清华大学微积分高等数学第8讲微分中值定理PPT课件
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不妨f设 (x)在点 x0处取得极. 大值
即 在 x 0 的 点 (x 邻 0,x 0 域 ) 内 ,有
f(x)f(x0)
考察 f(x0)f(x)f(x0)
x
xx0
xx0
f(x)f(x0)0 xx0
xx0
11.08.2020
f(x)f(x0)0 xx0
10
因f( 为 x 0)存 ,所 在 f 以 (x 0)和 f (x 0) 都,存 并在 且 有
B
A
11.08.2020
C
切线平行于弦AB
12
y
A
o
11.08.2020
a
f()0
切线平行于x轴
B
C
bx
13
f(b)f(a)f()
y
ba
切 线 平 行 于 弦AB
B
A
o
11.08.2020
a
C
b
x14
AB 的 参 数 方 程: xg(t) y f(t) (at b)
y
f (b)
f(b)f(a) f() g(b)g(a) g()
微分中值定理是微分学的理论基础。是
利用导数研究函数性质的理论依据。
11.08.2020
4
第八讲 微分中值定理
一、费尔马 ( Fermat )定理 二、罗尔 ( Rolle )定理 三、拉格朗日(Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理
11.08.2020
5
一、费尔马 ( Fermat )定理
f(x 0)f (x 0)x l ix 0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x 0)f (x 0)x l ix0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x0)0
11.08.2020
11
( ( (
微分中值定理的引入 平面曲线 AB,连续不断且其上各有点
切线.那麽AB上至少存在一C,点 使得曲线 AB在点C的切线与A弦B平行.
作业
P88 习题4.1
5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题:
4. 5.
复习：P80——88
预习：P89——95
11.08.2020
1
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总体概述
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f ( x ) 常 f 数 ( x ) 0 , x [ a ,b ]
因此 ,可在 (a,b)内任取一点 ,有 作为 f()0
(2)若Mm, 由f(a)f(b)知,M和m至 少 有 一
不 等f(于 a). 不妨 M 设 f(a).
11.08.2020
18
因 为 f(b) f(a),从 而M 有 f(b).
（一）极值的定义：
设 函 数f (x)在 点x0的 某 邻 域N(x0)有 定 义.若xN(x0),有
f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0)) 则 称 函 数f 在x0 取 得 极 大(值 或 极 小 值 ) 并 称x0 为f 的 极 大 值(点 或 极 小 值)点 .
11.08.2020
罗尔定理若放弃条件: f(a)f(b) 则推广为拉格朗日定理。
知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的老问题。
因此想到利用罗尔定理！
11.08.2020
21
设 k f(b) f(a)
ba
弦 A方 B:y程 f(a ) k x k a 0 y
弦线与f(x)在端点处相等
C
B 函数
f(x)f(a)k xka
应用导数研究函数性态
局部性态— 未定型极限 函数的局部近似
整体性态— 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形
11.08.2020
3
微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理
微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间
内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分性质。
切 线 平 行 于 弦AB
B
f ()
C
f (a) A
o
11.08.2020
g(a)
g( ) g (b )
x15
二、罗尔 ( Rolle )定理
设函数f ( x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可微; (3) f (a) f (b),
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得
A
满足罗尔定理条件
o a 11.08.2020
这 就 是 ,最说大M 值 只 能(a在 ,b)内 部
某 点 处 达,即 到
f() M(a b )
因为 (a,b),所以f ()存在.又f ()
是函数的最大,且值在(a,b)内部达,到
因而是极大.于值是由费尔马定理
11.08.2020
f() 0 (a b ) 19
三、拉格朗日(Lagrange )定理
6
y
f (x1)极小值 f (x0)极大值
y f(x)
o x 0 (极大值点 )
x
x 1 (极小值点 )
极值的研究是微积分产生的主要动力之一
11.08.2020
7
（二）费尔马定理 (极值必要条件)
设 函f数 (x)在 点 x0取 得 极 ,并值且 f(x)在 点 x0 可 导 ,则 必 有
f(x0)0
设 函 数f (x)满 足 条 件 ： (1)在 闭 区[间 a,b]上 连 续; (2)在 开 区(间a,b)内 可 微,
则 在(a,b)内 至 少 存 在 一,点 使 得
11.08.2020
f(b)f(a)f()
ba
(ab)
20
怎样证明拉格朗日定理 ？
拉格朗日定理若添加条件: f(a)f(b) 则收缩为罗尔定理；
[注意1] f(x0)0是可导函数取得极 必要条.件
[注 意 2]满 足f(x0)0的 点 x0不 一 定 是 函 数f的 一 个 极.这值种点点 称
驻 点 .
11.08.2020
8
y
y x3
o
x
y 3 x2
y(0) 0
x 0不是极值点
驻点未必是极值点！
11.08.2020
9
[证] (只 须 :f(x 0 )证 0 且 f( 明 x 0 ) 0 )
11.08.2020
f() 0 (a b )
16
怎来！
想到利用闭区间上连续函数
的最大最小值定理！
C
A
B
o
11.08.2020
a
C
bx 17
罗尔定理的证明：
由条 (1)知 件 ,f(x)在闭[a 区 ,b]上 间达
最大 M值 和最m 小 . 值 ( 1 ) 若 M m ,则 f ( x ) M , x [ a ,b ].
