中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》

P
O
图1-3-3
x
4
3P
B
O
图1-3-4
x
简析 1（构造“一线三直角”）：如图 1-3-4，作 AB⊥OA 交 OP 于点 B，则△OAB 为等腰直角三 角形； 再造“一线三直角”结构，即 Rt△ OAD≌ Rt△ ABC，由 A(3,4)，可得 OD=AC=4，AD=BC=3，则
B(7,1)，故直线 OP 的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得 值舍去），故点 P 的坐标为(，)。
绕原点 O 顺时针方向旋转 45o 得到点 A’，可看成 Rt△ OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 45o 得
到 Rt△ OA’B‘，则 A’B’=8，OB’=4，且∠BOB’=45o；
y
E3
A
E'
4
3
4 A'
O
x
图 1-2-9
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-10,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ；
路就是如此.
策略二：一个 45°→补两个 45°→造“一线三等角” 如图 1－3－10，过点 P、D 向轴上做垂线，补出两个 45°角，构出“一线三等角”结
构，即 PCE∽CDF，则有 PE CE ，即 PE·DF=CE·CF； CF DF
由题可设 P(t，-t+ 7 t+2),易得 PE= 2 t，DF=3 2 ,CE=-t+ 7 t+2
三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。
如图 1-3-7，已知抛物线 y x2 7 x c 与 x 轴交于 A、B 两点，且经过点 C 0，2 、
2
D
3，7 2
，点
P
是直线
CD
上方抛物线上一动点，当
PCD=450
时，求点
P
的坐标。
图 1-3-7
图 1-3-8
图 1-3-9
图 1-2-10
事实上,Rt△ OCB与 Rt△ BDA 都是等腰直角三角形,于是有 OC = BC = 2 2 ,
BD = AD = 3 2 ,故点 A 的坐标为 ( 7
2 ,
2)；
2
22
问题 2 已知点 A(4, 6) ,将点 A绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角,其中 tan a = 1 ,求其对应点 2
策略一：450 →构等腰直角三角形→造“一线三直角”.
简析：易求抛物线的解析式为 y x2 7 x 2 ，直线 CD 的解析式为 y 1 x 2
2
2
如图 1-3-8，过点 D 作 DQ⊥CQ，交 CP 的延长线于点 Q，过点 D 作平行于 y 轴 的直线，
并分别过点 C、Q 向该直线上作垂线，垂足依次为点 E、F，则△CDQ 为等腰直角三角形，△
，因此点
P
坐标为
1 2
，7 2
类似的，也可以过点 P 作垂线等。但不推荐，否则直角顶点未知。需要设元求解，而简 析 1 直角顶点 D 已知，故而顺风顺雨。
理论上，在直线 CD 上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺 利解决，如图 1-3-9 所示，可自行探究。
对比例 2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助 450 角的处理策略，他们仅 仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套
联立得 y=3x=2、y=-x2+ 7 x+2 解得 x=0、y=2，（舍去）或 x= 1 、y= 7 ，
2
22
故点坐标为（ 1 ， 7 ）。 22
“母子型相似”与“一线三等角”是极其重要的基本相似形，上述解法都将是将其视
为“工具”，结合这些基本图形的结构特征，缺啥补啥，巧妙构造，顺利求解.
策略四：45°→“整体旋转”+“矩形大法”
此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如
图 1-2-8 所示.
D
D定
B动
动B
B
A
A
定
定
定C
方式（三）：整体旋转法（*）
A
定
定C
图 1-2-8
DAC DEA →DA2=DC∙DE→ DG2+AG2=DC∙DE
G定 C定 E定
前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是
图 1-2-13
图 1-2-14
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-14,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ，
于是有 BC = bsin a , OC = bcos a , AD = asin a , BD = a cos a , 故点 A 的坐标为 (a cos a bsin a,b cos a a sin a) .
，
BO=BD+OD=7，k=12，再设点 P(t，)，则 CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有
，
解得
，故点 P 的坐标为(
)。
y
B
D
A
EΒιβλιοθήκη BaiduO
P x
450 是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托 450 角，自然联 想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形，再造“一线 C
图1-3-5
三直角”，这是处理 450 角的基本策略之一。
图 1-2-2 α=k→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图 1-2-3；
B B
A
α
α
A α
D
CE
D
CE
图 1-2-3
4.“一线三等角”的应用分三重境界；
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图 1-2-4
所示的“同侧型一线三等角”及图 1-2-5 所示的“异侧型一线三等角”；
“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该
点所在图形的旋转（运动）”.
下面以三个问题说明此法：
问题 1 已知点 A（3，4），将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45o 角，求其对应点 A’的坐
标.
