人教版数学选修21第二章直线与圆锥曲线讲义

案例(二) --- 精析精练
课堂合作探究
重点难点突破
知识点一直线与圆锥曲线的位置关系
(1) 直线与椭圆的位置关系
根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:
设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),①△ >0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△ =0 时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0 时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.
在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.
设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y1),B(x 2,y2),直线方程为
y=kx+m(k ≠ 0)则|AB|= (x1 x2)2(y1 y2)2=
(x1 x2)2(kx1 m kx2 m)2= 1 k2|x1-x2|
或者|AB|= 1 k12 |y1-y2|；当k=0 时直线平行
x 轴,|AB|=|x1-x2|.
于
(2) 直线与双曲线的位置关
根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:
设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时, ①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相
交;②△=0 时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相
切;③△<0 时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.
在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.
直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.
(3) 直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方
法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.
另外,前面所提的弦长公式仍然适用. 利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村. 知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.
(1) 直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0 的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.
(2) 与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.
(3) 弦长问题
求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.
典型例题分析
题型 1 直线与圆锥曲线的交点问题
【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l 与C
有:(1) 一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.
解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联
消去 y 得 k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①
当 k=0 时,方程①只有一个解 x=1
,此时 y=1. 4
∴直线 l 与 C 只有一个公共点 ( 1
，1),此时直线 l 平行于抛物线的 4
对称轴.
当 k ≠ 0 时,方程①是一个一元二次方程
△=(2k-4)2-4k 2
=-16k+16=-16(k-1). (1) 当△ >0,即 k<1,且 k ≠0时,l 与 C 有两个公共点 ,此时称直线 1 与 C 相交
(2) 当△ =0,即 k=1 时,与 C 有一个公共点 ,此时称直线 l 与 C 相切；
(3) 当△ <0,即 k>1 时,与 C 没有公共点 ,此时称直线 l 与 C 相离.
综上所述 ,当 k=0,或 k=1 时,与 C 有一个公共点；
当 k<1 时 ,与 C 有两个公共点；
当 k>1 时 ,与 C 没有公共点 .
规律总结 (1)直线与抛物线相切 ,则直线与抛物线只有个公共点 反过来 ,直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线不一定
立.
答案 将 l 和 C 的方程联立
y kx 1, y 2 4x.
是相切的；
(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨
22
变式训练 1】直线 l:ax+by-3a=0与双曲线 x 9 y
9
=1只有一个公
22
答案 (1)当 b=0时,l:x=3, x 9 y
9 =1, ∴ y=0,此时 ,l 与双曲线只有一个公共点 .
y
a(3 x)
(2)当 b ≠0 时, y b 4x 2 9y 2 36 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2
)=0.① a.若 462-9a 2=0,即=± 2
时,只有一个公共点 ,此时 l:y=± 2 (3-x),即
33
2x+3y-6=0.
b.4b2-9a2≠0,即a ≠± 2
时,二次方程① b3
△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0, 此时直线 l 与双曲线必有两个交点 .
综上所述 ,共有 3条,其方程为 x3=0或 2x+3y-6=0.
题型 2 弦长问题
【例 2】 已知直线 y=x-4 被抛物线 y 2
=2mx(m ∈ R)截得的弦长为 6 2 ,求抛物线的标准方程 .
解析 直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与 椭圆的方程所联立的方程组上来 ,即通过考查方程组解的情况来判断 直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用 .
论.
共点,则 l 共有
条,它们的方程是
答案 由 y 2mx, 得 x 2
-2(4+m)x+16=0, y x 4,
弦长= (1 k 2)(x 1 x 2)2 = 2 4(4 m)2
4 16 =2 2(m 2
8m) . 由 2 2(m 2
8m) =6 2,得 m=1 或 m=-9,经检验 ,m=1 或 m=-9 均符合 题意 .∴所求抛物线标准方程为 y 2=2x 或 y 2
=-18x. 规律总结 由于 m ∈R,故 m 的几何意又发生了变化 ,此时,|m|才
表 示焦点到准线的距离 .
【变式训练 2】 椭圆 ax 2+by 2
=1 与直线 x+y=1 相交于 A 、B 两点 , 若|AB|=2 2,且 AB 的中点 C 与椭圆中心连线的斜率为 2 ,求实数 a 、 b 的值 .
