第5章 联立方程模型

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例 题1（横截面数据）
在一个市场经济中，由于种种原因，女职工工资与劳动时 数有相当的不同。为解释这种现象，假定职工的劳动素质是均 匀的。 雇主的观点： 职工的责任感和连续工作是重要的（质量、效率等）， 劳动时间越多，每小时劳动价值越大。由此导出公司的劳动 需求关系：所需工作时数与实际支付的工资之间的关系。 个别雇工的观点： 雇工愿意提供的工作时数与每单位时间工资、家庭其它 收入、抚养的子女以及瞻养的老人数有关。由此可以导出劳动 供给关系：提供的工作时数与实际获得的工资之间的关系。
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5.2 结构式与约简式
3）其他分类 （1）宏观经济模型与微观经济模型 （2）静态模型与动态模型 （3）结构式模型与约简式模型 5.2 结构式模型与约简式模型 以市场供求均衡模型为例： Dt = α 0 + α1 Pt + α 2Yt + µ1t St = β 0 + β1 Pt + β 2Wt + µ 2t D = S t t
β 0 + α 0 β1 µ + β 1 µ1t α 2 β1 β2 + Yt + Wt + 2 t 1 − α 1β1 1 − α 1β1 1 − α 1β1 1 − α 1β1 α + α 1β 0 α µ + µ1t α2 β 2α 1 Pt = 0 + Yt + Wt + 1 2 t 1 − α 1β1 1 − α 1β1 1 − α 1β1 1 − α 1β1
经济行为方程11
经济过程1：一组方程（随机方程+确定方程）
经济过程2：一组方程（随机方程+确定方程） …
经济行为方程2h
经济过程h：一组方程（随机方程+确定方程）
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5.1 联立方程模型的基本概念 5.1.1 联立方程模型的例子 农产品供需模型： 价格、需求和供给由供求平衡条件决定，因此反映供求关系的供求模型 为：
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5.2结构式与约简式（4）
（3）回避了内生变量之间在模型内部的交叉决定（解释）和影 响，避免了内生变量与误差项的强烈相关性（引进约简式的根 本原因），因而便 于求解内生变量数值，进行预测等应用。 （4）不能清晰反映经济变量之间的内在联系、经济问题的内 在规律。因为各方程及参数的意义不明确。 简化式的估计：直接适用OLS方法。 因此，对约简式进行回归分析、估计其模型参数后，还不 能说完成了计量经济分析。需利用简化式模型的参数估计，进 一步推导出响应的结构式模型的参数估计
Dt = α 0 + α1 Pt + α 2Yt + µ1t St = β 0 + β1 Pt + β 2Wt + µ 2t D = S t t
(1) ( 2) (3)
(1)式需求函数 : 需求量依赖于价格P和消费者的收入Y (2)式供给函数 : 供给量由商品价格P和天气条件W（和 / 或经济能力）决定 (3)式供求平衡条件 : 价格既取决于供给者又取决于购买者；需求量和 供给量决定着平衡价格，价格又影响需求与供给。
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例 题2（时间序列数据）
以凯恩斯理论为背景的最简单的国民收入如何决定的宏观模型 一个无外贸的封闭经济系统，开始时有一个横等式：
Y ≡ C + I +G
Y:国民收入（GNP） C:消费支出 I:投资额
（ 1 ）
G:政府支出
通过经济行为分行，认为消费是税后收入和利息率的函数：
C = f [(1 − s )Y , r ]
s:税率
r:利息率
而投资是GNP的变化和利息率的函数：
I = h(∆Y , r )
∆Y ：GNP的变化，近似地代表利润期望
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G由系统以外地因素决定。
例 题2
由经济理论可知：投资和影响它的变量之间的关系在时间 上有一定的延迟，产生一种动态关系，使预测成为可能。 因此，将国民收入模型扩展为：
Ct = α 0 + α1 (1 − s )Yt + α 2 rt + ut Yt = Ct + I t + Gt
′ = − α 0 α1，α1 ′ = 1 α1，α 2 ′ = − α 2 α1，µ1 ′t = − µ1t β1 其中α 0