简析 第一步 （“整体旋转”）：如图 1-2-9，作 AB⊥y 轴于点 B，则 AB=3，OB=4，点 A
第 1 讲 角的存在性处理策略
知识必备 一、一线三等角
1.如图 1-1-1，ACB D E 90o 且 CAB 450 ACD≌CBE ，此为
“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;
图 1-1-1
图 1-1-2
图 1-1-3
图 1-1-4
2.如图 1-1-2， ACB D E 90o ACD∽CBE ，此为“一线三直角”
例 1(2017 日照)如图 1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点 A 的双曲线
同时经过
点 B，且点 A 在点 B 的左侧，点 A 的横坐标为，∠ AOB=∠ OBA=45°，则 k 的值为_______。
y
y
A B
O
图1-3-1
x
D 2A t C
2 t
B
O
图1-3-2
x
简析由题可知，△ OAB 为等腰直角三角形； 如图 1-3-2，构造“一线三直角”结构，即 Rt△ OAD≌ Rt△ ABC；
，解得
（负
简析 2（构造“一线三等角”）：如图 1-3-5，分别过点 A、P 作 y 轴的垂线，垂足依次为点 D、 E，再在 y 轴上分别找点 B、C，使 BD=AD，CE=PE，则∠ABO=∠PCO=45°；
由∠ POA=45°，易证△ ABO∽ △ OCP，则
，即 ABCP=BOOC；由 A(3，4)，可得
设 OD=AC=t，则 A(，t)，B(，)，从而有 t=()()，解得
；
因此有
。
反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。
例 2 如图 1-3-3，已知反比例函数
的图像经过点 A(3，4)，在该图像上找一点 P，
使∠POA=45°，则点 P 的坐标为_______。
y
y
A
D3A4 C
第一步（“整体旋转”）：如图 1-3-12，过两点作相应“水
平——竖直辅助线”，构造 RTCDE，再将 RTCDE 绕点 C 逆时针
旋转 45°至 RTCD′E′，则 CE′=CE=3,D′E′=DE= 3 ，且∠ 2
ECE′=45°
第二步（“矩形大法”）：如图 1-3-13，依托旋转后的 Rt△CD’E’，作系列“水平——竖直 辅助线”，构造矩形 CGHK，则 Rt△CGE’∽Rt△E’HD’，
如图 1-3-6，若∠C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶
点，相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。
解法 1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点
A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。
解法 2，将 y 轴看成所谓“一线”。利用一个 450 角，再补两个“450”角，构造“一线
F=45°,EF=CE=3,DE= 3 2
由∠PCD=45°，可得 QCD∽QFC，易证 QC2=QD·QF；
设 QD=t，则 QC2=QE2+CE2=(t+ 3 )2+9，故有(t+ 3 )2+9=t·(t+ 9 )，
2
2
2
解得 t= 15 ，故点的坐标为(3,11) 2
再利用 C、Q 两点，可求出直线的解析式为 y=3x+2，与抛物线
第二步（造“一线三直角”）：如图 1-2-12,依托旋转后的 Rt△ OAB ,作系列“水平—竖 直辅助线”，构造“一线三直角”，即 Rt△ OCB ∽ Rt△ BDA ，
于是有 BC = 6
5
12 , OC =
5 , AD = 4
5 , BD = 8
5
,故点
A
的坐标为
14 (
58 ,
5 ).
5
5
2
2
+t-2=-t2+ 9 t,CF=2-( 7 -3)= 3 ,因此有 2 t·3 2 = 3 (-t2+ 9 t)，解得 t= 1 （t=0 舍去），
2
22
22
2
故点坐标为（ 1 ， 7 ） 22
因本题数据的特殊性，最后可以看出，点 P、D 的纵坐标相等，故过点 P、D 向 y 轴做
垂线，垂足重合，即图中的 G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；
相似，又称“K 字型”相似;
3.如图 1-1-3， ACB D E 90o ACD∽CBE ，此为更一般的“一线
三等角”. 二、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义
如图 1-1-4，在 Rt ABC 中， tan A a ，即 A 的正切值等于 A 的对边与 A 的邻 b
边之比；同理， tan B b ，则 tan A tan B 1，即互余两角的正切值互为倒数. a
方法提炼
一、基本策略：联想构造
二、构造路线
方式(一)：构造“一线三等角”
角 构等腰直角三角形 造“一线三直角”全等，如图 1-2-1；
图 1-2-1
角 构直角三角形 造“一线三直角”相似，如图 1-2-2；
A 的坐标. 简析 第一步（“整体旋转”）：如图 1-2-11,作 AB⊥y 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 Rt△OAB
绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角得到 Rt△ OAB ,则 AB =4, OB =6,
且 tan ∠ BOB= tan a = 1 ；
2
图 1-2-11
图 1-2-12
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；
三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图 1-2-6
及图 1-2-7 所示；
图 1-2-4
图 1-2-5
图 1-2-6
图 1-2-7
方式
（二）：构造“母子型相似”
“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对
此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择
现有的“一线”比较合适。
策略三：一个 45°→再补一个 45°→造“母子型相似”
如图 1-3-11，过点 D 作 y 轴的平行线交 CP 的延长线于点 Q，
交 x 轴于点 G，再作 CE⊥QG 于点 E，构造等腰 RTCEF，则∠
5
5
55
问题 3 已知点 A(a,b) ,将点 A绕原点 O 顺时针方向旋转 a 角,求其对应点 A 的坐标.
简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题：
第一步（“整体旋转”）：如图 1-2-13,作 AB⊥y 轴于点 B,则 AB= a ,OB= b ,将 Rt△OAB 绕原
点 O 顺时针方向旋转 a 角得到 Rt△ OAB ,则 AB = a , OB = b ,且∠ BOB = a ；
CED≌△DFQ，DF=CE=3,QF=DE=,故
Q
点坐标为
3 2
，13 2
利 用 C 、 Q 两 点 ， 可 以 求 出 直 线 CP 的 解 析 式 y 3x 2 ， 在 与 抛 物 线 联 立 得
y 3x 2
y
x2
7 2
x
2
，解得
x=0
y
2
（舍去），或
x= 1 2
y7 2