开题报告-函数的凸性及应用

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函数的凸性及应用
一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）
凸函数具有一些非常优良的性质[1], 有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。

1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。

凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。

在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年来，研究函数各种凸性的文献越来越多。

凸函数是一类重要的函数。

对函数凹凸性的研究，在数学的多个分支都有用处。

特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。

同样凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义。

函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。

不等式的证明方法很多，技巧性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。

凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。

在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。

与凸函数有关的不等式是基础数学理论的重要工具，尤其在不等式的证明中发挥的作用是无可替代的，其中Jensen不等式与Hadamard不等式更是起到了重要的作用。

Jensen 不等式通常用来证明有限不等式，它是将无穷项求和与积分联系起来的重要桥梁。

利用Hadamard不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。

凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文首先对凸函数定义进行介绍，凸函数的等价性质进行了概述；接下来介绍了凸函数的基本性质，然后由此延伸，进一步提出凸函数的应用，主要集中在下面几方面的应用：凸函数在Hadamard 不等式证明中的应用，凸函数在证明Jensen 不等式时的应用，凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。

2.1凸函数的定义
2.1.1凸函数一些基本定义
通过数学分析[2]的学习，对于函数()2x x f =和()x x f =的图像，我们很容易得出它
们之间的不同点：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =
则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。

通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。

对于凸的我们称其函数为凸函数。

葛丽萍[3]给出了凸函数的基本定义[3]：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数()1,0∈λ总有()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称f 为I 上的凸函数。

2.1.2严格凸函数的定义
江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间I 上严格凸函数的判定方法。

定义：凸函数的定义为函数f 满足以下不等式()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+，f 为区间I 上的函数，1x ，2x 为I 上的任意两点和任意实数()1,0∈λ。

当上面的不等式变为()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+<-+时，其余条件不变，该函数称为严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述
林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述，由此得出：若)(x f 在I 上有定义，则以下3个命题等价：
○
1)(x f 在I 上为凸函数； ○20≥∀i
q ，121=+++n q q q ，,,,21I x x x n ∈∀ 有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ；
○30≥∀i q ，且),,1(n i q i
=不全为零，,,,21I x x x n ∈∀ 有 n
n n n n n q q q x f q x f q x f q q q q x q x q x q f ++++++≤++++++ 212211212211)()()()(。

其中命题○2就是著名的Jensen 不等式。

在Jensen 不等式中令),,2,1(1n i n
q i ==就得到如下定义：设)(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸函数，当且仅当,,,21I x x x n ∈∀ 有n
x f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++ 。

葛丽萍[3]
介绍了函数f 在区间I 上可导的等价条件：若f 为区间I 上的可导函数，可得出以下等价条件。

()1f 为I 上的凸；()2 '
f 为I 上的增函数；()3对I 上的任意两点1x ，2x ，有()()()()'21121()f x f x f x x x ≥+-。

2.2凸函数的一些性质
2.2.1凸函数的连续性
凸函数是数学分析中的一类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。

由于Jensen 定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，Jensen 意义下凸函数并不一定是连续函数，而连续函数也不一定是凸函数，选取实际问题中大量存在的区间上连续的函数作为讨论对象，从凸函数的定义出发，研究连续函数与凸函数的关系。

那么我们就会提出这样的问题：当连续函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的凸函数；当凸函数)(x f 满足何种条件时，)(x f 是区间I 上的连续函数；连续凸函数在区间I 上具有何种性质？宋方[6]提出，如果连续函数)(x f 为凸函数，必定满足以下定义：对任意的I x x ∈21,及[]1,0∈λ，恒有：()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+。

2.2.2凸函数的微积分性质
刘鸿基，张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数，有着较好的分析性质，而关于凸函数，一般教材大都从几何意义方面引出定义，描述为：凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦，总是位于曲线弧段的下方；或者，当曲线各点处存在切线时，凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。

前者往往作为定义使用，后者是凸函数的充分必要条件，也可以作为定义作用。

刘鸿基，张志宏举证了凸函数的4个等价性定义，并对凸函数的微积分性质予以讨论，得到两个重要的微积分性质：
1. 设)(x f 在区间),(b a 内可导，则)(x f 在),(b a 上是凸函数的充分必要条件是：对
任意点),(0b a x ∈，恒有))(()()(000x x x f x f x f -'+≤。

2. 设)(x f 是[]b a ,上的凸函数，则
)()2()()(2)()(a b b a f d x f a b b f a f b a
-+≤≤-+⎰ 2.3凸函数的一些应用
2.3.1凸函数的应用概述
函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上[9]。

不等式的证明方法很多，技巧性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。

一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。

邹自德[10]指出：凸函数具有较好的几何和代数性质，由凸函数可以引导出各种平均值并对这
些平均值进行比较。

梁艳[11]指出：凸函数是一类非常重要的函数，在不等式的研究中，凸函
数所发挥的作用是无可替代的，可以根据凸凹函数的特性，结合典型事例，来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。