结构式模型：描述经济变量结构关系的模型。 特点： （1）结构式模型是根据经济理论，以数学方程形式对经济变量之间真实的 结构关系做出的直接表达。 （2）每个结构方程式中，内生变量是其他内生变量、前定变量和随机扰动 项的函数。 即：当期内生变量＝f（其他当期内生变量，前定变量，随机扰动项） （3）结构参数表示方程中解释变量对因变量的直接影响。 当内生变量个数等于方程个数，称此结构式模型是完备的。 结构式的估计问题：
内生变量： Dt、S t、Pt 外生变量：
Yt、Wt
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5.1.2变量分类 1）内生变量：由模型系统内决定，其值大小由方程组的联立解得到。 一般而言，内生变量既影响所在系统，又受所在系统影响。它是具有某 种概率分布的随机变量，并且与随机扰动项相关。设Yt是内生变量，ut是随 机扰动项，则有 Cov(Yt,ut)≠0 2)外生变量：由模型系统外部决定，其值大小由系统之外的因素决定。 联立方程模型中，外生变量是非随机变量，与随机扰动项不相关。设Xt 是外生变量，则有 Cov(Xt,ut)=0 3）前定变量；包括外生变量和滞后内生变量。 联立方程模型中，前定变量与随机扰动项不相关。设是外生变量，是随机 扰动项，则有 Cov(Yt-s,ut)≠0 通常一个联立方程组模型的内生变量个数与方程个数是相等的。
需求： 供给： 工时id = β 0 + β1 ⋅ 工资i + µi
工时
d s1
工资i
工资
工作-工资观测点的产生
(1) (2)
工时is = γ 0 + γ 1 ⋅ 工资i + γ 2 ⋅ 收入i + γ 3 ⋅ 儿童老人数i + ωi
但斜率应该是多少？经济理论无力，由计量经济分析解决。
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例 题1（4）
Qt = ∏ 11 + ∏ 12Yt + ∏ 13Wt + ω1t Pt = ∏
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简写为 + ∏ 22Yt + ∏ 23Wt + ω 2 t
约简式模型：把内生变量从原结构模型中解出来的结果。
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5.2结构式与约简式（3）
简化式模型具有以下特点： （1）每个约简式方程中，内生变量是前定变量和随机扰动项 的函数； 内生变量＝f（前定变量，随机扰动项） （2）简化式参数是前定变量对内生变量的直接影响和间接影 响的总度量； 系数∏ 仅是α和β 的组合. 因此，简化式参数和结构参数可以互相转换。
令Qt = Dt = St，得
Qt = α 0 + α1 Pt + α 2Yt + µ1t Q = β + β P + β W + µ 0 1 t 2 t 2t t
( 2)
将(2)式化为一个内生变量被其他变量决定的形式 — —结构式模型
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5.2结构式与约简式（2）
结构式模型：
Qt = β 0 + β1 Pt + β 2Wt + µ 2t ′ + β1′Qt + α 2 ′Yt + µ1 ′t Pt = α 0
(1) (2)
(3)
内生变量： 工时、 工资
（1）、（2）、（3）式对劳动工时问题构成一个完整的 描述个别雇主和雇工的行为的模型，使用横截面微观数据。 工时既是需求量又是供给量，在观测上是等效的。 为突出需求和供给两种行为，把“工时”放在了方程（1） 和（2）的左侧，并不表明“工时”比“工资”更重要。作为内生 变量，二者有完全同等的地位。
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例 题1（3）
对于一个确定的女职工，在一定的观察期内，“家庭 收入”和“儿童老人数”通常是确定的（常数项的一部分）。
供给与需求方 程的系统部分
用经济理论看因果关系： 雇主： 工资↑,表明对工时的需求↑； 雇工： 工资↑ ，表明对工时的提供↑。 ∴ （1）、（2）式中， β1,γ1>0， 如左图。
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例 题1（2）
1、模型的建立: 两个行为主体雇主与雇工的行为构成一个完整的经济过程。 用方程描述：
需求： 供给：
有
工时id = β 0 + β1 ⋅ 工资i + µi 工时is = γ 0 + γ 1 ⋅ 工资i + γ 2 ⋅ 收入i + γ 3 ⋅ 儿童老人数i + ωi
