离散数学习题课-图论

2012-Biblioteka Baidu-5
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习题1
已知无向树T中有 个 度顶点 度顶点， 个 度顶点 度顶点， 已知无向树 中有2个3度顶点，3个2度顶点，其余顶点 中有 全是树叶， 全是树叶，试求树叶数
解本题用树的性质m=n−1，握手定理 解 解本题用树的性质 − ，握手定理. 设有x片树叶 片树叶， 设有 片树叶，于是 n = 2+3+x =5+x, 2m = 2(n−1) = 2×(5+x) = 2×3+3×2+x − × × × 解出x 片树叶. 解出 = 2，故T有2片树叶 ， 有 片树叶
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习题3 求最短路径 Dijstra算法 算法
V2
3 2 9 4 1 8 1 3 6 2 7
V1
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V6
5
V7
V4
V5
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树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树及其分类、最优树
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习题课
基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 会画n阶 较小） 会画 阶（n较小）非同构的无向树及根树 较小 （1≤n≤6） ≤ ≤ ） 熟练掌握求最优树的方法
方法二： 方法二：反证法
方法一： 方法一：穷举法
否则，由握手定理推论可知， 至多有4个 度 否则，由握手定理推论可知，“G至多有 个5度 至多有 顶点并且至多有4个 度顶点 度顶点” 这与G是 顶点并且至多有 个6度顶点”，这与 是 9 阶图 矛盾. 矛盾
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练习2
3．有向图D如图所示，回答下列各问： ．有向图 如图所示 回答下列各问： 如图所示， (1) D中有几种非同构的圈？ 中有几种非同构的圈？ 中有几种非同构的圈 (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ 中有几种非圈非同构的简单回路？ 中有几种非圈非同构的简单回路 (3) D是哪类连通图 是哪类连通图? 是哪类连通图 (4) D中v1到v4长度为 长度为1,2,3,4的通路各多少 中 的通路各多少 其中几条是非初级的简单通路？ 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为 长度为1,2,3,4的回路各多少 中 的回路各多少 讨论它们的类型. 条？讨论它们的类型 (6) D中长度为 的通路（不含回路）有多少条？ 中长度为4的通路 中长度为 的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为 的回路有多少条？ 中长度为4的回路有多少条 中长度为 的回路有多少条？ (8) D中长度≤4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 中长度≤ 的通路有多少条？ 中长度 的通路有多少条 其中有几条是回路？ (9) 写出 的可达矩阵 写出D的可达矩阵 的可达矩阵.
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练习1
9阶无向图 中，每个顶点的度数不是 就 阶无向图G中 每个顶点的度数不是5就 阶无向图 证明G中至少有 中至少有5个 度顶点或至少有 是6. 证明 中至少有 个6度顶点或至少有 6个5度顶点 度顶点. 个 度顶点
设G中有 个5度顶点，则必有 −x)个6度顶点， 中有x个 度顶点 则必有(9− 个 度顶点 度顶点， 度顶点， 中有 由握手定理推论可知， 只有5种可能 由握手定理推论可知，(x,9−x)只有 种可能： − 只有 种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求 ）它们都满足要求.
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练习2 (续) 续
(1) D中有几种非同构的圈？ 中有几种非同构的圈？ 中有几种非同构的圈 (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ 中有几种非圈非同构的简单回路？ 中有几种非圈非同构的简单回路 (3) D是哪类连通图 是哪类连通图? 是哪类连通图
(1) D中有 种非同构的圈， 中有3种非同构的圈 中有 种非同构的圈， 长度分别为1,2,3. 长度分别为 (2) D中有 种非圈的非同构 中有3种非圈的非同构 中有 的简单回路， 的简单回路，它们的长度分 别为 4,5,6. (3) D是强连通的 是强连通的. 是强连通的
(4) D中v1到v4长度为 长度为1,2,3,4的通路各多少 中 的通路各多少 其中几条是非初级的简单通路？ 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为 长度为1,2,3,4的回路各多少 中 的回路各多少 讨论它们的类型. 条？讨论它们的类型
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练习2(续) 续
(4) v1到v4长度为 长度为1,2,3,4的通路数分别为 的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有 的通路数分别为 长度为4的两条是非初级的简单通路 定义意义下）， 的两条是非初级的简单通路（ ），见 长度为 的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见 下图所示. 下图所示
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图
论
图的基本概念 主要内容
无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、 子图、补图；握手定理与推论；图的同构 通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径
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基本要求
深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应 用它们 深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、 深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补 图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系 记住通路与回路的定义、 记住通路与回路的定义、分类及表示法 深刻理解与无向图连通性、 深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个 概念 会判别有向图连通性的类型 熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与 回路数的方法，会求可达矩阵 回路数的方法，
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练习2(续) 续
D的邻接矩阵的前 次幂 的邻接矩阵的前4次幂 的邻接矩阵的前 次幂.
1 0 A= 1 0 3 1 A3 = 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 2 2 1 2 1 0 1 1 2 A = 1 1 5 2 A4 = 4 2 2 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 6 4 2 2 2 1 4 3 2 2 2 1
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习题2 求带权5,9,11,13,17的最优树.
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解
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7.8 根树 14 of 220
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习题3 求最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法
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练习2(续) 续
(5) v1到v1长度为 长度为1,2,3,4的回路数分别为 到 长度为 的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为 的是初级的 环)；长度 其中长度为1的是初级的 的是初级的(环 ； 的是复杂的； 的中有1条是复杂 为2的是复杂的；长度为 的中有 条是复杂 的是复杂的 长度为3的中有 的，2条是初级的；长度为4的有 条是复杂 条是初级的；长度为 的有1条是复杂 条是初级的 的有 条是非初级的简单回路. 的，有4条是非初级的简单回路 条是非初级的简单回路 (6) 长度为 的通路 不含回路 为33条. 长度为4的通路 不含回路)为 条 的通路(不含回路 (7) 长度为 的回路为 条. 长度为4的回路为 的回路为11条 (8) 长度≤4的通路 条，其中 条为回路 长度≤ 的通路 的通路88条 其中22条为回路 条为回路. (9) 4×4的全 矩阵 的全1矩阵 × 的全 矩阵.