一类非线性反应扩散方程的隐
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Haiming Gu#, Mengmeng Guo
Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao Email: #coolmi.g@163.com Received: Nov. 30th, 2011; revised: Dec. 20th, 2011; accepted: Dec. 23rd, 2011.
* #
青岛市应用基础项目资助。 通讯作者。
28
Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
2. 预备知识
考虑下列非线性反应扩散方程：设 R d d 2,3 是具有光滑边界 的有界区域。对于 T 0 ，求实值函 数 u 0, T ，满足
Abstract: Implicit-explicit multistep methods were recently proposed, and mainly used to nonlinearparabolicequations. We approximate the solution of initial boundary value problems for some nonlinear reaction-diffusion Equations, and discretize by Implicit-Explicit Multistep finite element methods. The optimal order error estimates is derived in this paper. Keywords: Nonlinear Reaction-Diffusion Equations; Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods; Optimal Order Error Estimates
p q [1,5,6]。
在假设 p q 时，记多项式 ， ， 分别为
( ) q j 1 , q , q 1
j
1 j 0 j
q
q
(5)
由上述多项式给出的隐式 , 格式是著名的 B.D.F 方法，这种方法对 1 q 6 是强 A 0 -稳定的。 设 v, w vwds ， v v, v [7,8] Wsk 是上模为 v W
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法*
顾海明#，郭蒙蒙
青岛科技大学数理学院，青岛 Email: #coolmi.g@163.com 收稿日期：2011 年 11 月 30 日；修回日期：2011 年 12 月 20 日；录用日期：2011 年 12 月 23 日
摘
要：隐–显多步有限元方法是近年来提出的一种方法，主要用于非线性抛物问题。我们对一类非
定义椭圆算子 A ：
Av a x v
(6)
显然 ，算 子 A 是在 Hilbert 空间 H 上的 线 性自 共轭 正 定 算子 ，且
Av, v
等 价于 v 1 。不 失 一 般性 ，记
v1
Av, v 。定义：
v ( q v q v 1 )1 2
2 2
a) b) c)
Ah v, Av, a( x)v, , ARh v, Av, , Vh P0v, v, , Vh
Vh (11)
则有 Ah Rh P0 A 成立。 记 z u Rhu ，由椭圆投影的逼近性，可知
29
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
M
q V H1 0 ,V 0
sup
MV V
3. 隐–显多步有限元格式
1 (1)的弱形式为： v H 0 ,
u (8) , v a x u , v f , v t 1 取 0 ， N T Z , t n n , v n v x, t n 。设 Vh H 0 为有限元空间，且相应于 上的拟一致正则剖分指
u a x u f x, t , u ， x, t 0, T t u x, t 0 ， x, t 0, T u x, 0 u0 x ，
(1) (2) (3)
x
其中， a x 及 f x, t , u 为已知光滑函数。假设存在常数 a 和 a ，使得 a x 满足
z
z z h z 1 M u t t 1
r 1
,
u t
r 1 h r 1
(12)
非线性反应扩散方程 (1) 的隐–显多步格式为：设给定 U 0 Vh ，求 U n Vh 为 u n u t n 的离散估计，
n 0,1, , N ，满足 f t n i ,U n i U n i iU n i i AhU n i P0 i
4. 收敛性分析
令 n Rh u n U n ，由格式(13)(14)得
30 Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
n M , n 0,1, , q 1
由(8)和(13)及 Ah Rh P0 A ，可得误差方程
0 a a x a
下面给出本文将要用到的一些记号。
i , i , i
i 0 i 0 i 0
q
q
q 1
(4)
用上述多项式描述的数值求解一阶 O.D.E q - 步线性多步法，记为 , ， , 。假设格式 , 为强 A 0 -稳 定的隐式多步法，格式 , 为显式多步法。设格式 , ， , 的收敛阶都为 p 阶,其中 p, q 为正整数，且
q 1 i 0
(16)
i n i i Ah n i Fi n n i E1n E2n E3n , n 0,1, , q 1
i 0 i0
q
q
(17)
其中
Fi n P0 i f Rhu n i s n i ds ,
线性反应扩散方程的初边值问题进行近似，给出了隐–显多步有限元方法的逼近格式，并证明了该格 式的最优阶误差估计。 关键词：非线性反应扩散方程；隐–显多步有限元方法；最优估计
1. 引言
