复变函数与积分变换学习指导(第六章)

第七章保形变换
前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。

内容主要涉及所谓柯西理论；
这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。

保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。

它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。

第一节解析变换的特性
一.保域性
1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则
的象也是一个区域。

证先证的每一个点都是内点。

，使
,则为的一个零点,由解析函数的零
点孤立性知,,使,且在上
无异于的零点。

令,则。

下证。

，
考察，
当时，，由Rouché定理
，即在内有解,从
而。

再证内任两点,可用全含于内
的折线连接起来。

由于是区域,在内有折线
,,连接,其中。

函数把折线映射成内连接
的逐段光滑曲线。

由于为内紧集，根据有限覆盖定
理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连
接的折线。

综合，知为区域。

2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个
区域。

证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。

3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。

4.单叶解析函数的性质
定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。

定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则
在的某个邻域内单叶解析。

(证明类似于和）
二.解析变换的保角性——导数的几何意义
1.导数辐角的几何意义
设为过的光滑曲线,,则
且是在处的切线的辐角。

设，
故也是光滑的,。

若内过还有一个光滑曲线。

设，则
即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。

单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。

称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。

象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的
切线正向旋转一个旋转角得到。

2.导数模的几何意义
由于,故象点间的无穷小距离与原象点间
无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。

它仅与有关，而与
过的曲线的方向无关,这一性质称为伸缩率
不变性。

例试求变换在点处的旋转角及伸
缩率,并说明它将平面的那一部分放大？那一部分缩小。

解,,故在处旋转角为
，伸缩率。

因为，故。

因此将以为心，为半径的圆周外部放大，内部
缩小。

3.保角变换
定义设在的邻域内有定义，且在具有
（1）伸缩率不变性；
（2）过的任意曲线保持其夹角的大小与方向，
则称在是保角的,或称在处的保角
变换；若在区域内处处保角，则称在
区域内是保角的，或在内是保角变换。

定理若在区域内解析,则它在导数不为零的点处
是保角的，从而在这些点各自的充分小邻域内也保角。

推论若在区域内单叶解析，则它在内保角。

三.单叶解析变换的保形性
1.定义若在区域内是单叶且保角的，则称在
内是保形的，或称是内的保形变换。

2.定理设在区域内是单叶解析，则：
（1）将保形变换成区域;
(2) 反函数在区域内单叶解析，
且。

证(1)推论7.2、7.5即得。

(2)由在单叶,故为到的一一变换，
故在区域内单叶。

，
设，由在内解析，故在内满足条件，。

于是
根据数分中隐函数存在定理，在的邻域内存在连续反函数
，，即在的邻域内有时。

故。

3.保形变换的复合仍是保形变换
例讨论解析函数的保角性和保形性。

解时，在平面上处处保角也处处保形。

时，。

若，则。

故在平面上除原点外处处保角,又的单叶性区域为顶点在原点,张度不
超过的角形区域,在这样的区域内是保形,这样的区域外不保
形,但其中各点邻域保形。

例把平面上哪些部分放大？哪些部分缩小？
解，故
当时，放大；时，缩小。

第二节线性变换
一.线性变换及其分解
1.定义称为(分式)线性变换
或Möbius变换，记为。

规定时，
，时，。

其中，均为复常数；条件是为了保证
不恒为常数。

2.命题线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变
换也是线性变换。

3.线性变换可分解为以下二种类型变换的复合
(Ⅰ)整线性变换 (当时,) (Ⅱ)反演变换 (当时,)
4.(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方
向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆
心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心与为关于单位圆周的对称点。

5.线性变换的复合仍是线性变换。

二.线性变换的性质
1.保形性
1º 定义两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

2º 定理线性变换在扩充复平面上是保形的。

证由于在扩充复平面是单叶的，故只需证其保角。

对于(Ⅱ)型变换，当，时，，
由定理7.4知解析函数在导数不为处保角,当,时，由定义知也是保角的。

对于(Ⅰ)型变换，，
,当时是保角的；当时,令,
，则，即，
于是，，
故在处也是保角的。

综上所述，即得。

2.保交比性
1º 定义扩充复平面上相异的四个点构成的量
称为它们的交比，记为；当四
点中有一个为时，包含此点的项用代替，即若，则
,也就是先将当作有限的，再令取极限而得。

