影响线应用

Ri tan i 0 Ri tan i 0
x 0 x 0
Ri tan i 0 Ri tan i 0
就变号。
一般情况下 Ri tan i 0
小结：极值位置时只要荷载移动 Ri tan i
极值位置时只要荷载移动 Ri tan i 就变号，它就是一个判别式。 在什么情形下它才会变号呢？
P1
A
3.5m 1.5
P2 P3
3.5m
P4
P1 P2 P3 P4 82kN
B
RA
0.75m 2
6m 6.0
578
0.75m 2
6m
RB
12m
弯矩包络图（kN· m）
0 1.2 2.4
215
366
465
559
574
a 0.75 m
M max
x
l a 2 2
2
l a 1 M max R M c 2 2 l
一组集中移动荷载的影响
K
2m
P1=P 4m
P2=2P
x 12m P =P P1=P P2 P =P =P P2=2PP =2P =2P P =2P P1=P 11 1 1 22 5/3 4/3
P2 =P 1=2P
P2=2P
1
2/3
I.L.MK(m)
MK MK的综合 影响线
10P/3
8P/3
11P/3
弯矩包络图（kN· m）
366
465
559 94.3
65.0
574 41.7
25.3
16.4
179
212
153
127
8.2
0.0 剪力包络图（kN）
求绝对最大弯矩。可以分为两个步骤： 1）它出现在那一个截面？ 2）在那一个集中荷载下面？ 1）直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载下面，因 此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载下面的截面。
2
12 0.75 1 4 82 82 3.5 578kN m 2 12 2
作业
• 4-17
5.6m 3m 6m 3m 14m 4m
d
8m
1.8m
3.36m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于截面C处由判别式有： 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 50 5.6 8.4 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 10 0 5.6 8.4
§4-6 影响线的应用 一、求实际荷载作用的影响
P 1
P2 P3
C
b l
a
b
y3
QC P 1 y1 P 2 y2 P 3 y3
I .L QC
y1
a l
y2
QC
q dx y
B A
q
A
b l a l
dx
y
B
q ydx
A
B
q AB
I .L QC
AB－影响线面积代数和
3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每 一个荷载都是临界荷载。
三、临界位置的判定
(1)求出使Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。 (2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。 +Z 0 -Z 如何求临界位置呢？
Z R1 y1 R2 y2 R3 y3
x
Ri yi
∴130kN是临界荷载
3.75
6.25
MC=100×3.75+50×6.25+130×9.38 +70×7.88+100×2.25 +50 ×0.75 ＝2720kN.m Mcmax=2720kN.m
0.75
简支梁的包络图和绝对最大弯矩
设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。 分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。
一般说来： Z=∑ Piyi +qω－m tanβ m/b m/b
m
b
a
β
c
Z的影响线
Z=－m/b×a+m/b×c =－m(a－c)/b =－m tanβ
集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响 线的倾角正切。两者同向取负值。
例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。
100kN
K
100kN 50kN/m
i 1
3
RR 11
RR 22
RR 33
当荷载移动 x相应有 :
yi x tan i
Z Z R1 ( y1 y1 ) R2 ( y2 y2 ) R3 ( y3 y3 ) Z Ri yi
i 1 3
x
y1
1 0
y
x
A
P=1 C
B
RA
a
l
b
ab l
I .L M C
RB
0.09
0.16
0.21
0.24
0.25
例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。
P1
A
3.5m
P2 P3
1.5
3.5m
P4
P1 P2 P3 P4 82kN
B
RA
0 1.2 2.4
215
12m 6.0
578
RB
12m
l xa x M cr l
l xa RA R l
2
M max
1.R应是梁上实有荷载的合力 注 意
l a 1 R M 2 2 l
2.应选几个可能的Pc计算相应的Mmax其中最大的即为绝对最大弯矩。
3. Pc到R的方向以向右为正。
续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。 R
影响线为三角形时的情形。
2
P3Pc
c
P4 R右P5 P6
若存在情形：
R左 tan ( P c R右 ) tan 0
( R左 P c ) tan R右 tan 0