隐–显多步有限元方法是由 Georgios Akrivis，Michel Crouzeix，Charalambos Makridakis 在 1998 年提出的， 他们对非线性抛物方程的初边值问题的结果进行近似.在空间中，用有限元方法进行描述，而对于时间变量的离 散，以线性多步格式为基础，方程的一部分显式离散，一部分隐式离散。这种演绎格式是稳定的，相容的，有 效的[1-3]。因为对于每个时间层，有相同的矩阵线性系统解，且在每个时间步长上，都要求他们实现。对于非线 性反应扩散方程的数值求解，我们通常是在空间中用有限元离散，而在时间上用低阶有限差分离散[4]。 本文在第 2 节中给出了文中所用到的一些记号，第 3 节中给出了给出的反应扩散方程的隐–显多步有限元 方法，在第 4 节中我们对该格式进行了最优误差估计。
E3n P0 i f t n i , u ni f t ni , Rhu n i
i 0
q 1
记
i x
k u 1 1! 0
1
(15)
这里 u0 i 1, 2, , 1 为(1)的解在 t 0 处关于时间 t 的 i 阶导数，可以根据原方程计算求得。
由多步格式 , 为强 A 0 -稳定的，可得 q q 0 ，则 q I q Ah 为可逆算子。因此，格式(13)(14)有唯一 解。
标为 r。 设下列逼近性和逆性质都成立，
uh Vh
inf u uh h u uh 1 M u
uh
j ,
r 1
h r 1
(9) (10)
Mh
d 2
uh j , j 0,1 , uh Vh
1 1 1 定义 Ah : H 0 Vh , Rh : H 0 Vh , P0 : H 0 Vh ，满足
Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 28-33 doi:10.4236/pm.2012.21006 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods for Some Nonlinear Reaction-Diffusion Equations*
0 1
(18) (19) (20) (21)
q 1 q E1n P0 i Au n i i Au n i i0 i0 q q q 1 u n i n E2 Rh P0 i u n i P0 i u n i i t t i 0 i0 i 0
q
12
12
q V i i 1
1 对于线性算子 M : H 0
2
, V
12
1
q i i 1
，V 1
2
12
j ,
max i
1 i q
j ,
q
1 H0
q
，我们记
Copyright © 2012 Hanspub
2
x
S
的 Sobolev 空间。 LS
1s
当 s 2 时， v W v
2
H
v。
2
用 . s 表示 . s 的半范数，则当 s 2, k 1 时，半范数 v 1 v 。
1 用 H0 表示函数值在边界 上为 0 的 H 1 的子空间，则在子空间上 . 1 . 1 。
i 0 i 0 i 0 q q q 1
(13)
n 0,1, , N q
其初始值计算格式为 a) U 0 Rhu0
b) U k RhTk u0 , k 1, 2, , q 1 ,
其中
(14)
Tk u0 u0 u0
i
1
k
2!来自百度文库
2
u0
2
(7)
1 对于 V 1 ,2 , ,q H 0 T
q
1 , W 1 , 2 , , q H 0 ，我们定义 T q
q q 2 2 V ,W i , i , V i , V 1 i 1 i 1 i 1 i 1
Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao Email: #coolmi.g@163.com Received: Nov. 30th, 2011; revised: Dec. 20th, 2011; accepted: Dec. 23rd, 2011.
* #
青岛市应用基础项目资助。 通讯作者。
28
Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
2. 预备知识
考虑下列非线性反应扩散方程：设 R d d 2,3 是具有光滑边界 的有界区域。对于 T 0 ，求实值函 数 u 0, T ，满足
Abstract: Implicit-explicit multistep methods were recently proposed, and mainly used to nonlinearparabolicequations. We approximate the solution of initial boundary value problems for some nonlinear reaction-diffusion Equations, and discretize by Implicit-Explicit Multistep finite element methods. The optimal order error estimates is derived in this paper. Keywords: Nonlinear Reaction-Diffusion Equations; Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods; Optimal Order Error Estimates
p q [1,5,6]。
在假设 p q 时，记多项式 ， ， 分别为
( ) q j 1 , q , q 1
j
1 j 0 j
q
q
(5)
由上述多项式给出的隐式 , 格式是著名的 B.D.F 方法，这种方法对 1 q 6 是强 A 0 -稳定的。 设 v, w vwds ， v v, v [7,8] Wsk 是上模为 v W
一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法*
顾海明#，郭蒙蒙
青岛科技大学数理学院，青岛 Email: #coolmi.g@163.com 收稿日期：2011 年 11 月 30 日；修回日期：2011 年 12 月 20 日；录用日期：2011 年 12 月 23 日
摘
要：隐–显多步有限元方法是近年来提出的一种方法，主要用于非线性抛物问题。我们对一类非
定义椭圆算子 A ：
Av a x v
(6)
显然 ，算 子 A 是在 Hilbert 空间 H 上的 线 性自 共轭 正 定 算子 ，且
Av, v
等 价于 v 1 。不 失 一 般性 ，记
v1
Av, v 。定义：
v ( q v q v 1 )1 2
2 2
