第五章河海大学结构力学

§ 5-7
温度改变下的内力计算
超静定结构在温度改变下，不仅 产生变形，而且产生内力。
静定结构在温度改变下只产生刚体 位移，不产生内力。
力法超静定结构在温度下产生内力，计算方法与荷载情况相类似，仅 自由项不同，应将 kp 改为 kt
kt 表示静定基本系仅受温度改变作用引起的解除约束处所得位移。
自由项
ip——荷载作用在基本系引起的 Fi 处所方向的位移
柔度系数的特点
§5-4
力法举例
力法计算的基本步骤
刚架 组合结构
排架
连续梁
桁架
例
计算图示结构内力计算，绘内力图
解：1.基本未知量 F1、 F2 基本系如图 原结构
基本系
2.典型方程
3.作单位内力图、荷载内力图
系数计算：
自由项计算：

ql 4 192 EI
缺点就是计算 M k 太复杂
下面介绍力法基本系（静定结构）求原结构位移的方法。
基本系和原超静定结构具有相同受力状态和变形状态。 求原超静定结构的位移可化为求基本系（静定结构）的位移。
上例：
由图 M p 与 M k 图乘相乘得：
'
由于超静定结构基本系不是唯一的，因此，虚位移状态可 建立在不同形式的基本系上，如 M k " 。由 M p图与 M k "图相乘 也得到相同的位移。
解：（1）当沿跨长受匀布荷载q作用时：
l l x 因为对称，所以取 2 2
因为 计算系数项和自由项时忽略剪力和轴力的影响， 对称荷载，对称荷载，反对称未知力 F2 0 又 M1 0， M 3 y y3
由
结论：
（2）当拱内外侧温度变化时
迭加法计算内力
结论
（3）当拱右支座向下移动1cm时
三、超静定结构型式
1.超静定梁 4.超静定拱 2.超静定刚架 5.超静定排架 3.超静定桁架 6.超静定组合结构 下一页
超静定梁
返回
超静定刚架
返回
超静定桁架
返回
超静定拱
返回
超静定排架
返回
超静定组合结构
返回
§ 5-2
力法基本原理
以刚架为例叙述
以连续梁为例叙述
下一节
一、基本思路
解除多余约束代之以多余 约束力，化超静定结构为静 定结构计算。
第五章 力法
§5-1 超静定结构概述 §5-2 力法基本原理 §5-3 力法原理进一步讨论 §5-4 力法举例 §5-5 结构对称性的利用 §5-6 支座移动下的内力计算
§5-7 温度改变下的内力计算
§5-8 超静定拱的内力计算 §5-9 超静定结构的位移计算 §5-10 超静定结构的计算校核 §5-11 超静定结构的特性
4.求解典型方程的：
5.作最后内力图： 由 得：
由M图作出 FQ
返回
例
计算图结构内力，绘内力图。
解：1.基本未知量 F1 、 F2 基本系如图 2.典型方程：
3.作单位内力图 系数计算：
M 1 、M 2荷载内力图：

源自文库
自由项计算：
4.求基本未知量 1 将系数和自由项代入典型方程，并在方程两边乘 EI 得：
结论：对称结构受对称荷载作用，对称截面上只有对称未知 量。
当荷载反对称时， M P 反对称，

只有未知力 F3 , 只需求解最后 一式。 结论：对称结构受反对称载荷作用，对称截面上只有反对称未 知量。
2.取对称基本系并取成组未知量：
a.对称荷载下：
A,B处竖向反力相等，构成成组未知力 F1
思考题： 该典型方程表示什么物理条件？
求解典型方程
拱上任一截面内力都可用迭加原理求得：
系数和自由项的求解不能用图乘，只能用积分法求解。通常采用下列算 式：
在支座沉陷情况下用弹性中心计算，其力法典型方程中仅自 由项不同。
最后内力
在温度情况下用弹性中心法计算，其力法典型方程中仅自由项不同。
最后内力
例 矩形变截面无铰拱，跨度l=30m,矢高f=6m，拱顶厚 度hc 0.5m ，拱轴线为抛物线 ，截面变化假 设 ， ， ， ， 求下列情况下拱的内力（截面分8等分）。 （1）承受沿跨长均布载荷q作用。 （2）拱外侧温度升高 拱内侧温度升高 （3）拱右边支座向下移动1cm。
（4）切断一根受弯杆件换成铰或将固定支座换成铰支座相当
于解除一个约束
§5-3-2
基本未知量 基本系
基本未知量个数=多余未知力个数=超静定次数 基本体系----解除多余约束得到的静定结构 力法基本体系不唯一 解除不同的多余约束，可得不同基本体系。
基本体系选取原则：1.几何不变，一般取静定结构； 2. 使计算尽可能简化。
迭加法计算内力
结论
§5-9 超静定结构的位移计算
一、荷载作用
由虚功原理导出的位移计算公式同样适用于超静定结构：
F Nk FQk M k 超静定结构虚力状态的内力； 式中：
FNP
FQP M P超静定结构位移状态的内力。



