影响线应用

Ri tan i 0 Ri tan i 0
x 0 x 0
Ri tan i 0 Ri tan i 0
就变号。
一般情况下 Ri tan i 0
小结：极值位置时只要荷载移动 Ri tan i
极值位置时只要荷载移动 Ri tan i 就变号，它就是一个判别式。 在什么情形下它才会变号呢？
1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 40 8 4
M min 34.5kN m
Ri tan i
P R左P
1
变正负号
极大条件 极小条件
x Ri tan i 0 x Ri tan i 0
3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每 一个荷载都是临界荷载。
三、临界位置的判定
(1)求出使Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。 (2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。 +Z 0 -Z 如何求临界位置呢？
Z R1 y1 R2 y2 R3 y3
x
Ri yi
§4-6 影响线的应用 一、求实际荷载作用的影响
P 1
P2 P3
C
b l
a
b
y3
QC P 1 y1 P 2 y2 P 3 y3
I .L QC
y1
a l
y2
QC
q dx y
B A
q
A
b l a l
dx
y
B
q ydx
A
B
q AB
I .L QC
AB－影响线面积代数和
i 1
3
RR 11
RR 22
RR 33
当荷载移动 x相应有 :
yi x tan i
Z Z R1 ( y1 y1 ) R2 ( y2 y2 ) R3 ( y3 y3 ) Z Ri yi
i 1 3
x
y1
1 0
y
2
12 0.75 1 4 82 82 3.5 578kN m 2 12 2
作业
• 4-17
MK=P1y1+P2y2 =P1×5/3+P2×1=11P/3
2P/3
x
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。 2) MK的极值表现为尖点值。其特点是： a）有一集中力Pcr位于影响线顶点上。 b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点, MK的 值均减少。
满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫临界荷载， 与此对应的行列荷载位置，称为临界位置。
一般说来： Z=∑ Piyi +qω－m tanβ m/b m/b
m
b
a
β
c
Z的影响线
Z=－m/b×a+m/b×c =－m(a－c)/b =－m tanβ
集中力偶引起的Z值等于力偶矩乘以力偶所在段的影响 线的倾角正切。两者同向取负值。
例：利用影响线求图示梁K截面的弯矩。
100kN
K
100kN 50kN/m
l xa x M cr l
l xa RA R l
2
M max
1.R应是梁上实有荷载的合力 注 意
l a 1 R M 2 2 l
2.应选几个可能的Pc计算相应的Mmax其中最大的即为绝对最大弯矩。
3. Pc到R的方向以向右为正。
续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。 R
R1 R1
R2 R2
R3 R3
临界位置
Ri改变
y1
1 0
y
2 0 y 2
x
y3 3 0
临界荷载
总结： 1）选一个荷载置于影响线的某个顶点； 2）利用判别式，看是否变号； 3）求出每个临界位置对应的Z极值； 4）比较各Z极值，得出最大值。
15 (kN5 20 (kN) ) 10 15 510 20 3m 3.5m 4m 3m 3.5m 4m c
l-x-a a a xx l-x-a P1 P P P P 1 P 12 R R3 P 34 P 4 c P c
A
A B R表示梁上实有荷 载的合力
B m
a2
l/2
a2
l/2
RA
由
RB
l a x 2 2
M B 0,
： M RA x M cr R Pc作用点的弯矩
dM 0 dx R l 2 x a 0 l
M max 83kN m
PK 20kN
设
置于截面C处由判别式有： 1.8 3.36 x 0, Ri tan i 10 ( ) (15 5 20) 21 0 6 5.6 1.8 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 ( ) 15 5 20 ( ) 1 0 6 8.4 5.6 此处不是临界位置
1 0
y
2 0 y 2
x
y3 3 0
Z
x Z 0
x
使Z成为极大值的临界位置 必须满足的条件：
使Z成为极小值的临界位置 必须满足的条件：
Z 0,即x Ri tan i 0
Z 0,即x Ri tan i 0
x 0 x 0
P1
A
3.5m 1.5
P2 P3
3.5m
P4
P1 P2 P3 P4 82kN
B
RA
0.75m 2
6m 6.0
578
0.75m 2
6m
RB
12m
弯矩包络图（kN· m）
0 1.2 2.4
215
366
465
559
574
a 0.75 m
M max
x
l a 2 2
2
l a 1 M max R M c 2 2 l
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。 （１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