a) b) c)
Ah v, Av, a( x)v, , ARh v, Av, , Vh P0v, v, , Vh
Vh (11)
则有 Ah Rh P0 A 成立。 记 z u Rhu ，由椭圆投影的逼近性，可知
29
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
M
q V H1 0 ,V 0
sup
MV V
3. 隐–显多步有限元格式
1 (1)的弱形式为： v H 0 ,
u (8) , v a x u , v f , v t 1 取 0 ， N T Z , t n n , v n v x, t n 。设 Vh H 0 为有限元空间，且相应于 上的拟一致正则剖分指
u a x u f x, t , u ， x, t 0, T t u x, t 0 ， x, t 0, T u x, 0 u0 x ，
(1) (2) (3)
x
其中， a x 及 f x, t , u 为已知光滑函数。假设存在常数 a 和 a ，使得 a x 满足
z
z z h z 1 M u t t 1
r 1
,
u t
r 1 h r 1
(12)
非线性反应扩散方程 (1) 的隐–显多步格式为：设给定 U 0 Vh ，求 U n Vh 为 u n u t n 的离散估计，
n 0,1, , N ，满足 f t n i ,U n i U n i iU n i i AhU n i P0 i
4. 收敛性分析
令 n Rh u n U n ，由格式(13)(14)得
30 Copyright © 2012 Hanspub
顾海明 等 一类非线性反应扩散方程的隐–显多步有限元方法
n M , n 0,1, , q 1
由(8)和(13)及 Ah Rh P0 A ，可得误差方程
0 a a x a
下面给出本文将要用到的一些记号。
i , i , i
i 0 i 0 i 0
q
q
q 1
(4)
用上述多项式描述的数值求解一阶 O.D.E q - 步线性多步法，记为 , ， , 。假设格式 , 为强 A 0 -稳 定的隐式多步法，格式 , 为显式多步法。设格式 , ， , 的收敛阶都为 p 阶,其中 p, q 为正整数，且
q 1 i 0
(16)
i n i i Ah n i Fi n n i E1n E2n E3n , n 0,1, , q 1
i 0 i0
q
q
(17)
其中
Fi n P0 i f Rhu n i s n i ds ,
线性反应扩散方程的初边值问题进行近似，给出了隐–显多步有限元方法的逼近格式，并证明了该格 式的最优阶误差估计。 关键词：非线性反应扩散方程；隐–显多步有限元方法；最优估计
1. 引言
隐–显多步有限元方法是由 Georgios Akrivis，Michel Crouzeix，Charalambos Makridakis 在 1998 年提出的， 他们对非线性抛物方程的初边值问题的结果进行近似.在空间中，用有限元方法进行描述，而对于时间变量的离 散，以线性多步格式为基础，方程的一部分显式离散，一部分隐式离散。这种演绎格式是稳定的，相容的，有 效的[1-3]。因为对于每个时间层，有相同的矩阵线性系统解，且在每个时间步长上，都要求他们实现。对于非线 性反应扩散方程的数值求解，我们通常是在空间中用有限元离散，而在时间上用低阶有限差分离散[4]。 本文在第 2 节中给出了文中所用到的一些记号，第 3 节中给出了给出的反应扩散方程的隐–显多步有限元 方法，在第 4 节中我们对该格式进行了最优误差估计。
E3n P0 i f t n i , u ni f t ni , Rhu n i
i 0
q 1
记
i x
k u 1 1! 0
1
(15)
这里 u0 i 1, 2, , 1 为(1)的解在 t 0 处关于时间 t 的 i 阶导数，可以根据原方程计算求得。
由多步格式 , 为强 A 0 -稳定的，可得 q q 0 ，则 q I q Ah 为可逆算子。因此，格式(13)(14)有唯一 解。
标为 r。 设下列逼近性和逆性质都成立，
uh Vh
inf u uh h u uh 1 M u
uh
j ,
r 1
h r 1
(9) (10)
Mh
d 2
uh j , j 0,1 , uh Vh
1 1 1 定义 Ah : H 0 Vh , Rh : H 0 Vh , P0 : H 0 Vh ，满足
Pure Mathematics 理论数学, 2012, 2, 28-33 doi:10.4236/pm.2012.21006 Published Online January 2012 (http://www.hanspub.org/journal/pm)
Implicit-Explicit Multistep Finite Element Methods for Some Nonlinear Reaction-Diffusion Equations*
0 1
(18) (19) (20) (21)
q 1 q E1n P0 i Au n i i Au n i i0 i0 q q q 1 u n i n E2 Rh P0 i u n i P0 i u n i i t t i 0 i0 i 0
q
12
12
q V i i 1
1 对于线性算子 M : H 0
2
, V
12
1
q i i 1
，V 1
2
12
j ,
max i
1 i q
j ,
q
1 H0
q
，我们记
Copyright © 2012 Hanspub
2
x
S
的 Sobolev 空间。 LS
1s
当 s 2 时， v W v
2
H
v。
2
用 . s 表示 . s 的半范数，则当 s 2, k 1 时，半范数 v 1 v 。
1 用 H0 表示函数值在边界 上为 0 的 H 1 的子空间，则在子空间上 . 1 . 1 。
i 0 i 0 i 0 q q q 1
(13)
n 0,1, , N q
其初始值计算格式为 a) U 0 Rhu0
b) U k RhTk u0 , k 1, 2, , q 1 ,
其中
(14)
Tk u0 u0 u0
i
1
k
2!来自百度文库
2
u0
2
(7)
1 对于 V 1 ,2 , ,q H 0 T
q
1 , W 1 , 2 , , q H 0 ，我们定义 T q
q q 2 2 V ,W i , i , V i , V 1 i 1 i 1 i 1 i 1