土体应力计算

2-2 地基中的自重应力
σ cz = γz
地下水位以下，用有效重量； 不同土层的重量可以叠加
′ σ cz = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 h3 pw = γ w h3
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第二章 土体应力计算
2-2 地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中：Ki——第I个竖向附加应力系数。
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等代荷载法
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二、空间问题条件下地基附加应力 （一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力 微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应 力为
3 z 3 pn dxdy dσ z = 2πR 5
第二章 土体应力计算
式（2－25）是用于计算一个矩形面积角点下 的竖向附加应力σz。对于在实际基底面积范 围以内或以外任意点下的竖向附加应力σz， 可以利用式（2－25）逐个计算每个矩形面积 角点下的σz值，再按叠加原理求得该计算点 附加应力σz的最后结果，称为“角点法”。
σ z = σ zI + σ zII + σ zIII + σ zIV
（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力 矩形基底面积上受到三角形分布荷载（基底净反力为三角形分布） 作用时， pt*x/b
3z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
x p = pt b
z
pt x b x
沿整个面积积分的方法求得荷载强度为零的角点下 的地基竖向附加应力σz1。
式中
P p= b
p
分布荷载
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（二）偏心荷载下的基底压力 对于单向偏心荷载作用下的矩形面 积基底的刚性基础如图（a）、（b ）所示。 两端边缘最大压力pmax与最小压力 pmin可按下式计算：
pmax pmin
Fv M = ± lb W
bl 2 W= 6
矩形基底面的抗弯截面系数 岩土工程研究所
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对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不 会使土体产生变形，土体的强度也不会改变。 孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。
自重应力——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。
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Fh ph = b
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四、基底附加应力——基底净压力 实际工程中，基础总是埋置在天然地面以下一定的深度，势必要进行基 坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣 除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压 力，称为基底附加应力或基底净压力。基底净压力按下式计算： 对于基底压力p为均布情况
p
pn = p − γd
d rd
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2-3 基底压力与基底附加应力
一、柔性基础与刚性基础 基底压力的分布和大小与荷载的性质（中心或偏心、倾斜等）大小 等有关，也与基础的刚度有关。
柔性基础：刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同；
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（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力 设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载pn，微面积rdrdθ上微集 中力pnrdrdθ 则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为
式中
为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力 系数，Kr是z/ro的函数，由表2－5查取。 岩土工程研究所
σ z = σ z ,oedh − σ z ,ofch − σ z ,oeag + σ z ,ofbg
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【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为 0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计 算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z ＝1m深度处的竖向附加应力。 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件 pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa
2-3 基底压力与基底附加应力
刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、基础的埋 深及土的性质而异。
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。
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二、刚性基础下基底压力分布 （一）中心荷载下的基底压力 中心荷载作用下的基础，上部结构荷载P与基础自重G的合力Fv通过基 底形心，基底压力为均匀分布。平均基底压力为 P 集中力 矩形基础 P 线荷载 条形基础
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A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽 度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得 l／b=2 ／2=1 z ／b=1／2=0.5 查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以 σzA=2 Kspn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ，HSaG，HAcQ ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。 对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 l／ b=2.5／2=1.25 z ／b=1／2=0.5 查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350 岩土工程研究所
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（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力 设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答可得地 基中任意M点的竖向附加应力为
同理可求得σx，τxz的表达式如下
注意：积分是0
b, 要求：
原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致 岩土工程研究所
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（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力 条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度 为pt），微宽度dζ上的线荷载ζptdζ/b 应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时 地基中任意M点的附加应力： σz＝Ktzpt τxz=Ktτpt 式中：Ktz，Ktx， Ktτ为条形基底三角形分布 荷载作用的地基附加应力系数，它们均是 m=x/b，n=z/b的函数。 注意：（1）原点在尖点 （2）X轴正向与荷载增大方向一致 岩土工程研究所 σx＝Ktxpt
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2-1 概 述
