的精确程度就与Ritz 向量有 关。 算法2 迭代Ritz 向量法
第三章 预处理子空间迭代法和 预处理迭代Ritz向量法 §3.1预处理技术的概述
§3.2预处理子空间迭代法
算法3 预处理子空间迭代法 I．初始化 1.选取初始列满秩向量矩阵 X 0 R N m ，其中( )。 m p II． Rayleigh-Ritz 外循环 1.对 =0,1,…计算Ritz 矩阵 ， * T * T k m K X KX M X k ,并求解缩减后的广义特征值问题 k ，得到 k MX k K *u M *u 个特征对 ，并检验第 个特征对的收敛性， p k) (k ) 如果收敛停止，否则进行下一步； (( , u ) i i 2.计算Ritz 向量 ； Vk X 3.取对称正定矩阵 为 的近似，计算其 kU Wk ，并构成预处理后的矩 K (pk ) M Cholesky 分解 阵 Wk Lk。 LT k
吉林大学硕士学位论文
广义特征值问题中的预处理方法
Preconditioning Method for Generalized Eigenvalue Problems
作者姓名：陆 昊 辉 专 业：计算数学 导师姓名 吴 柏 生 及职称： 教 授
第一章 引 言
许多工程问题比如结构力学中的振动分析以及控 制系统稳定性分析等问题，最终都转化成下面的广义 特征值问题
初始向量的11-20行是单位矩阵，其余全为0。
算法 特征值 精确特征值 迭代 矩阵 向量 乘积
1 0.19100322928376 1 0.19095299342587 2 1.01745912993262 2 1.01658700007092
子空 间迭 代法
3 1.81109225092976 3 1.80808588736282 4 2.46544314433200 4 2.46058114161657 5 3.02391896037363 5 3.01743022165104 1 0.19095299353392 1 0.19095299342587 2 1.01658835795271 2 1.01658700007092 3 1.80808588736684 3 1.80808588736282 4 2.46098662446297 4 2.46058114161657
Kx Mx

子空间迭代法是求解大型对称矩阵特征值问题的有效 方法之一，但是当特征值的分布很密集的时候，子空 间迭代的收敛速度很慢。
Ritz 向量法构造了一组逼近特征向量空间的Ritz 向量， 它生成的Ritz 向量都与前几步生成的Ritz 向量标准正 交归化，因而将原特征值问题投影在这组Ritz 向量上， 就变成了缩减的标准的特征值问题。
1 0.5000632ຫໍສະໝຸດ Baidu472250 1 0.50006327464898
2 0.50025321563857 2 0.50025321533020
3 0.50057026071012 3 0.50057026013372
外 3 内 10 92
4 0.50101543305325 4 0.50101543205781
6. 如果得到了要求的 p个特征值，退出；否则将未收 敛的前 q个最小特征值对应的特征向量作为 X 1 进行下一 次迭代。 算法2的说明： 关于Ritz 向量法块宽 q与Ritz向量的生成步数 r的 确定，并没有严格的准则，通常我们选取 q 2 p 或更 大一点。r 的选取也可以是任意的，其中r 越大，收敛 越快。实际计算中，我们选取的 r一般满足 (q r ) N 。 当要求的特征对比较多的时候，缩减后的阶标准 特征值问题很可能仍然是一个大型特征值问题，运用 压缩技术，我们可以动态选取q 和r，具体方法如下。
I．初始化 1.确定子空间的维数 q ； 2.选取初始向量矩阵 X R N q ；
3.做刚度矩阵的Cholesky 分解。
II．迭代 1.将 X 进行 M -正交归一化（含对已收敛的特征向 量），归一化后的向量矩阵仍记为X ； T 1 X L L MX ； 2.求解试向量矩阵 1 3.计算投影 K * X 1T KX 1, M * X 1T MX 1 ； * * * * * q K M ； 4.求解 阶广义特征值问题 * X X 5.形成新的近似特征向量 ； 1 6.判断特征值的收敛性，移出已收敛的特征值和特征 向量，并在 X 中加入随机向量或减缩子空间的大小， 如果达到要求的 p 个特征对，停止，否则回到1。
5 3.01745270156483 5 3.01743022165104
30
299
预处 理子 空间 迭代 法
外5 内10
110
例 2.