工时id = 工时is
(1) (2)
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例 题1（5）
劳动工时模型的约简式：由解联立方程的标准方法可得:
ωi − µ i γ3 γ 0 − β0 γ 2 工资i = 收入 儿童老人数 ⋅ + ⋅ + + i i β −γ β −γ β −γ β −γ 1 1 1 1 1 1 1 1 β1ωi − γ 1µi β1γ 3 β1γ 0 − β 0γ 1 β1γ 2 工时i = 收入 儿童老人数 ⋅ + ⋅ + + i i β −γ β −γ β −γ β −γ 1 1 1 1 1 1 1 1
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5.1.3方程分类（2）
1）按方程是否含有随机扰动项，分为随机方程和确定性方程。 2）按模型对象的行为方式、性质等分类 （1）行为方程：反映经济活动主体，如政府、企业或消费者个人的经济 行为方式的关系式。 （2）技术方程：基于客观经济技术关系而建立的函数关系式。 如Cobb-Douglas生产函数，它反映了投入与产出的经济技 术联系。 （3）制度方程：由法律、法令、规章等制度规定的经济变量之间的函数关系。 如税收方程：应交税额=r×B。 （4）恒等式：恒等式有两种 * 定义方程式：由经济理论和假设确定的诸经济变量之间的定义 关系所构成的方程式。如 销售收入=单价× 销售量， 国民收入=消费+储蓄 * 平衡方程式（均衡条件）：如 Dt = S t ，表示某一商品的市场达 到平衡。 注：制度方程和恒等式都是确定性方程，其参数已知无需估计。
随机项的存在使每次的观测结果不同。设第i次观测的 ui<0, vi>0,则该点的需求关系式在d的下方，供给关系式 在s1的上方。 在观测点（两线交点）处两 个方程都被满足。 s2代表另一组雇工的工 时供给趋势。
工时
d
1 2
s1
Βιβλιοθήκη Baidus2
工资i 工资
工作-工资观测点的产生
工时id = β 0 + β1 ⋅ 工资i + µi 工时is = γ 0 + γ 1 ⋅ 工资i + γ 2 ⋅ 收入i + γ 3 ⋅ 儿童老人数i + ωi
边际消费倾向
投资家速作用
(2) (3) ( 4)
I t = β 0 + β1∆Yt −1 + β 2 rt −1 + vt ， ∆Yt −1 = Yt −1 − Yt − 2
根据经济行为的分析，预期有：？ 0 < α1 < 1, α 2 < 0, β1 > 0, β 2 < 0 方程（1）、（2）、（3）组成的模型描述了C、I、Y 同时被决定的经济过程。
可简写为 工资 i = ∏ 10 + ∏ 11 ⋅ 收入 i + ∏ 12 ⋅ 儿童老人数 i + ϑ1i 工时 i = ∏ +∏ ⋅ 收入 i + ∏ ⋅ 儿童老人数 i + ϑ 2 i
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∏ 和 ϑ 对应于括号内的那些项
，分别是 β 和 γ、 ω 和 µ 的组合。
不难看出，每一个约简式方程反映了一个内生变量是如何 取决于外生变量、误差项和结构系数的。粗略地说，约简式已 经解开了内生变量之间的相互关系，每一内生变量都与模型的 两个误差项有关。
OLS不适于用来估计在一个联立方程组中的单一方程。因为，如果在该 方程中有一个或多个解释变量与随机扰动项相关，这样的估计量就是非一致的。
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5.2结构式与约简式（3）
结构式不便于进行参数估计和计量分析，因此，需要将其变换为各个 内生变量都是前定变量的函数——约简式模型。
约简式模型 : 把内生变量从原结构模 型解出来的结果。 Qt =
第5章 联立方程模型
前面4章讨论的是单方程模型。单方程分析经济活动、经济关系中的单向 影响（单向决定关系、单向因果关系）。这种单向影响是经济活动中的基本 联系。认识其内在联系有重要价值，但还不够。 经济现象是复杂的，存在着相互依存、相互制约，甚至多层次、动态影 响和循环反馈等。因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果。 如果把他们割裂成一个个单向关系，不能全面理解和掌握经济过程的内在规 律。因此，需要用多个相互联系的方程，正确全面的反映复杂的现实经济系 统状况。 行为主体1 行为主体2 …… 行为主体m