可得 (a+b)x 2-2bx+b-1=0.所以 x 1+x 2= 2b ,x 1+x 2= b I
,所|AB|= a b a b
②代人①,得 b= 32
,a=31
. 题型 3 中点弦问题
2
【例 3】设 A 、B 是双曲线 x 2-y
=1上的两点,点 N(1,2)是线段 AB 2
的中点.
I ( 1)2 ·|x 1-x 1|= 2 ·2 a b ab =2 2 ,得(a+b)2=a+b-ab ① .又因为 kx= ab
答案 设椭圆与直线交于 A (x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则由
22 ax by x y 1, 1, y 1 y 2
2 = y 1 x 1 x 2 x 1 y
2 =
(1 x 2 x 1) (1 x 2)= 2 -1=a = 2,所以 a= 2 b ②.把 x 1 x 2 x 1 x 2 b 2 2
(1) 求直线AB 的方程.
(2) 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点,那么A、B、C、D 四点是否共圆?为什么?
解析涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题,常常要运用根与系数的关系.
答案(1)显然,AB 与x 轴不垂直,设其斜率为k,其方程为
y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得
(2-k2)x2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0.
设 A 、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由根与系数的关系及N 是AB 的中点,知2k(22k) =2.
2 k2
解得k=1.
因此,直线AB 的方程为y=x+1.
(2)线段AB 的垂直平分线的方程为
y=-x+3, 代入双曲线方程,得
x2+6x-11=0.
设C、D 两点坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),由根与系数的关系,得x3+x4=-6,x3x4=-11.
|x3-x4|= (x3 x4)24x3x4 =4 5 ,
据弦长公式得
|CD|= 1 k 2
|x 3-x 4|=4 10 . 又设 CD 中点为 M,求得 M 点的坐标为 (-3,6)
点 A(-1,0)到点 M 的距离|MA|=2 10 .
由于 C 、D 是线段 AB 垂直平分线上的两点 ,点 B 到点 M 的距离 等于点 A 到点 M 的距离 .
这样点 A 、B 、 C 、D 到点 M 的距离均等于 2√10,因此四点 共圆
规律总结 本题考查了直线、圆、双曲线的有关内容 ,是综合性 较强的一个题目；证明四点共圆时 ,要充分利用 CD 是直径这一隐含条 件.
2
直线 l:6x-5y-28=0 交椭圆 x 2 a C 两点,A(0,b)是椭圆的一
个顶点 ,且△ABC 重心与椭圆的右焦点 F 重 合,求椭圆的方程 .
答案 设 B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),设 BC 的中点
D(x 0,y 0),F(c,0),A(0,b), 可 利用|AF|:|FD|=2:1,结合定比分点公式求得 x0=3 c,y0=- b
. 由于点 D 在 BC 的直线上 ,则 18c+5b-56=0,①
将 B 、C 两点坐标代入椭圆方程并作差
(x 1 x 2)(x 1 x 2 )
2 a 变式训练 3】 2 b y 2 =1(a>b>2)于B 、
(y 1 y 2)(y 1 b 2 y 2)=0,
2
b 2
∴KAB · y
- b
2
,
x 0
a II
∴ 2a 2=5bc.
②
由于 b 2+c 2=a 2
③ ,
由①②③可得 :41c 2
-194c+224=0, ∴c=2 或 c= 112
.
41
∵ a>b>2,∴c=2,从而 b=4,a 2
=20,
22
∴椭圆方程为 : x y
=1
20 16
题型 4 最值及参数范围问题
2
例 4】在直线 l:x+y-4=0 上任取一点 M,过 M 且以椭圆 1x 6
的焦点为焦点作椭圆 ,问 M 点在何处 ,所作椭圆的长轴最短 ,并求此椭 圆的方程.
解析 椭圆的长轴的长的 2 倍即为椭圆上点到两焦点距离的和 , 这样,求过直线 l 上点 M 所作长轴最短的椭圆 ,即转化为求直线 l
上一 点,使这点到两焦点 F 1、F 2 的距离之和最小 .