即 在 x 0 的 点 (x 邻 0,x 0 域 ) 内 ,有
f(x)f(x0)
考察 f(x0)f(x)f(x0)
x
xx0
xx0
f(x)f(x0)0 xx0
xx0
11.08.2020
f(x)f(x0)0 xx0
10
因f( 为 x 0)存 ,所 在 f 以 (x 0)和 f (x 0) 都,存 并在 且 有
B
A
11.08.2020
C
切线平行于弦AB
12
y
A
o
11.08.2020
a
f()0
切线平行于x轴
B
C
bx
13
f(b)f(a)f()
y
ba
切 线 平 行 于 弦AB
B
A
o
11.08.2020
a
C
b
x14
AB 的 参 数 方 程: xg(t) y f(t) (at b)
y
f (b)
f(b)f(a) f() g(b)g(a) g()
微分中值定理是微分学的理论基础。是
利用导数研究函数性质的理论依据。
11.08.2020
4
第八讲 微分中值定理
一、费尔马 ( Fermat )定理 二、罗尔 ( Rolle )定理 三、拉格朗日(Lagrange )定理 四、柯西 (Cauchy )定理
11.08.2020
5
一、费尔马 ( Fermat )定理
f(x 0)f (x 0)x l ix 0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x 0)f (x 0)x l ix0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x0)0
11.08.2020
11
( ( (
微分中值定理的引入 平面曲线 AB,连续不断且其上各有点
切线.那麽AB上至少存在一C,点 使得曲线 AB在点C的切线与A弦B平行.
作业
P88 习题4.1
5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题:
4. 5.
复习：P80——88
预习：P89——95
11.08.2020
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总体概述
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f ( x ) 常 f 数 ( x ) 0 , x [ a ,b ]
因此 ,可在 (a,b)内任取一点 ,有 作为 f()0
(2)若Mm, 由f(a)f(b)知,M和m至 少 有 一
不 等f(于 a). 不妨 M 设 f(a).
11.08.2020
18
因 为 f(b) f(a),从 而M 有 f(b).
（一）极值的定义：
设 函 数f (x)在 点x0的 某 邻 域N(x0)有 定 义.若xN(x0),有
f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0)) 则 称 函 数f 在x0 取 得 极 大(值 或 极 小 值 ) 并 称x0 为f 的 极 大 值(点 或 极 小 值)点 .
11.08.2020
罗尔定理若放弃条件: f(a)f(b) 则推广为拉格朗日定理。
知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的老问题。
因此想到利用罗尔定理！
11.08.2020
21
设 k f(b) f(a)
ba
弦 A方 B:y程 f(a ) k x k a 0 y
弦线与f(x)在端点处相等
C
B 函数
f(x)f(a)k xka
应用导数研究函数性态
局部性态— 未定型极限 函数的局部近似
整体性态— 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形
11.08.2020
3
微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理
微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间
内至少有一点，使所研究的函数在该点具有 某种微分性质。
切 线 平 行 于 弦AB
B
f ()
C
f (a) A
o
11.08.2020
g(a)
g( ) g (b )
x15
二、罗尔 ( Rolle )定理
设函数f ( x)满足条件： (1)在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可微; (3) f (a) f (b),
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得
A
满足罗尔定理条件
o a 11.08.2020
这 就 是 ,最说大M 值 只 能(a在 ,b)内 部
某 点 处 达,即 到
f() M(a b )
因为 (a,b),所以f ()存在.又f ()
是函数的最大,且值在(a,b)内部达,到
因而是极大.于值是由费尔马定理
11.08.2020
f() 0 (a b ) 19
三、拉格朗日(Lagrange )定理
6
y
f (x1)极小值 f (x0)极大值
y f(x)
o x 0 (极大值点 )
x
x 1 (极小值点 )
极值的研究是微积分产生的主要动力之一
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（二）费尔马定理 (极值必要条件)
设 函f数 (x)在 点 x0取 得 极 ,并值且 f(x)在 点 x0 可 导 ,则 必 有
f(x0)0
设 函 数f (x)满 足 条 件 ： (1)在 闭 区[间 a,b]上 连 续; (2)在 开 区(间a,b)内 可 微,
则 在(a,b)内 至 少 存 在 一,点 使 得
11.08.2020
f(b)f(a)f()
ba
(ab)
20
怎样证明拉格朗日定理 ？
拉格朗日定理若添加条件: f(a)f(b) 则收缩为罗尔定理；
[注意1] f(x0)0是可导函数取得极 必要条.件
[注 意 2]满 足f(x0)0的 点 x0不 一 定 是 函 数f的 一 个 极.这值种点点 称
驻 点 .
11.08.2020
8
y
y x3
o
x
y 3 x2
y(0) 0
x 0不是极值点
驻点未必是极值点！
11.08.2020
9
[证] (只 须 :f(x 0 )证 0 且 f( 明 x 0 ) 0 )
11.08.2020
f() 0 (a b )
16
怎来！
想到利用闭区间上连续函数
的最大最小值定理！
C
A
B
o
11.08.2020
a
C
bx 17
罗尔定理的证明：
由条 (1)知 件 ,f(x)在闭[a 区 ,b]上 间达
最大 M值 和最m 小 . 值 ( 1 ) 若 M m ,则 f ( x ) M , x [ a ,b ].