a

b
tan
c a
tan
c b
注意荷载移出 影响线范围以 外的情形。
R左 Pc R右 a b R左 Pc R右 a b
则PC是一临界位置
例4-8 (P143)
求C截面的最大弯矩。
(汽－15级）
70kN 130 50 100 4m 5m 4m 50
15m
25m MC影响线(m)
100 4m
15m
C
9.38
7.50
70 130 200 15 25 70 130 200 15 25 ∴130kN是临界荷载
此处不是临界位置
10 15 5 20 (kN) 3m 3.5m 4m c
5.6m
d
14m 4m 8m
3m
6m
3m
1.8m
3.36m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于d截面处由判别式有：
1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 5 0 8 4
10 15 5 20 (kN) 3m 3.5m 4m c
5.6m 3m 6m 3m 14m 4m
d
8m
1.8m 对正弯矩设
3.36m
1.6m
I .L M C
PK 20kN
置于截面d处由判别式有：
1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 20 0 4 1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 12 0 8 4
1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 40 8 4
M min 34.5kN m
Ri tan i
P R左P
1
变正负号
极大条件 极小条件
x Ri tan i 0 x Ri tan i 0
M max 83kN m
PK 20kN
设
置于截面C处由判别式有： 1.8 3.36 x 0, Ri tan i 10 ( ) (15 5 20) 21 0 6 5.6 1.8 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 ( ) 15 5 20 ( ) 1 0 6 8.4 5.6 此处不是临界位置
↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
30kN/m
30kN.m
6m
3m 3m 3m 4 6 5 4
6m ω1 2
6m
3m
ω2
I.L.MK (m)
ω3 1
MK=P1y1+ P2y2 +q1ω1+q2ω2－ q3ω3－mθ 1.5 －30×1/3 18＋30×6－30 × =100×4＋100×5＋50 × ＝1925kN.m
1 0
y
2 0 y 2
x
y3 3 0
Z
x Z 0
x
使Z成为极大值的临界位置 必须满足的条件：
使Z成为极小值的临界位置 必须满足的条件：
Z 0,即x Ri tan i 0
Z 0,即x Ri tan i 0
x 0 x 0
MK=P1y1+P2y2 =P1×5/3+P2×1=11P/3
2P/3
x
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。 2) MK的极值表现为尖点值。其特点是： a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。 b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点, MK的 值均减少。
满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载， 与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。
l-x-a a a xx l-x-a P1 P P P P 1 P 12 R R3 P 34 P 4 c P c
A
A B R表示梁上实有荷 载的合力
B m
a2
l/2
a2
l/2
RA
由
RB
l a x 2 2
M B 0,
： M RA x M cr R Pc作用点的弯矩
dM 0 dx R l 2 x a 0 l
6.88
MC=70×6.88+130×9.38+50×7.50 +100×6.00+50×0.38 ＝2694kN.m
6.00
0.38
100kN
50 4m
130 70 5m 4m C
100 15m
50 4m
15m
25m MC影响线(m)
2.25
9.38 7.88
150 130 220 15 25 150 130 220 15 25
R1 R1
R2 R2
R3 R3
临界位置
Ri改变
y1
1 0
y
2 0 y 2
x
y3 3 0
临界荷载
总结： 1）选一个荷载置于影响线的某个顶点； 2）利用判别式，看是否变号； 3）求出每个临界位置对应的Z极值； 4）比较各Z极值，得出最大值。
15 (kN5 20 (kN) ) 10 15 510 20 3m 3.5m 4m 3m 3.5m 4m c
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到பைடு நூலகம்一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。 （１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
max
min
利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量
2 0 y 2
x
y3 3 0
Z Ri yi Ri x tan i x Ri tan i
Z Ri yi Ri x tan i x Ri tan i
R1
R2
R3
Z
x
x
Z 0
y1