答案 a 2
=16,b 2
=12, ∴c 2
=a 2
-b 2
=4.1y
2 =1的两焦点
II
故已知椭圆 x
16
2
y 2
=1
12
F 1(-2,0),F 2(2,0),过 F 2 向引垂直线
l ′ :y=x-2,求出 F 2 关于 l 的对称点 F ′2, 则 F 2的坐标 (4,2)(如
右图 ),直线 F 1F 2′ 的方程为 x-3y+2=0.
x
∴
x 3y 2 0, 解得
x y 4 0,
y
∴M 5,3
即为所求的点 .
22
此时,|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MF ′2|=|F1F ′2|=2 10 .
22
设所求椭圆方程为 x 2 y
2 =1,
ab
∴ a= 10
,c=2,
∴ b2=a2-c2=10-4=6，
22
∴所求椭圆方程为 x y
=1
10 6
规律总结 本题的实际几何意义是 :待求椭圆与已知直线 l 相切
时，长轴最 短.
5 2 5 3
22
变式训练 4】从椭圆
x 2
y
2
=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线 ,
ab
恰好通过 椭圆的左焦点 F1,且其长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM,若Q 为椭圆上任一点 ,F 2是右焦点 ,求∠F 1QF 2的最大值.
解析 利用 OM ∥AB,得 a,b,c 的关系,由 cos ∠ F 1QF 2的取值范围 确定∠ F 1QF 2的最大值 .
答案 如右图,点M 的坐标为(-c, b
),
a
因为 OM ∥ AB,所以 k CM =k AB , ∴ - b b
,即 b=c,a= 2 c.
a ac
设|QF 1|=m,|QF 2|=n, ∠ F 1QF 2= 由余弦定理 ,得
2 2 2
| QF 1 |2
|QF 2 |2
|F 1F 2 |2
2|QF 1 |?|QF 2 |
2b
-1≥ mn (
m n )2
(2
)
当|QF 1|=|QF 2|时,等号成立.
∴ 0≤ cos ≤ 1.∴ 的最大值为 ,
2
cos 2b 2
(m n)2
2mn 4c 2
= 4b 2
2mn
2mn 2mn
2b 2
-1=0.
即∠F 1QF 2的最大值为 2 . 例 5】已知双曲线
x 2
y
2
=1(a>0,b>0)的离心率е =2 3
,过点
a b 3
A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 23
.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线 y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与该双曲线交于不同的两点 C,D,
且
C,D 两点都在以 A 为圆心的同一圆上 ,求 m 的取值范围 .
解析 (1)依条件建立 ab 的关系,求 a 2,b 2；
(2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件 ,结合韦达定理作转化
2
∴双曲线的方程为 x 3
-y 2
=1.
(2)把直线方程 y=kx+m 代入双曲线方程 ,并整理得 (1-3k 2
)x 2
-6kmx-3m 2
-3=0.
因为直线与双曲线交于不同两点 , 所以
1 3k
0,2 0,
即 k 2
≠13
,且 m 2
+1-3k 2
>0.
设 C(x 1,,y 1),D(x 2,y 2),则 x 1+x 2=
6km
2
, 1 3k y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m= 2m
2
,
1 3k 2
设 CD 中点为 P(x 0,y 0), 其中则
依题意 ,AP ⊥ CD,
答案 (1)由题设 , 得
b 2
2
a
ab
a 2
b 2
4,
3 解得 a 2=3,b 2=1 ，
3
, 2,
m 2 1
∴kAP= 1 3k2=- 1,
3km k
1 3k2
整理得3k2=4m+1. ②
将②式代入①式得m2-4m>0,
∴ m>4,或m<0,k2≠ 1 ,3k2≠1,
3
∴ 4m+1≠ 1,即m≠ 0.
又3k2=4m+1>0,即m>=- 1 ,
4
∴m 的取值范围为m>4,或-4<m<0.
规律总结(1)应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法；
(2)第(2)小题中注意将点C、D 都在以 A 为圆心的同一圆上的条件转化为AP⊥CD,进而转化为斜率关系,同时掌握设点不求点的处理技巧.
【变式训练5】已知椭圆的两个焦点为F1(0,-2 2 ),F2(0,2 2),
离心率e=2 2 .
3
(1)求椭圆方程;
(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N, 且线段MN 中点的横坐标为- 1 ,求直线l 倾斜角的取值范围.
2
答案(1)∵c=2 2,a
c 3
3
4
,∴a=3,c=2 2, ∴b 2
=1.
2
∴椭圆方程为 y
+x 2
=1.
