现代光电信息处理技术2

1.在空域中，如何利用δ函数进行物光场分解。

答：δ函数常用来描述脉冲状态这样一类物理现象。空间变量的δ函可以

描写诸如单位光通量的点光源的面发光度等。其定义：

,000,0{)(y y x x y y x x ==∞=--其他

δ ⎰⎰∞∞-=--1)(0,0dxdy y y x x δ

考察平行光束通过透镜后会聚于焦点时的照度分布，后焦面上的照度

分布可用δ（x,y)描述。任何输入函数都可以表达为

()()()ηξηξδηξd d y x f y x f 1⎰⎰∞

∞-111--=,,,该式表明，函数()1y x f 1, 可以分解

成为在1y x 1, 平面上不同位置处无穷多个δ函数的线性组合。

2.卷积与相关各表示什么意义？在运算上有什么差异？

答：①卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数，又代表一种运算。

由于光学图像大多是二维平面图像，故定义函数()y x g ,和()y x h ,的二维卷积为 ()()()()ηξηξηξd d y x h g y x h x g ⎰⎰∞∞---=*,,,。假设线光源置于会聚透

镜L 1的前焦平面上，其方向与x 0轴方向一致，其强度分布为I 0(x 0),

求透镜L 2后焦平面上的强度分布：

I i (x i )=εεεd x P I i )()(0-⎰∞∞-

其中，I i (x i )是像平面上某点x i 处的总光强I i (x i )，P(x i )是单位强度

的点光源对应的像强度分布。由上式可知，光学系统像平面上的光强

分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。这

就是卷积在光学成像中的物理意义。

②互相关的定义为： ),(),(),(),(*),(y x g y x f d d y x g f y x e fg ⎰⎰∞

∞-ψ=++=ηεηεηε

式中，*表示函数的复共轭。互相关是两个信号间存在多少相似性或者

关联性的量度。两个完全不同的，毫无关联的信号，对所有位置，它

们互相关的值应为零。如果两个信号由于某种物理上的联系在一些部

位存在相似性，则在相应位置上就存在非零的互相关值。

③比较卷积和相关的定义式可以看出，相关和卷积的区别仅在于相关

的运算中，函数f(x,y)应取复共轭，但图形不需要翻转，而位移，相

乘和积分三个过程是两者共通的。

3.空间傅里叶变换的物理意义，具有哪些基本性质？哪些函数的傅里叶换本身还是该类型函数？他们具有哪些特点？

答：①空间傅里叶变换得物理意义是：在处理线性系统时，常用的方法是

把一个复杂的输入分解成许多较简单的基元的输入，计算该系统对每

一个这样的基元函数的响应，再把所有的单个响应叠加起来得到总响应。傅里叶分析提供了一个进行这种分解的基本手段。由傅里叶逆变

换公式y x y f x f i y x df df e f f F y x f y x )(2,)(),(+∞

∞-⎰⎰=π看到，可以把二维傅里叶变换看

作是函数f(x,y)分解为exp[i2π(f x x+f y y)]的基元函数的线性组合。

物函数f(x,y)可看成无数振幅不同（|F （f x,f y ）df x df y |),方向不同

（cos y x f f λβλα==cos cos ,)的平面波形线性叠加的结果。傅里叶分解对

于讨论线性系统的性质和作用尤为重要。

②傅里叶变换的基本性质有：设函数()y x g ,和()y x h ,的傅里叶变换分别

为()y x ,f f G 和()y x ,f f H ，

（1）线性定理

()(){}()()y x y x f f bH f f aG y x bh y x ag ,,,,F +=+ 式中a 和b 是任意复常数，即

两个函数线性组合的变换等于两个函数变换的线性组合。

（2）相似性定理

(){}⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1=b f a f G ab by ax g y x ,,F 即空域中坐标()y x ,的扩展，导致频域中坐标()y x ,f f 的压缩以及频谱

幅度的变化。

（3）位移定理

(){}()()[]b f a f πj2-exp f f G b y a x g y x y x +=--,,F

即函数在空域中平移，带来频域中的线性相移。另一方面

()()[]{}()b y a x b a f f f f G y f x f j2exp y x g --=+,,F π

即函数在空域中的相移，会导致频谱的位移。

（4）帕色伐（Parsaval ）定理 ()()dxdy ,f f G dxdy y x g y x ⎰⎰⎰⎰∞∞-2∞∞-2=,

若

()y x g ,表示一个实际的物理信号，()2y x ,f f G 通常称为信号的功率谱（有时是能量谱）。定理表明信号在空域的能量与其在频域的能

量守恒。

（5）卷积定理

函数()y x g ,和()y x h ,的卷积定义为 ()()()()ηd ξd ηy ξx h ηξg y x h y x g ⎰⎰∞

∞

---=*,,,,

则()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F ⋅=* 即空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变

换的乘积。另一方面有()(){}()()y x y x f f H f f G y x h y x g ,,,,F *=⋅

即空间域中两个函数的乘积的傅里叶变换等于它们对应傅里叶变

换的卷积。卷积定理可以用来通过傅里叶变换方法求卷积或者通

过卷积方法求傅里叶变换。

（6）相关定理（维纳——辛钦定理）

两复函数()y x g ,和()y x h ,的互相关定义为：