支承建筑物荷载的土层称为地基。 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。 将持力层下面的土层称为下卧层。 土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力； 按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传 递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。 有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。 孔隙应力——由土中孔隙流体水和气体传递（或承担）的应力。
式中
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为水平荷载作用时地基竖向附加应力系数，是m=l/b，n=z/b的函数， 这里b是荷载作用方向的矩形边长，不论其是长边还是短边，而l是矩 形的另一条边长。Kh由表2－4查取。 σz1 是水平荷载矢量起始端角点下的附加应力，为“－”值； σz2 是水平荷载矢量终止端角点下的附加应力，为“+”值。 显然在基础的b/2处的竖直线上，因ph引起的地基竖向附加应力为零 。“角点法”原理对于水平荷载作用的情况同样可以应用。
M e= Fv
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（二）偏心荷载下的基底压力
（2-11）
根据上式，当 e＜L/6时，基底压力成梯形分布； e=L/6时，基底压力为三角形分布； e＞L/6时，基底压力pmin＜0
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pmin＜0，由于地基与基础之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱离而 使基底压力重新分布。根据基底压力与偏心荷载相平衡的条件，三角形反 力分布如图（c）中的实线所示的形心应在P+G的合力Fv作用线上，由此 可计算基础边缘的最大压力pmax为 pmax=2Fv／3kb 式中：k——单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离， k—— k=(l/2-e)。 对于荷载沿长度方向均布的条形基础，P和G对应均取单位长度内的相应 值，基础宽度取为b，则基底压力为
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由图中的几何关系，得
式中
称为竖向集中力作用竖向附加应力系数。
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（二）等代荷载法——基本解答的初步应用 由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当若 干个竖向集中力Fi（I=1，2，‥ ‥ ‥n）作用于地表时，应用叠加原理 ，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所 引起的附加应力总和。
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对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 l／b=2／0.5=4 z ／b=1／0.5=2 查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）
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（2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点 是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共 同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同， 故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可 得 l／b=2 ／1=2 z ／b=1／1=1 查表2－2得Ks=0.1999，所以 σzo=4 Kspn=4×0.1999 ×131＝ 104.75（kPa） （3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。 岩土工程研究所
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二、空间问题条件下地基附加应力 （一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力 竖直均布压力作用下矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力为
式中，Ks称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m ，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。L是矩形的长边，b是矩形的短边，而 z是从基底面起算的深度，ks值可直接查表2－2。pn是基底净压力。 岩土工程研究所
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三、平面问题条件下的地基附加应力（l/B>=10） （一）竖直线荷载作用下的地基附加应力 线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。 在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的 附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方 法求得
同理
这就是著名的符拉蒙（Flamant）解答。 岩土工程研究所
pmax pmin
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Fv 6e = (1 ± ) b b
（2-13）
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三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力 当基础底面受到倾斜的偏心荷载作用时，先将倾斜偏心的合力R分解为 竖向分量Fv和水平分量Fh，其中Fv=Rcosβ， Fh ＝Rsinβ， β为倾斜荷 载与竖向线之间的倾角。 对于竖向分量Fv作用下的基底 反力计算，矩形基底用式（2 －11），条形基底用式（2－ 13） 对于水平分量Fh引起的基底反力可按下式计算 矩形基底 条形基底 岩土工程研究所 ph= Fh／lb
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根据叠加原理，易于推得角点2下的附加应力 σz2=（Ks－Kt1）pt=Kt2pt 附加应力系数Kt1，Kt2均是m=l/b，n=z/b的函 数，已制成表2－3，可供直接查用。
pt 2 x b z
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x
pt*x/b
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（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力 当矩形面积基底受水平荷载ph（基底的水平方向均布切向力）作用时 ，角点1，2下的地基竖向附加应力为
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下有效小主应力 σ’3与有效大主应力σ’1之比。 与土层的应力历史及土的类型有关； 正常固结粘土：K0 ＝1－sinφ’ 对一般地基K0 ＝0.5左右
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2-3 基底压力与基底附加应力
基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面 处施加于地基上的单位面积压力。 地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。 基底附加应力是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力之后 在基底处施加于地基上的单位面积压力。基底净压力
p
d
rd
对于基底压力为梯形分布情况
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2-4 地基中的附加应力计算
计算方法：假定地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而且在深 度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 一、附加应力基本解答 （一）竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本 解 由布辛内斯克解答得σz的表达式