2º 定理7.8线性变换下，四点的交比不变。

证记，则
，故
若中有一个为，则类似可证。

3º 定理7.9设线性变换得扩充平面上的三个相异点指定变为，则此线性变换被唯一确定，并且可写为
(即三对对应点唯一确定一个线性变换)。

证设,满足。

由知，四个常数中至少一个不为,不妨设
,则，将代入，由方程组的理论,
是唯一确定的。

3.保圆性
1º 定理7.10线性变换将平面上的圆周(直线)变为圆周或直线。

证显然整线性变换
(Ⅰ) 将圆周(直线)变为圆周(直线),
对反演变换(Ⅱ) ，将直线
变为,当时表示直
线,当时，表示圆周。

同样，将圆周
(,)变为
，当时表示直线,当时表示圆周。

2º若将扩充复平面上的直线看作半径无穷大的圆周,则线性变换在扩充复平面上将圆周变换成圆周。

3º要确定线性变换将平面上圆周的内部变换为平面圆周的内部还是外部有两种方法。

可以再内部取一点，若，在的内(外)部，则变换将的内部变换成的内(外) 部；也可用另一种方法,在上依次取三点,当观察者绕
依方向进行时，区域若在的左侧，则在平面上相应依
次沿，，绕行时,确定的相应区域仍在观察者左侧。

4.保对称点性
1º定义关于圆周对称是指都在过圆心的同一射线上，且；约定与对应。

2º命题关于圆对称
证“”
“”设，则，且
定理12 设关于圆周对称，则
关于对称。

例求出以下三对对应点所确定的线性
变换，并指出此变换把通过圆周的内部或直线的左边变成什么区域。

(1) ；
(2) 。

解(1)由可设，由可设，由
知，故，即。

因此，变换将变换为。

(2)由可得,由可得,
由知，故，即。

因此变换将变换为。

三.三个典型的线性变换。

1.求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换。

证由于此变换将实轴变换为实轴，故,均为实
数。

又取，则，
即,故所求变换为满足均为
实数且。

2.求把上半平面保形变换成单位圆,并把
变为的线性变换。

解由，根据线性变换的保对称点性，关于实轴
的对称点映射成0关于圆的对称点，即。

故，为复常数。

又若为实数，即在实轴上，则应在圆周
上，故于是，故所求变
换为，其中的确定，还需要另加条件。

如可先指定实轴上一点与圆周上某点的对应关系；又如
可先指定变换在处的旋转角。

3.求把单位圆保形变换成单位圆的线性变换，并使一点
变换到。

解由，根据线性变换保对称点性,关于的对称点为应该变成关于的对称点，即
，故
其中与为复常数。

当时
故，从而,的确定则需另
加条件。

四.例子
1.求把上半平面保形变换成圆的线性变换
，使，。

解，由保对称点性。

故可设，又
即须为实数，于是,从而变换。

2.求出将圆变成半平面的保形变换使圆心
变到,而圆周上的点变到。

解已知，，由线性变换保对称点性，关于圆周的对称点应对应于关于的对称点，即。

由，，可设，又，故，即，故。

3.求出将上半平面保形变换成圆的线性
变换，使；如果再要求，此变换是否存在？
解已知，由线性变换保对称点性，。

由于所求变换属于第二种典型变换，故可设
若要求，
则，即。

解法二由,可设,又实轴对应于圆周，
不妨取，，故。

4.求出圆到半平面的保形变换,
使，。

解已知,由线性变换保对称点性,,故可设变换为
，又对应于，
即，
，
故，由知，
于是，即。

5.求将保形变换为的线性变换,使
，。

解设，
由知，
故所求变换为。

6.求将上半平面保形变换成上半平面的线性变换,使
，。

解令，为实数，。

由知，又，故，
于是，又得，即，从而。