例
解：
求图示超静定梁在均布荷载作用下中点C的挠度。
由图乘法得： cP
非对称载荷可以分解为对称载荷+反对称载荷。
对称性原理：
对称结构在对称荷载作用下，反力、内力、变形和位移是对 称的；对称结构在反对称荷载作用下，反力、内力、变形和 位移是反对称的。
二、利用对称性简化计算 1.取对称基本系（在对称轴上解除约束）
M p 对称， 当荷载对称时，

只有未知力 F1 和 F2，只 需求解前二式。
二、力法原理
三、力法原理总结
返回
二、力法原理
基本未知量：F1 基本体系：解除多余约束后的的静定结构。
位移协调条件：
1 0
位移协调条件：
11 1P 0
11 11F1
力法典型方程：
11F1 1P 0
11由图（a）自乘得到：
1P 由图（a）与图（b）图乘得到：
思考： 切开或撤去多余杆的基本体系， 有何区别
F2 N 荷载内力图 FNQ 3.作单位内力图 F1N 、 系数计算：
自由项计算
4.求解典型方程
5.作最后内力图 叠加原理作轴力图：
返回
例
计算图示结构内力，绘内力图 解：1.基本未知量 F1 基本系如图
2.典型方程
3.作单位内力图，载荷内力图 系数计算：
例图示刚架支座c向下移动1cm， 解：
,l=4m,求作M图。
结论：超静定结构在支座移动作用下的内力 1.全部由多余约束引起： 2.与各杆刚度绝对值有关。
工程处理 某些超静定结构由于支座移动引起的内力往往是比较大 的，应引起注意。为了减小由于支座移动引起的内力，不 能简单采取增大截面的方法，可采取结构措施，如设置沉 降缝或对于基础进行处理
负，使 M 1符号保持不变才能使 13 31 0。
M 3值有正有

