A高中数学必修五教材分析

高中数学必修五教材分析

1 解三角形

解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有了用武之地。从这一角度看，解三角形属于几何中的度量问题，体现了数学的量化思想。它的内容具有丰富的现实背景，在解决实际问题中有着广泛的应用，因此，这些内容的学习，利于学生认识数学与现实世界的联系，培养和发展学生的数学应用意识。

本章内容以正弦定理、余弦定理开篇，强调应用举例和实习作业。这种安排与以往的教材的处理有很大的区别.以往的解三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上，本模块中，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想进一步学习数学奠定基础。

课程标准要求

本章的中心内容是[1]如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

教学目标

《课程标准》要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。因此，在教学中应给学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及其他的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件。

1.2.1 知识与技能

⑴通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

⑵掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

⑶掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

⑷能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的

测量相关术语。

（5）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。

1.2.2 过程与方法

⑴让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

⑵利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

⑶通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

（4）通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

1.2.3 情感、态度、价值观

（1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（2）通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

(3)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。

(4)激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

知识结构与教学安排

1.3.1 知识结构

1.3.2 教学顺序

1.3.2 课时安排

§1.1.1 正弦定理约1课时

§1.1.2 余弦定理约2课时

§应用举例约3课时

§实习作业约1课时

复习小结约2课时

教学重点和难点

1.4.1 教学重点

（1）正弦定理的探索和证明及其基本应用。

（2）余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

（3）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

（4）由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

(5) 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。

(6) 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

1.4.2 教学难点

（1）已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（2）勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（3）正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（4）根据题意建立数学模型，画出示意图。

（5）能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。

（6）灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

教学建议

1.5.1 把握课标、教材的定位，注意加强前后知识联系

●《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，如用向量的方法，则发挥了向量方法在解决问题中的威力。

●加强与前后各章教学内容的之间的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

1.5.2 重视发展应用意识和数学实践能力

●学数学的最终目的是应用，而如今比较突出的两个问题是，学生应用意识不强，创造能力较弱，在应用问题是应重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学问题应用于实际问题。

1.5.3解三角形教学中要注意的问题

●列举实际生活中的例子学习解三角形，不引入陌生问题。

●在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。

●适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。

●在实习作业中，教师要注意对学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

[参考文献]

[1]严士健，张奠宙.王尚志.《普通高中数学课程标准解读》.江苏教育出版社，2004年4月第1版.