专题七 函数的概念与图象

专题七函数的概念与性质
【要点整合】
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y ，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，是的函数。

※判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应
3、确定自变量取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

4、函数的图象：
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的、坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的）；
第二步：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

9、正比例函数及性质
一般地，形如y= (k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.
当k>0时，直线y=kx 经过 象限，从左向右 ，即随x 的增大y 而 ；当k<0时，•直线y=kx 经过 象限，从左向右 ，即随x 增大y 反而 ．
(1)必过点：（0，0）、（1， ）
(2)走向：k>0时，图象经过 象限，从左向右 ；
k<0时，图象经过 象限，从左向右 ；
(3)增减性：k>0，y 随x 的增大而 ；k<0，y 随x 增大而 (4)倾斜度：|k|越大，越接近 轴；|k|越小，越接近 轴
y=kx(k ≠0)
k ＞0
K ＜0
图象
增减性
【自主探究】
1、在横线上填出各函数自变量x 的取值范围.
①y=－5x ②122+-=x x y ③x
y -=32
④y=2x - ⑤y=
12
x - ⑥x x y --=41
⑦y=(x －2)0+3x
2、下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
4、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x （kg）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
5、一个蓄水池储水100m3，用每分钟抽水0.5m3的水泵抽水，则蓄水池的余水量y（m3）与抽水时间t（分）之间的函数关系式是 .
6、汽车由南京驶往相距300km的上海，它的平均速度为100km/h，则汽车距上海的路程s（km）关于行驶的时间t（h）的函数关系式为．
7、某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费；若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米a 元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞12）之间的关系式为，若该月交水费20a 元，则这个月的实际用水立方米．
8、已知正比例函数y=（3k-1）x ，若y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 .
9、若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点（ ） A.（1，2） B ．（-1，-2） C ．（2，-1） D ．（1，-2） 10、已知正比例函数的图象经过点（-3，6）． （1）求这个正比例函数的解析式；
（2）若这个图象还经过点A （a ，8），求点A 的坐标．
【例题精析】 例1 函数y=1
3
-+=
x x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-3 B ．x ≥3 C ．x ≥0且x ≠1 D ．x ≥-3且x ≠1
分析 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．． 解：根据题意得，x+3≥0且x-1≠0， 解得x ≥-3且x ≠1． 故选D ．
考点：函数自变量的取值范围．
例2 如图7.1，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=4cm ．动点E 从点B 出发，沿着线路BC →CD →DA 运动，在BC 段的平均速度是1cm/s ，在CD 段的平均速度是2cm/s ，在DA 段的平均速度是4cm/s ，到点A 停止．设△ABE 的面积为y （cm 2），则y 与点E 的运动时间t （s ）的函数关系图象大致是（ ）
家长签字：
年 月 日
A B
C D
考点：动点问题的函数图象．
分析：求△ABE的面积y时，可把AB 看作底边，E到AB的垂线段看作高．分三种情况：①动点E从点B出发，在BC上运动；②动点E在CD上运动；③动点E在DA上运动．分别求出每一种情况下，△ABE的面积y（cm2）点E的运动时间t（s）的函数解析式，再结合自变量的取值范围即可判断．
解: 分三种情况：
①动点E从点B出发，在BC上运动．
∵BC=4cm，动点E在BC段的平均速度是
1cm/s，
∴E在BC段的运动时间为：（s）．
∵y=
2
1
•AB•=
2
1
×6×= ，
∴y=3t（0≤t≤4），
∴当0≤t≤4时，y随t的增大而增大，故
排除A、B；
②动点E在CD上运动．
∵CD=AB=6cm，动点E在CD段的平均速
度是2cm/s，
∴E在CD段的运动时间为：（s）．
∵y=
2
1
•AB•=
2
1
×6×= ，
∴y=12（4＜t≤7），∴当4＜t≤7时，y=12；
③动点E在DA上运动．
∵DA=BC=4cm，动点E在DA段的平均速
度是4cm/s，
∴E在DA段的运动时间为：
（s）．
∵y=
2
1
•AB•AE
=
2
1
×6×[4-4（t-7）]=96-12t，
∴y=96-12t（7＜t≤8），
∴当7＜t≤8时，y随t的增大而减小，故
排除D．
综上可知C选项正确．
故选C．
7-1
例3、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有 .（填序号） 考点：函数的图象 解：
例4、正比例函数y ＝(3m −1)x m 2−2的图象经过第一、三象限，则m 的值为 .
考点：正比例函数的定义；正比例函数的性质． 解：
例5、如图7-3，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”
连接为 ． 考点： 解：
例6、正比例函数y=（k-3）x 的函数值随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是 . 解：
7-2
7-3
例7、已知y+2与x-1成正比例，且x=3时y=4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=1时，求x的值
考点：
解：
【拓展探究】
例8、已知动点P以每秒2cm的速度沿如图7-4所示的边框按从B⇒C ⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图所示，若AB=6cm，试回答下列问题：
7-4
（1）如图甲，BC的长是多少？图形面积是多少？
（2）如图乙，图中的a是多少？b是多少？
解：
7-5
【当堂测练】
1、下列图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）
A B C D
2、市出租车计价方式如下：行驶距离在2.5km 以内（含2.5km ）付起步价6元，超过2.5km 后，每多行驶1km 加收1.4元，试写出乘车费用y （元）与乘车距离x （km ）（x ＞2.5）之间的函数关系为 ．
3、世界杯期间，为了让广大球迷尽情享受足球的乐趣又不影响家人的正常休息，我市某大型酒店提供了“世界杯专用包房”服务．该酒店共有包房100间，每晚每间包房收包房费100元时，所有包房便都可租出；若每间包房的收费每提高50元，所租出的包房就会减少10间，依此类推．设每间包房收费提高x （元），每晚包房费的总收入为y （元），则y 与x 的关系式为 .
4、 函数y=
x
x
1
12+
-中，自变量x 的取值范围是 . 5、图中的图象折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离y （km ）和行驶时间x （h ）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为
3
80
km/h ；④汽车自出发后3h ～4.5h 之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法是 （填序号）．
6、已知点P 1（x 1，y 1）和点P 2（x 2，y 2）是正比例函数y=（k+3）x 图象上的两点，且当x 1＜x 2时，y 1＜y 2，则k 的取值范围是 .
7、对于函数y=-k 2x （k 是常数，k ≠0）的图象，下列说法不正确的是（ ）
A ．是一条直线
B ．过点（
k
1
，-k ） C ．经过一、三象限或二、四象限 D ．y 随着x 增大而减小
8、已知y+2与x-3成正比例，当x=4时，y=3． ①求这个函数解析式． ②求当x=3时y 的值
家长寄语：
年 月 日。