9
(2)设 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),且 MN 中点为 P(- 1
,y 0),
22 k MN =k(k ≠0),则 y
1
+x 12
=1, y
2 +x 2
2
=1.相减,得
( y 1
y 2
)(y
1
9
1
9 2
9
+(x 1-x 2)
(x 1+x 2)=0.
y 1 y 2
9(x 1 x 2
) ,∴y0= 9
x 1 x 2
y 1 y 2 2k
∴k> 3或 k<- 3.
∴直线 l 倾斜角的取值范围是 3,2
规律 方法 总结
(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程
利用判别式来解决 ,并应注意讨论 ,不要漏项 ,也可利用图形的性质来 解决.
(2)涉及圆锥曲线的弦长 ,一般用弦长公式 |AB|= 1 k 2
|x1-x2|=
3
由于点(- 21 , 29k )在椭圆 y 9 +x2=1 内部
,
y 2)
92
?1
(2k)2
9
1
4<1,
∴k 2>3,
|y1-y2|,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.
(2) 解决弦的中点问题常用方法:一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.
(4) 设而不求的方法,是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法.
(5) 有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般采用假设反证法”或“假设验证法” ,同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在,即判断△与0 的关系.
定时巩固检测
第 1 课时直线与圆锥曲线的位置关系
基础训练
1. 过点A(-p,p) 作直线l 与抛物线y2=2px 仅有一个公共点的直线共有( )
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.不能确定
【答案】 C(点拨 :注意有一条直线与抛物线的对称轴平行 .)
2. 直线 l:y=k(x- 2)与曲线 x 2
-y 2
=1(x>0)相交于 A 、B 两点,则直线
l 的 倾斜角范围是 ( )
A.[0, π)
B.( , )∪( ,3
)
2 2 2 4
3
C.[0,
2
)∪(
2
,π)
D.( 4, 4 )
【答案】 D(点拨:当直线 l 与 x 轴垂直时符合题意；另外 ,直线 l 的斜率必须满足 k>1 或 k 1<-1)
22
3. 直线 y=kx+1 与椭圆 x y
=1 恒有公共点 ,且椭圆焦点在 x 轴上 ,
则 5m
m 的取值范围是 .
【答案】 1≤m<5(点拨:直线 y=kx+1 过定点(0,1),该点应在椭圆的内 部 (含短轴的端点 ).)
4. 直线 x+y=1 与椭圆 mx 2
+ny 2
=1 相交于 A 、B 两点 ,过 A 、B 中点
和 坐标原点的直线的斜率为 2
,则 m
的值为
.
2n
【答案】 2
(点拨:利用点差法处理 .)
2
能力提升
5. 设直线 y=k(x+3) 与抛物线 y=ax 2
交于 A(x1,y1) 、 B(x2,y2)两点,则
1 1 的值是 ( )
x 1 x
2
B.
1
3
3
D. 不能确定与k 的值有关
答案】 A(点拨 :将直线的方程代入抛物线方程中 ,利用韦达定理 解决.)
22
6. 已知双曲线方程 x y
=1,.是否存在直线 l, 使 N(1, 1
)为 l 被双
曲线 4 2 2
所截弦的中点 .若存在 ,求出直线 l 的方程；若不存在 ,请说明理由 .
【答案】 假设过 N 的直线交双曲线于 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则
1
2,
2
2,
得:2x 2
-4x+9=0,△ <0, y 2 1
2
所以无实根 ,因此直线 l 与双曲线无交点 ,这一矛盾说明满足条件的直 线 l 不存在.
2
y
2 =1(a>b>0)相交于 A 、B 两点 ,且线段 b
AB 的中点在直线 l:x-2y=0 上 .
(1)求此椭圆的离心率；
(2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2
+y 2
=4上,求此
椭圆 的方程 .
