数学归纳法及其应用举例
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故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立. 由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.
(3)数学归纳法证明几何问题：
例、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何 三条不过同一点，问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.
n( n 1) f ( n) 2
归纳法产生过程的分析
难点：数学归纳法中递推思想的
理解
教学内容
演绎推理 三段论
(一般到特殊)
推理方法
完全归纳 归纳推理
(特殊到一般)
不完全归纳
教学内容
例题引入
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1 （3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1
感悟与收获
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行;
ak 1 k 1 k ( ak 1 0).
故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
(2)数学归纳法证明整除问题： 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
……
an=?
归纳
an=a1+(n1)d
问题情境二:
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：
an 2 1中a0 3，a1 5，a2 17， a3 257，a4 65537， ... 结论：an 2 1是质数(n N )
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。
（相当于能推倒第一块骨牌）
（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.
（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）
一、数学归纳法定义：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确； 用上假设 假设推理 递推才真 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题
优点：考查全面，结论正确;
缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查.
（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法
优点：考查对象少，得出结论快; 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确.
问题情境三:
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；
2
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，
∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2
1
即当n=k+1时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
例题讲解
例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1)· d=a1, ∴ 当n=1时，等式成立 (2)假设当n=k时等式成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
,{ . 10a 3b 2 b 4 3a b 1 a 1
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
பைடு நூலகம்
(2)假设当n=k时结论正确,即:
写明结论 才算完整
二、数学归纳法应用举例：
(1)数学归纳法证明等式问题： 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) bn 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 {
12 22 k2 k2 k . 1 3 3 5 (2k 1)(2k 1) 4k 2
则当n=k+1时,
12 22 k2 (k 1) 2 1 3 3 5 (2k 1)(2k 1) (2k 1)(2k 3) k2 k (k 1) 2 k (k 1)(2k 3) 2(k 1) 2 4k 2 (2k 1)(2k 3) 2(2k 1)(2k 3) (k 1)(2k 2 3k 2k 2) (k 1)(2k 1)(k 2) 2(2k 1)(2k 3) 2(2k 1)(2k 3) k 2 3k 2 (k 1) 2 (k 1) . 4k 6 4(k 1) 2
2n
2n
不完全 归纳法
an 2 1中，n 5时， a5 4294967297 6700417 641 费马您错了！
欧拉(1707～1783)，瑞 士数学家及自然科学家。
2n
归纳法:
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法
用数学归纳法证明: a n n 1. n
=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 ak k k 1. 则当n=k+1时,
1 1 1 1 Sk (ak ) ( k k 1 ) k. 2 ak 2 k k 1 1 1 ak 1 Sk 1 Sk (ak 1 ) k ak21 2 k ak 1 1 0 2 ak 1
(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比 大徒弟聪明．
2 2k 2k 2k 2
2k 2
2
y
2k 2
2
x x y y
2 2k 2
2k 2k 2k
2k
x ( x y ) y ( x y ) x ( x y ) y ( x y)(x y) x2 ( x2k y 2k )、y 2k ( x y)(x y) 都能被x+y整除.
第二章 数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教 学 目 标
重 点 难 点
教 学 内 容
随 堂 练 习
课 堂 总 结
课 后 作 业
教学目标
（1）掌握数学归纳法的思想
（2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓
展，也是一种重要的数学方法可以使学生学 会一种研究数学的科学方法
重点难点 重点：归纳法意义的认识和数学
(4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。
今 日 作 业
课本P27习题2.1 第4题，第5题。
问题情境一:
问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
模拟演示 完全归纳法
问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ? 在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么 a1=a1=a1+0d, a2 =a1+d =a1+1d, a3 =a2+d =a1+2d, a4 =a3+d =a1+3d, 不完全归纳法
故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
1 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2S n an . an
1 1 2 a S ( a ) a 证:(1)当n=1时, 1 1 1 1 1 a1 1, 1 1 1 2 a1
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，等式也成立。
凑假设
从n=k到 n=k+1有什 么变化
结论
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
例2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2
证明: (1) 当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
递推基础
(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1] =k2+2k+1
递推依据
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
练 习
用数学归纳法证明:
1 (1) 1 2 3 n n(n 1) 2
(3)数学归纳法证明几何问题：
例、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何 三条不过同一点，问交点的个数 f ( n) 为多少?并证明.
n( n 1) f ( n) 2
归纳法产生过程的分析
难点：数学归纳法中递推思想的
理解
教学内容
演绎推理 三段论
(一般到特殊)
推理方法
完全归纳 归纳推理
(特殊到一般)
不完全归纳
教学内容
例题引入
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1 （3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是 an=a1qn-1
感悟与收获
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归 纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必 须作出证明，证明可用数学归纳法进行;
ak 1 k 1 k ( ak 1 0).
