人教版数学选修21第二章直线与圆锥曲线讲义

案例(二) --- 精析精练

课堂合作探究

重点难点突破

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系

(1) 直线与椭圆的位置关系

根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:

设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),①△ >0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△ =0 时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0 时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.

在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.

设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y1),B(x 2,y2),直线方程为

y=kx+m(k ≠ 0)则|AB|= (x1 x2)2(y1 y2)2=

(x1 x2)2(kx1 m kx2 m)2= 1 k2|x1-x2|

或者|AB|= 1 k12 |y1-y2|；当k=0 时直线平行

x 轴,|AB|=|x1-x2|.

于

(2) 直线与双曲线的位置关

根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:

设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时, ①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相

交;②△=0 时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相

切;③△<0 时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.

在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.

直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.

(3) 直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方

法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.

另外,前面所提的弦长公式仍然适用. 利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村. 知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.

(1) 直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0 的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.

(2) 与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.

(3) 弦长问题

求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.

典型例题分析

题型 1 直线与圆锥曲线的交点问题

【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l 与C

有:(1) 一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.

解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联

消去 y 得 k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①

当 k=0 时,方程①只有一个解 x=1

,此时 y=1. 4

∴直线 l 与 C 只有一个公共点 ( 1

，1),此时直线 l 平行于抛物线的 4

对称轴.

当 k ≠ 0 时,方程①是一个一元二次方程

△=(2k-4)2-4k 2

=-16k+16=-16(k-1). (1) 当△ >0,即 k<1,且 k ≠0时,l 与 C 有两个公共点 ,此时称直线 1 与 C 相交

(2) 当△ =0,即 k=1 时,与 C 有一个公共点 ,此时称直线 l 与 C 相切；

(3) 当△ <0,即 k>1 时,与 C 没有公共点 ,此时称直线 l 与 C 相离.

综上所述 ,当 k=0,或 k=1 时,与 C 有一个公共点；

当 k<1 时 ,与 C 有两个公共点；

当 k>1 时 ,与 C 没有公共点 .

规律总结 (1)直线与抛物线相切 ,则直线与抛物线只有个公共点 反过来 ,直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线不一定

立.

答案 将 l 和 C 的方程联立

y kx 1, y 2 4x.

是相切的；

(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨

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变式训练 1】直线 l:ax+by-3a=0与双曲线 x 9 y

9

=1只有一个公

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答案 (1)当 b=0时,l:x=3, x 9 y

9 =1, ∴ y=0,此时 ,l 与双曲线只有一个公共点 .

y

a(3 x)

(2)当 b ≠0 时, y b 4x 2 9y 2 36 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2

)=0.① a.若 462-9a 2=0,即=± 2

时,只有一个公共点 ,此时 l:y=± 2 (3-x),即

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2x+3y-6=0.

b.4b2-9a2≠0,即a ≠± 2

时,二次方程① b3

△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0, 此时直线 l 与双曲线必有两个交点 .

综上所述 ,共有 3条,其方程为 x3=0或 2x+3y-6=0.

题型 2 弦长问题

【例 2】 已知直线 y=x-4 被抛物线 y 2

=2mx(m ∈ R)截得的弦长为 6 2 ,求抛物线的标准方程 .

解析 直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与 椭圆的方程所联立的方程组上来 ,即通过考查方程组解的情况来判断 直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用 .

论.

共点,则 l 共有

条,它们的方程是