答案】 (1)设A 、B 两点的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).
x
1 y
1
1,
①
4
2 2
2
x
2 y
2
1,
②
4
2
(y 1 y 2)(y 1
y 2) =0
，
2 2 作差得
(x 1 x 2)(x 1 x 2)
所以 k AB = y 1
y 2
=1,∴l 为:y=x- 1 ，但由 x 1 x 2 2
2
7.已知直线 y=-x+1 与椭圆 x
2 a
y x 1,
则由 x 2
y 2
得 :(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2
=0
1
a 2
b 2
1
根据韦达定理 ,得
22
由已知得 2
a
2 2
b
2
=0,∴,a 2
-2b 2
=2(a 2
-c 2
), a 2
b 2
a 2
b 2
∴a 2=2c 2,故椭圆的离心率为е
(2)由 (1)知 b=c,从而椭圆的右焦点坐标为 F(b,0),设 F(b,0)关于直
线 l:x-2y=0 的对称点为 (x 0,y 0),则
y 0
0?
1
=-1且 x 0
b
-2× y
=0, x 0 b 2 2 2
解得 x 0=3
b 且 y 0由已知得 x 02
+y 02
=4,
5
∴ (3
b)2
(4
)2
=4,∴ b 2
=4,
55
22
故所求的椭圆方程为 x y
=1.
84
8. 若抛物线 y=x 2
上存在两点 P,Q 关于直线
y=m(x-3)对称,求实数 m 的取值范围 .
【答案】 如右图,设 P(x1,x 12
),Q(x2,x 2
2 ),
22
k= x1 x2
=x1+x2=- 1
,线段 PQ 的中点坐标 x x 1
x 2 m
中
=
x 1
x
2
+2=-
1
2 2m
x 1+x 2= 2a 2
a 2
b 2
,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=
2b 2 a 2 b 2
∴线段 AB 的中点坐标为
b 2
过这两点的直线的斜率为
又由y=m（x3） y 中=m（- 1 -3）=-m（1 +3）,由于中点总在抛物线
之内2m 2m
部,
∴ -m（1 +3）>（- 1）2（横坐标为- 1的抛物线上的点的纵坐标）,从而有2m 2m 2m
1
12m3+2m2+1<0,即m<- 1 .
2
第 2 课时直线与圆锥曲线位置关系的应用基础训练
2
1.直线y=x+b（b为参数）被椭圆x +y2=1截得的弦长的最值是
（）
4
A.2
B.455
C.4
5
10 D.8 10
D.
5
答案】C（点拨:设直线与椭圆的交点为A(x 1,y1),B(x2,y2),由y x b,
2
x
4
y 21,
消去y 得5x2+8bx+4b2-4=0,x1+x2=-
8b ,x1x2= 4b24
5
,|AB|= 1 1
(x1 x2)24x1x2 = 2 624b516b
516= 452b25
≤4510 ,所以所求
最大值为4510 .）
2 2.过原点的直线与椭圆x2
a
2
y
2 =1(a>b>0)
相交于A、B两点,若F(-c,0) b
是椭圆的左焦点,则△ FAB 的最大面积是（）
【答案】 A(点拨:S △FAB =1
c|yA-yB|,因为|yA-yB| max =2b,所以 S △FAB
的最大值为 1
· c ·2b=bc.)
2
3. 设 P(8,1)平分双曲线 x 2
-4y 2
=4的一条弦 ,则这条弦所在的直线方
程
答案】 2x-y-15=0(点拨:设弦所在直线的方程为 y-1=k(x-8), 由
4,
消去 y 得(1-4k 2
)x 2
-8(1-8k)kx-4(1-8k)2
-4=0,由 x 1+x 2=
8),
8(1 8k 2
)k
=16得 k=2,所以所求直线的方程为 2x-y-15=0.)
1 4k
4.抛物线 x 2
= 1
y 上两点 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线 l:y=x+m 对称 ,
若
1 x 1x 2=- ,则 m= .
2
1
(x2+x1)(x2-x1)= 1
(y2-y1) 2x0=(-1),
11
∴ x0=- 1
y0=- 1
+m,
44
2
又 y0=
y 1
y
2
=x 12 +x 2
2
=(x1+x2)2-2x1x2= 1
2
1 5
2 1 2
2 2 4
∴m=3
.
能力提升
5. 直线 y=x+3 与曲线 y xx
=1
94
4y 2
1 k(x
答案】
2 x
1
设AB 中点 M(x 0,y 0),点 M 在 l 上,kAB=-
1, 2 x
2
1
2 y 1 1 2 y 2
A. 没有交点
B.只有一个交点
椭圆在 y 轴的左侧部分 .)
22
6.