故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
(2)数学归纳法证明整除问题： 例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.
证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立. (2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除. 则当n=2k+2时,有 x
……
an=?
归纳
an=a1+(n1)d
问题情境二:
数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：
an 2 1中a0 3，a1 5，a2 17， a3 257，a4 65537， ... 结论：an 2 1是质数(n N )
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。
（相当于能推倒第一块骨牌）
（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.
（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）
一、数学归纳法定义：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确； 用上假设 假设推理 递推才真 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题
优点：考查全面，结论正确;
缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查.
（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法
优点：考查对象少，得出结论快; 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确.
问题情境三:
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；
2
证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 2）假设n=k(k∈N,k≥2)时，k条直线交点个数为 f(k)= 1 k(k-1),
2
当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于 一点，共增加k个点，
∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= 2 k(k-1)+k = 1 k(k-1+2)= 1 k(k+1)= 1 (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),
2 2 2
1
即当n=k+1时命题仍成立。 由1）、2）可知，对一切n∈N原命题均成立。
例题讲解
例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1)· d=a1, ∴ 当n=1时，等式成立 (2)假设当n=k时等式成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
,{ . 10a 3b 2 b 4 3a b 1 a 1
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
பைடு நூலகம்
(2)假设当n=k时结论正确,即:
写明结论 才算完整
二、数学归纳法应用举例：
(1)数学归纳法证明等式问题： 例1、是否存在常数a、b,使得等式: 12 22 n2 an2 n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) bn 2 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得 {
12 22 k2 k2 k . 1 3 3 5 (2k 1)(2k 1) 4k 2
则当n=k+1时,
12 22 k2 (k 1) 2 1 3 3 5 (2k 1)(2k 1) (2k 1)(2k 3) k2 k (k 1) 2 k (k 1)(2k 3) 2(k 1) 2 4k 2 (2k 1)(2k 3) 2(2k 1)(2k 3) (k 1)(2k 2 3k 2k 2) (k 1)(2k 1)(k 2) 2(2k 1)(2k 3) 2(2k 1)(2k 3) k 2 3k 2 (k 1) 2 (k 1) . 4k 6 4(k 1) 2
2n
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不完全 归纳法
an 2 1中，n 5时， a5 4294967297 6700417 641 费马您错了！
欧拉(1707～1783)，瑞 士数学家及自然科学家。
2n
归纳法:
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法
用数学归纳法证明: a n n 1. n
=1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 ak k k 1. 则当n=k+1时,
1 1 1 1 Sk (ak ) ( k k 1 ) k. 2 ak 2 k k 1 1 1 ak 1 Sk 1 Sk (ak 1 ) k ak21 2 k ak 1 1 0 2 ak 1
(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比 大徒弟聪明．
2 2k 2k 2k 2
2k 2
2
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2k 2
2
x x y y
2 2k 2
2k 2k 2k
2k
x ( x y ) y ( x y ) x ( x y ) y ( x y)(x y) x2 ( x2k y 2k )、y 2k ( x y)(x y) 都能被x+y整除.
第二章 数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教 学 目 标
重 点 难 点
教 学 内 容
随 堂 练 习
课 堂 总 结
课 后 作 业
教学目标
（1）掌握数学归纳法的思想
（2）数学归纳法学习是数列知识的深入与拓
展，也是一种重要的数学方法可以使学生学 会一种研究数学的科学方法
重点难点 重点：归纳法意义的认识和数学
(4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推 思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。
今 日 作 业
课本P27习题2.1 第4题，第5题。
问题情境一:
问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
模拟演示 完全归纳法
问题 2: 如果{an}是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d ? 在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么 a1=a1=a1+0d, a2 =a1+d =a1+1d, a3 =a2+d =a1+2d, a4 =a3+d =a1+3d, 不完全归纳法
故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
1 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2S n an . an
1 1 2 a S ( a ) a 证:(1)当n=1时, 1 1 1 1 1 a1 1, 1 1 1 2 a1
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，等式也成立。
凑假设
从n=k到 n=k+1有什 么变化
结论
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
例2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2
证明: (1) 当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
递推基础
(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1] =k2+2k+1
递推依据
=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
练 习
用数学归纳法证明:
1 (1) 1 2 3 n n(n 1) 2