在不等式的研究中，凸函数所发挥着很重要的作用，在数学规划中有着广泛的应用背景，我们可以根据凸凹函数的特性，来解决一系列拥有较大难度的不等式，以及导出一些较难的不等式，通过凸函数的性质来得到比较直观的证明，可以来导出如几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式，说明了凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中有着较好的作用。

2.3.2凸函数在证明Jensen 不等式与Hadamard 不等式时的应用
王秋亮[12]讨论了凸函数在证明Jensen 不等式时的应用。

不论导出不等式还是证明不等式，利用Jensen 不等式的关键在于选取适当的凸函数，并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。

并且应用数学归纳法在用凸函数来证明Jensen 不等式时，可以得到较好的效果。

郑宁国[13]给出了Hadamard 不等式的两种证明方法。

讨论了凸函数在证明Hadamard 不等式时的应用。

选取适当的凸函数来证明Hadamard 不等式，并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。

2.3.3凸函数在分析不等式中的应用
关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究，利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处，现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。

李艳
梅，李雪梅[14]给出了凸函数在分析不等式证明中的应用，利用凸函数的性质及Jensen不等式，对数学分析中诸多不等式给予证明，从中可举一反三，利用Jensen不等式的一些特殊情况，可以得到一些常用的分析不等式。

运用了凸函数的性质及Jensen不等式[15]，可以很简洁的来证得分析不等式。

解决不等式的证明有着许多方便之处，凸函数适当的应用，使证明过程更加简洁，会使结论的得出更加的方便。

2.3论文要解决的主要问题
本文在总结前人的研究理论的基础上，拟解决以下问题：
(1)介绍凸函数的定义以及它的性质；
(2)凸函数在Hadamard不等式证明中的应用；
(3)凸函数在Jensen不等式证明中的应用；
(4)凸函数在分析不等式中的应用。

三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标
1.研究方法及技术路线
本论文主要以查找资料,以现有的知识水平,在前人的研究论述基础上,整理出凸函数的性质和应用。

采取了从大量阅读已有的数据资料—然后对这些内容进行总结—最后运用相关的知识经过系统的整理，归纳出凸函数的性质与应用。

2.研究难点
（1）从大量的阅读材料中整理与论文相关的资料是一个难点。

（2）寻找合适的凸函数来求解不等式是一个难点。

（3）不要简单地重复已有的方法和结果，要有自己独立的分析结果是一个难点。

3.预期达到的目标
通过这次论文的撰写，能更深的理解《数学分析》等相关课程的知识，通过对函数的凸性及应用的研究使我从另一个不同的角度审视凸函数，对凸函数的相关知识有了更深刻更全面的理解，对凸函数和数学分析的基本方法和基本技能能有较好的理解和掌握，打好数学的基础，为进一步的学习做铺垫。

同时在本文的撰写过程中掌握参考文献资料查找方法和论文写作的基本要求和方法，培养自己利用所学知识分析和解决问题的能力，学会从不同角度看待问题，从而达到对所学知识融会贯通的能力。

四、论文详细工作进度和安排
第一阶段：第七学期第11周至17周
完成并分别提交毕业论文（设计）文献综述、开题报告及外文翻译；
第二阶段：第七学期第18周至第八学期第3周
完成毕业论文（设计）初稿；
第三阶段：第八学期第3周至11周
1、进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改；
2、第11周（5月3日）前必须返校，完成毕业实习返校，并递交毕业实习报告，进一步完善毕业论文；
第四阶段：第八学期第12周（5月12日）
将完成的毕业论文（设计）交给指导教师；
第五阶段：第八学期第14周（5月23日）至16周（6月10日）
完成毕业论文答辩。

五、主要参考文献：
[1] 蒲义书、陈露.凸函数概论[J].高等数学研究,2006，9（4）：34-71.
[2] 数学分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社，2006：148-154.
[3] 葛丽萍.关于凸函数的几个充分必要条件[J].文化教育，2010，(5)：193-193.
[4] 江芹、陈文略.严格凸函数的判定[J].高等函授学报,2006,19(4)：27-28.
[5] 林银河.凸函数的等价描述与Jensen不等式[J].丽水师范专科学校学报，2001，23（2）：8-11.
[6] 宋方.关于凸函数的定义和性质[J]. 数学的实践与认识，2007，27(8)：189－194.
[7] Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.
[8]刘鸿基、张志宏.凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论[J].商丘师范学院学报，2008，24(6）：123-125.
[9] 王华.关于凸函数性质的总结[J].科技教育，2005，235-236.
[10] 邹自德.凸函数及应用[J].广州广播电视大学学报，2008，8(1):104-112.
[11]梁艳.凸函数的应用[J].内江师范学院学报，2010，25：90-91.
[12]王秋亮.凸函数在不等式中的应用[J].晋城职业技术学院学报，2009，2（3）：95-96.
[13]郑宁国.凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法[J].湖州师范学院学报，2005，27（2）：15-17.
[14]李艳梅、李雪梅.凸函数在分析不等式证明中的应用[J].高等职业教育天津职业大学学报,2003,13(1)：33-37.
[15]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. J.Inequal.Pure and Appl.Math，2006，7(5).。