椭圆 x
2 + y
2 =1,(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P 、Q 且 OP ⊥OQ(O ab
为坐标原点 ),求证: 1
2
+ 1
2
等于定值 . a 2 b 2
【答案】由
x 2 2
y 1
2 02,
2 2
消去 y 得(a 2
+b 2
)x 2
-2a 2
x+a 2
(1-b 2
)=0,
b 2x 2 a 2 y 2 a 2b 2
,
∵有两个交点 ,△>0,即 4a 4
-4(a 2
+b 2
)a 2
(1-b 2
)>0,即 b 2
(a 2
+b 2
-1)>0,∵ b ≠0,
∴a 2
+b 2
>1 设 P(x 1,y 1),Q ( x 2,y 2),则
2 2 2
2a
2
a 2
1 b 2
x 1+x 2= 2 2 ,x 1x 2= 2 2 ， a
b a b
由 OP ⊥OQ 得 x 1x 2+y 1y 2=0,又 y 1=1-x 1,y 2=1-x 2 得:
2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,
2 2 2
∴2
a 22
1 b
2
2
-
2
2a
2
2
+1=0，
2 2 2 2
a b a b
化简得:a 2
+b 2
=2a 2
b 2
,故 1
2
+ 1
2
=2 为定值.
a 2
b 2
7. 设抛物线 x 2
=-y 与直线 y=3x-4 交于 M 、N 两点,点 P 在抛物线上
由 M 到 N 运动
(1)求△PMN 的面积取得最大值时 P 点的坐标 (x 0,y 0)； (2)证明:与
线段 MN 平行的直线和抛物线交于 A 、B 两点,则 线段 AB 被直线
x=x 0 平分
C.有两个交点
D.有三个交点
答案】 D(点拨:曲线 y 9 x 4x
=1 的图象是双曲线的 y 轴右侧部分和
由于-4<x<1,当 x=- 3
时,d 达到最大,此时 y=- 9
,故 P 点坐标为(-
3
,- 9
)
2 4 2 4
(2)设与 MN 平行的直线截抛物线的弦 AB 所在直线为 :
y=3x+b.由
y 2
3x b,
得
x
2 y
x 2
+3x+b=0,则由△ >0 得 b<9
4
令 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1+x 2=-3,即 AB 中点的横坐标为 -3
,即线段
AB
被直线 x=- 3
平分.
2
8. 过抛物线 y 2
=4x 的焦点 F 的直线与这条抛物线交于 A 、B 两点 ,O 为
坐标原点 .
(1)△ AOB 的重心 G 的轨迹方程 ;
(2)当直线 l 的倾斜角为 45?时 ,试求抛物线上一点 P 的坐标 ,
使 AP ⊥ BP
【答案 】(1)抛物线的焦点坐标为 (1,0).
当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 l:y=k(x-1),代入 y 2
=4x 得
k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2
=0
∵与抛物线相交于两点 ,∴ k ≠ 0
【答案】(1)由
x
y,
得:x1=-4,x 2=1,即 M(-4,-16,N(1,.-1),因此∣ MN
y 3x 4
∣=5 10,要使 S △PMN 的面积最大 ,只需 P 到直线 MN 的距离最大 , 令 P(x,y),
3 2 25 x
24
10 ,
d=d=3x-y-4
10 3x x 2
-4
10
设A(x 1,y1)、B(x2,y2),根据韦达定理
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x1+x2= 2 k22
k2
,x1x2=1
y1 y2kx1
kx2
,从而y1+y2=k(x1+x2-2)=
4,
k
y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4
x 设△ AOB 的重心G(x,y)
则
y 0 x1 x2
3
0 y1 y2
3
24
3 3k 2
4
3k
消去k并整理得y2=34x 89
当l 垂直于x轴时,A、B 的坐标分别是(1,2)和(1,-2)
△AOB 的重心G( 2 ,0)也透合y2=4x 8
3 3 9
因此所求轨迹方程为y2=34x 89
(3) 当直线l 的倾斜角为4?
时,k=1
∴x1+x2=6,y1+y2=4
设抛物线的准线上一点P(-1,y0)
∵ AP⊥BP.∴ y1 y0? y2 y0=-1，
x1 1 x2 1
2
即y
1
y
2
y
y
1
y
2
y
0 =-1
x1x2 x1 x2 1
2
4 4y
y
0=-1
1 6 1
=-1
4)解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2)。