张量网络基础知识

一、常用符号说明

二、基本符号和运算表示的张量网络图表示：

三、张量爱因斯坦乘积和张量多模乘积

张量多模乘积：给定两个张量，并且具有相同维度，则该两个张量的多模乘将

得到一个新的张量，其运算公式

为，该运

算表示为

●张量爱因斯坦乘积：给定两个张量和

，并且由P个相同的维度L1,L2,L3……L P,，则该两个张量的爱因斯坦乘将得到一个新的张量

，其运算公式为

，该运算式子可以表示为：

●区别和联系：张量爱因斯坦乘积和张量多模乘的本质是一样

的，只是在相等的维度所在的阶是否连续，如果是连续的，

则为张量爱因斯坦乘积，如果不是连续的则为张量多模乘。

●图示对比：

张量爱因斯坦乘：

张量多模乘：

四、基于张量的链式分解问题：

●问题：假设原始张量，当一个新张量

沿着第k阶以增量的方式追加到原始张量中，得到更新张量。原始张量的张量链分解结果已知如下，其中

。

●分析：问题研究的核心为基于原始张量分解的张量核

，当新的张量Y到来后，如何求解张量Y的链分解结果.

●解决步骤:

➢对张量进行链分解;

➢计算补零张量的张量链分解结果;

➢基于张量链格式对张量相加得和的张量链格式;

➢对更新张量的张量核进行正交核压缩.

●图示:

●举个例子:比如说面包店有十种面包在售,有前一周的销售额

和客流量X,以天为单位添加销售额Y;

X∈R7x7x10新增加的张量Y∈R1X10，

第一步我们对新张量Y进行TT分解,然后将张量Y`进行补

零至7*7*10,然后对分解的结果进行Y`和已知的X张量的

TT结果进行相加得到Z,最后对Z张量的张量核及逆行正正

交和压缩.

五、算法的可行性相关

●补零张量可行性:

➢奇异值分解规律

按行补零:给定一个举证M1∈R m×n和一个矩阵M2∈

R(m+△m)×n,矩阵M2是通过在矩阵M1的底部补零得到

的,即M2=.假定矩阵M1和M2的奇异值分解结

果分别为,如果对各自奇异值

分解结果进行相同的截断后σ秩为r1,r2,则r2=r1,

.

证明:根据奇异值分解的性质可得,U1,V1,U2,V2都是正

交矩阵,S1,S2都是对角阵,因此可以有:

考虑,结合上述两个式子可以得到:,因为相同矩阵的特征值唯一,所以S12=S22相同,因此M1,M2的奇异值相等,即S1=S2.V1=V2.如果对M1和M2的奇异值分解结果进行相同的σ截取,则截取后的σ秩相等,r1=r2,因此,可以推断V2r2=V1r1.

假设 ,根据上诉结论S1=S2和r2=r1,有:

,因

此r2=r1,因此

按列补零同理;