高中数学特殊数列通项求和知识总结+题库

要求层次

重难点

数列的概念数列的概念和表示法 A

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

根据数列的递推公式写出数列的前几项

等差数列

等差数列的概念 B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

灵活应用求和公式解决问题

等差数列的通项公式与

前n项和公式

C

等比数列

等比数列的概念 B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

灵活应用求和公式解决问题

等比数列的通项公式与

前n项和公式

C

（一）知识内容

求数列的通项方法

1、由等差，等比定义，写出通项公式

2、利用迭加a n-a n-1=f(n)、迭乘a n/a n-1=f(n)、迭代

3、一阶递推

1

n n

a pa q

+

=+,我们通常将其化为()()

1

n n

a A p a A

+

-=-看成{b n}的等比数列

4、利用换元思想

5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明

6、对含a n与S n的题，进行熟练转化为同一种解题

（二）主要方法：

1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项.

2、运用等差（等比）数列的通项公式.

3、已知数列{}

n

a前n项和

n

S，则1

1

1

2

n

n n

S n

a

S S n

-

=

⎧

=⎨

-≥

⎩

（注意：不能忘记讨论1

n=）

4、已知数列{}

n

a前n项之积T n，一般可求T n-1，则a n＝

1

n

n

T

T

－

（注意：不能忘记讨论1

n=）.

例题精讲

高考要求

板块一：特殊数列通项

特殊数列的通项和前n项和求法

5、已知1()(2)n n a a f n n --=≥，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法.

6、已知

1

()(2)n

n a f n n a -=≥，求n a 用累乘法. 7、已知数列{}n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列{()}

n f a 为等差或等比数列.

8、已知n a 与n S 的关系式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利

用上述方法求出n a .

例如：数列{}n a ：2,4,6,8,10,

，是一个递增数列，且是无穷数列，无界数列，

它的首项12a =，2n a n =是它的一个通项公式； 其中112,2(2)n n a a a n -==+≥是它的一个递推公式； 它的前n 项和2422(12)(1)n S n n n n =++

+=++

+=+．

（三）典例分析：

1.公式法

【例1】 ⑴ 在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

，则n a =（ ）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++

⑵ 数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-，试求{}n a 的通项公式．

【例2】 设数列{}n a 中11a =，且2n n S n a =，求n a

2.递推法

【例3】 ⑴已知数列{}n a 满足132n n a a n +=++，且12a =，求n a ．

⑵已知11a =，

12

n n a n a n

++=

，求n a ．

【变式】 设12a =，12

1

n n a a +=

+，21n n n a b a +=-，*n ∈N ，则数列{}n b 的通项n b = ．

⑵已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），12

31n

n n n

n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩，当为偶数时

，当为奇数时，若61a =，则m 所有可能的取值为__________．

【变式】 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点

()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤

⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝

⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩

，

()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．

【例4】 在数列{}n a 中，11a =，11112n n n n a a n ++⎛⎫

=++ ⎪⎝⎭

．

⑴设n n a

b n

=，求数列{}n b 的通项公式；

⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．

【例5】 各项均为正数的数列{}n a ，1a a =，2a b =，且对满足m n p q +=+的正整数m ，n ，p ，q 都

有

(1)(1)(1)(1)

p q m n

m n p q a a a a a a a a ++=++++．

⑴当12

a =

，4

5b =时，求3a ；

⑵在⑴的条件下，将n a 用1n a -表示出来（其中n *∈N ）． ⑶在⑴的条件下证明11n n a a ⎧⎫

-⎨

⎬+⎩

⎭为等比数列，并求通项n a ． ⑷证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有

1

n a λλ

≤≤．