设想在拱顶切口处安上两根刚度为无穷大的杆件，称刚臂。 刚臂的作用：把多余约束力传到结构上，但不产生任何变形。 刚臂的长度 y s 利用 13 0来求出。
令
13 0
得
即
求出刚臂长度 y s ，将多余约束力作用在刚臂的端点 C ' ，这端点称弹性 中心，此方法称为弹性中心法。
自由项计算
4.求解典型方程：
令
得
5.作最后内力图 叠加原理作弯矩图
返回
力法计算基本步骤
1.确定超静定次数，解除多余约束代之以多余约束力建立力法基本系； 2.建立力法典型方程; 3.作单位内力图及荷载内力图，计算柔度系数和自由项; 4.求解典型方程，得基本未知量； 5.根据叠加叠加原理作内力图，并校核。
b.反对称荷载如下
A、B处竖向反力大小相等，方向相等，构成成组未知力F2 ， 典型方程为：
思考题 该典型方程表示什么物理条件？
讨论题：
1.利用对称性，讨论具有对称轴的地下涵管
不计剪力轴力对 位移的影响时，
M FQ 0
只有轴力。
§ 5-6
支座移动下的内力计算
超静定结构在支座移动下，不仅产 生变形，而且产生内力。
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§ 5-5
结构的对称性的利用
一、基本概念 对称结构：（1）结构对称、尺寸、约束对称； （2）杆件截面和材料性质也对称。
对称荷载：将结构绕对称轴对
折，左、右两部分的荷载彼此重 合，则称此载荷为对称结构。
反对称荷载：将结构绕对称轴
对折，左、右两部分的荷载作用点 重合，大小相等，方向相反。则称 此载荷为反对称结构。
基本未知量、基本系
§ 5-3-3 力法的典型方程
§ 5-3-1
超静定次数的确定
超静定次数即多余约束个数，用解除约束法确定。
解除约束法通常有下列几种： （1）切断一根连杆或撤除一根连杆，相当于解除一个约束：
（2）拆掉一个单铰或撤除一个铰支座相当于解除二个约束。
（3）切断一根受弯杆件或拆除一个固定支座相当于解除三 个约束
静定结构在支座移动下只产生刚体 位移，不产生内力。
计算超静定结构在支座移动下产生的内力，计算方法和过程与荷 kc 例如： 载情况相比，仅自由项不同，应将 kp 改为
力法典型方程：
自由项计算：
如取下图所示基本系，力法典型方程右端项等于给定位移值
思考题：
（1） M c ? （2）支座移动作用下超静定 结构的内力与各杆刚度是什么 关系？
基本未知量、基本系
基本未知量、基本系
基本未知量、基本系
§5-3-3 力法典型方程
原结构
基本系
解除位移约束处的位移协调条件为：
力法典型方程：
对n次超静定结构，其力法典型方程为：
ip ——自由项 其中 ij——柔度系数， 柔度系数： ij—— 作用在基本系上引起的 Fi 处所方向的位移
§5-1
一、超静定结构的定义
超静定结构概述
定义：一个几何不变的结构，如果其 支座反力和内力不能单独由静力平衡条件 全部确定，这样的结构称为超静定结构。
二、超静定结构的基本特征
几何组成特征：几何不变，有多余约束。 静力特征：仅有静力平衡条件无法确定全部的支座反力和 内力。 求解条件：超静定结构的解必须同时满足静力平衡条件和 位移协调条件。
,基本系如图
2.典型方程
3.作单位内力图、荷载内力图
系数计算：
自由项计算：
4.求解典型方程：
5.作最后内力图： 由 M M i Fi M P FQ 图 由M图作 FN 图、
返回
例 计算图示桁架结构轴力，设各杆EA相同
解：1.基本未知量 F1 ，F2 ，基本系如图：
2.典型方程：
例 图示刚架，内测温度升高20℃，外侧温度升高10℃
EI 1.0 105 kN m2 h l 10
1.0 10
5
设l=4m，求作M图。
解：
基本方程
求解1t 2t 求解省略
结论：超静定结构在温度改变下的内力 1.全部由多余约束力引起； 2.与各杆刚度绝对值有关。
工程中应注意到的问题： 当超静定结构在温度改变而引起的内力过大时，用增大截面 的方法来减减小内力不是一个有效的途径，可采用设置温度 缝，采用新型材料等其它措施。上例表明在杆件的相对降温 边产生拉应力，因此，在钢筋混凝土结构中，要特别注意可 能出现的裂缝
解典型方程： 作内力图 有叠加原理得最后弯矩图、根据M 图做 FQ 图
M M1F1 M P
返回
一、基本思路
解除多余约束代之以多余约束力，化超静定结构为静 定结构计算。
二、力法原理 三、力法原理总结
返回
二、力法原理
基本未知量： F1
基本体系：解除多余约束后的的静定结构。
位移协调条件： 1 0
11 1P 0
11 11F1
力法的典型方程： 11F1 1P 0
11 由g)、h）图乘得到：
1P由图i）与图g）图乘得到：
典型方程：
得
作内力图 由叠加原理得最后弯矩图、据M图作 FQ 图
返回
§5-3 力法的原理进一步讨论
§ 5-3-1
§ 5-3-2
超静定次数的确定
§5-8
一、概述
超静定拱的内力计算
常见超静定拱有两铰拱和无铰拱，各有特点，使用不同场合
常用的拱轴线形式的抛物线、圆弧等。 用力法计算两铰拱与计算两铰刚架相似，只要注意求系数、自由项需用 积分法，而不能用图乘法。
二、对称无铰拱的计算
选对称的基本系，力法典型方程为：
其中
利用弹性中心法求解。 要使 13 31 0必须将多余约束力的作用点从点C向下移，使
1
设
EI 1 1 EI 2
得 在荷载作用下，超静 定结构的多余约束力 及最后的内力只与各 杆刚度的相对比值有 关，而与各杆刚度的 绝对值无关，计算时 可采用相对刚度。
解典型方程得：
5.作最后内力图： 由
得：
由M 图作
FQ 图 FN 图、
返回
例
计算图示结构内力，绘内力图，已知
1.基本未知量
F1 、 F2
二、温度变化
由虚功原理导出的温度变化引起的位移计算公式为：
式中 FNk 、 M k为建立在原超静定结构上的虚力状态的内力。