max
min
利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量
↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
30kN/m
30kN.m
6m
3m 3m 3m 4 6 5 4
6m ω1 2
6m
3m
ω2
I.L.MK (m)
ω3 1
MK=P1y1+ P2y2 +q1ω1+q2ω2－ q3ω3－mθ 1.5 －30×1/3 18＋30×6－30 × =100×4＋100×5＋50 × ＝1925kN.m
x
A
P=1 C
B
RA
a
l
b
ab l
I .L M C
RB
0.09
0.16
0.21
0.24
0.25
例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。
P1
A
3.5m
P2 P3
1.5
3.5m
P4
P1 P2 P3 P4 82kN
B
RA
0 1.2 2.4
215
12m 6.0
578
RB
12m
一组集中移动荷载的影响
K
2m
P1=P 4m
P2=2P
x 12m P =P P1=P P2 P =P =P P2=2PP =2P =2P P =2P P1=P 11 1 1 22 5/3 4/3
P2 =P 1=2P
P2=2P
1
2/3
I.L.MK(m)
MK MK的综合 影响线
10P/3
8P/3
11P/3
∴130kN是临界荷载
3.75
6.25
MC=100×3.75+50×6.25+130×9.38 +70×7.88+100×2.25 +50 ×0.75 ＝2720kN.m Mcmax=2720kN.m
0.75
简支梁的包络图和绝对最大弯矩
设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。 分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。
R左 Pc R右 a b R左 Pc R右 a b
则PC是一临界位置
例4-8 (P143)
求C截面的最大弯矩。
(汽－15级）
70kN 130 50 100 4m 5m 4m 50
15m
25m MC影响线(m)
100 4m
15m
C
9.38
7.50
70 130 200 15 25 70 130 200 15 25 ∴130kN是临界荷载
5.6m 3m 6m 3m 14m 4m
dபைடு நூலகம்
8m
1.8m
3.36m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于截面C处由判别式有： 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 50 5.6 8.4 3.36 3.36 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 10 0 5.6 8.4
2 0 y 2
x
y3 3 0
Z Ri yi Ri x tan i x Ri tan i
Z Ri yi Ri x tan i x Ri tan i
R1
R2
R3
Z
x
x
Z 0
y1
10 15 5 20 (kN) 3m 3.5m 4m c
5.6m 3m 6m 3m 14m 4m
d
8m
1.8m 对正弯矩设
3.36m
1.6m
I .L M C
PK 20kN
置于截面d处由判别式有：
1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 20 0 4 1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 12 0 8 4
6.88
MC=70×6.88+130×9.38+50×7.50 +100×6.00+50×0.38 ＝2694kN.m
6.00
0.38
100kN
50 4m
130 70 5m 4m C
100 15m
50 4m
15m
25m MC影响线(m)
2.25
9.38 7.88
150 130 220 15 25 150 130 220 15 25
弯矩包络图（kN· m）
366
465
559 94.3
65.0
574 41.7
25.3
16.4
179
212
153
127
8.2
0.0 剪力包络图（kN）
求绝对最大弯矩。可以分为两个步骤： 1）它出现在那一个截面？ 2）在那一个集中荷载下面？ 1）直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载下面，因 此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载下面的截面。
影响线为三角形时的情形。
2
P3Pc
c
P4 R右P5 P6
若存在情形：
R左 tan ( P c R右 ) tan 0
( R左 P c ) tan R右 tan 0

a

b
tan
c a
tan
c b
注意荷载移出 影响线范围以 外的情形。
此处不是临界位置
10 15 5 20 (kN) 3m 3.5m 4m c
5.6m
d
14m 4m 8m
3m
6m
3m
1.8m
3.36m
1.6m
I .L M C
设 PK 15kN 置于d截面处由判别式有：
1.6 1.6 x 0, Ri tan i 10 15 5 20 5 0 8 4