开题报告-函数的凸性及应用

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函数的凸性及应用

一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）

凸函数具有一些非常优良的性质[1], 有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年来，研究函数各种凸性的文献越来越多。

凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。同样凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义。

函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。不等式的证明方法很多，技巧性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。与凸函数有关的不等式是基础数学理论的重要工具，尤其在不等式的证明中发挥的作用是无可替代的，其中Jensen不等式与Hadamard不等式更是起到了重要的作用。Jensen 不等式通常用来证明有限不等式，它是将无穷项求和与积分联系起来的重要桥梁。利用Hadamard不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。

凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本文首先对凸函数定义进行介绍，凸函数的等价性质进行了概述；接下来介绍了凸函数的基本性质，然后由此延伸，进一步提出凸函数的应用，主要集中在下面几方面的应用：凸函数在Hadamard 不等式证明中的应用，凸函数在证明Jensen 不等式时的应用，凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。

2.1凸函数的定义

2.1.1凸函数一些基本定义

通过数学分析[2]的学习，对于函数()2x x f =和()x x f =的图像，我们很容易得出它

们之间的不同点：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =

则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。

葛丽萍[3]给出了凸函数的基本定义[3]：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数()1,0∈λ总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称f 为I 上的凸函数。

2.1.2严格凸函数的定义

江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间I 上严格凸函数的判定方法。 定义：凸函数的定义为函数f 满足以下不等式()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+，f 为区间I 上的函数，1x ，2x 为I 上的任意两点和任意实数()1,0∈λ。当上面的不等式变为()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+<-+时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述

林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若)(x f 在I 上有定义，则以下3个命题等价：

○

1)(x f 在I 上为凸函数； ○20≥∀i

q ，121=+++n q q q ，,,,21I x x x n ∈∀ 有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ；

○30≥∀i q ，且),,1(n i q i

=不全为零，,,,21I x x x n ∈∀ 有 n

n n n n n q q q x f q x f q x f q q q q x q x q x q f ++++++≤++++++ 212211212211)()()()(。 其中命题○2就是著名的Jensen 不等式。在Jensen 不等式中令),,2,1(1n i n

q i ==就得到如下定义：设)(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸函数，当且仅当,,,21I x x x n ∈∀ 有n

x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ 。 葛丽萍[3]

介绍了函数f 在区间I 上可导的等价条件：若f 为区间I 上的可导函数，可得出以下等价条件。()1f 为I 上的凸；()2 '

f 为I 上的增函数；()3对I 上的任意两点1x ，2x ，有()()()()'21121()f x f x f x x x ≥+-。

2.2凸函数的一些性质

2.2.1凸函数的连续性

凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。由于Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，选取实际问题中大量存在的区间上连续的函数作为讨论对象，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。那么我们就会提出这样的问题：当连续函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的凸函数；当凸函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的连续函数；连续凸函数在区间I 上具有何种性质？宋方[6]提出，如果连续函数)(x f 为凸函数，必定满足以下定义：对任意的I x x ∈21,及[]1,0∈λ，恒有：()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+。

2.2.2凸函数的微积分性质

刘鸿基，张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总是位于曲线弧段的下方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。前者往往作为定义使用，后者是凸函数的充分必要条件，也可以作为定义作用。刘鸿基，张志宏举证了凸函数的4个等价性定义，并对凸函数的微积分性质予以讨论，得到两个重要的微积分性质：