1 3 0.5 22 15 6 0.5 3 0.5 15 22 15 6 1 ... ... ... ... ... ... ... ... M K 0 . 5 3 0 . 5 ... 6 15 22 15 6 0.5 3 0.5 1 6 15 22 15 0 . 5 3 1 6 15 22
算法1的说明：
1.判断特征对的收敛一般用特征值的相对误差来衡量， k) ( k 1) ( k 1) 即用 | ( | | | i i i，我们也可以使用残量误差 (k ) || KX i( k ) (i k ) MX i( k ) || || KX) || 或模态误差( i 来判断。 2.实际计算中往往会出现迭代一定次数后，继续迭代 很难获得满意的特征值，我们可以预先设定迭代的最 大次数，如果达到最大迭代数，就重新开始。
初始向量均为
1 0 ... V0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 0 0 ... ... 0 0 ... 1 0 ...100 8
... ...
求解4个最小特征值
算法
特征值
精确特征值
迭 代
矩阵 向量 乘积
1 0.50015665826428 1 0.50006327464898
I.初始化 1.确定Ritz 向量法块宽 q 与Ritz 向量的生成步数 r ； 2.选取初始向量矩阵 ； N q X R 0 3.分解刚度矩阵 ； K LLT II.迭代 1.对 解 ，然后将 对已收敛 的特征向量以及 ,k 1 ,… 作k -正交归一化，并形 X LT, L1MX k 0,1,..., r 1 X k 1 Xk M X1 X 2 成 ； X k 1 在=[ , ,…, ]上的投影， 2.计算 ； * T X X K X 2 k X1 3.求解K 阶标准特征值问题 ； KX qr * * * * K 4.形成新的近似特征向量 ； * Y X 5.判断特征值和特征向量的收敛性，并移出已收敛的 特征值和特征向量；
第四章 数值试验 §4.1 子空间迭代法和预处理 子空间迭代法的比较
例1.
1 0.5 2 2 1 0.5 1.1 0.5 2 3 2 1 ... ... ... 1 2 ... ... ... M K 0.5 15.7 0.5 ... ... 148 2 1 0.5 15.8 0.5 1 2 149 2 0 . 5 15 . 9 1 2 151
1 (k ) T
III．内循环迭代 1.以Z 0 LTkVk为初始向量，对矩阵 N k使用子空间迭代法， 求解绝对值最小的 m 个特征值和对应的特征向 (k ) ]； 量 ( i( k ) , zi( k ) ) ，令 Z k [ z1( k ) ,..., zm
T X L 2.计算新的近似向量 k 1 k Z k，回到II。
算法3的说明： T (k ) 关于近似对称正定矩阵Wk 的取法，一般将K p M 做 LDL (k ) T K K 分解，可取Wk L | D | L 。还可以调整 ，使得 p M 对称正定。
§3.3 预处理迭代Ritz向量法
算法4 预处理迭代Ritz 向量法 I．II．同算法3 III．使用迭代Ritz 向量法求解预处理后的标准特征值 问题。 T m L 如果 很大，以 kVk 为初始向量进行迭代Ritz 向量法 T L 显然不可能，只要我们选取 kVk 中的前 q 列做迭代 Ritz 向量法即可。

第二章 子空间迭代法和迭代Ritz 向量法的介绍
§2.1 问题假设和记号约定
质量矩阵和刚度矩阵都是对称正定矩阵，向量矩 阵的 M -正交归一化，即是由 X i 求满足下面关系的向 量矩阵 X i
X iT MX j ij I
一种方法用修正的Gram-Schmidt正交化方法将 X i按列 单位正交得 X i*，并将 M 做Cholesky分解 M LLT，然后 令 X i LT X i* 。 T 另一种方法令 B X i M X i ，然后做 B 的Cholesky分解 B LLT ，则取 X i X i LT。
§4.2 迭代Ritz 向量法和预处理 迭代Ritz 向量法的比较
同例1 q m 10 r 2
迭代 Ritz 向量 法
初始向量同例1。
1 0.19095299972948 1 0.19095299342587 2 1.01658700617024 2 1.01658700007092 3 1.80808589356052 3 1.80808588736282 4 2.46058114837042 4 2.46058114161657 5 3.01743022 766799 5 3.01743022165104