2. 标量积 矢量积 三矢量积 正交曲线坐标系

A B Ax Bx
i
j Ay By
k Bz
ex Bx
ey Ay By
ez Az Bz
6
A分矢量的叉乘与点乘！ “×”、“ · ”不能随便乱用。 (6)矢量的非法运算包括
即：矢量不能作除数、取对数； 不能开方、作指数。
柱坐标系下的两个矢量当值不相等时不能直接相 加，要转换到直角坐标系后再相加，为什么？
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位置矢量 线元矢量 面元矢量
体积元
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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3. 球面坐标系
规定：
坐标单位矢量
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如图，三坐标面分别为 球 面；
圆锥面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为
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单位矢量变换
25
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描绘物理状态空间分布的标量函数 和矢量函 数 ，在时间一定的情况下，它们是唯一的， 其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标 系的变换， 和 的大小与方向保持不变。
在正交坐标系：直角坐标 柱面坐标 球面坐标
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z z z0 （平面 ）
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
cos cos cos sin sin
sin sin cos sin cos
sin Ar cos A 0 A
cos Ax sin A y A 0 z
转换矩阵都是正交矩阵：给上式两边同时左乘转换矩阵的转 置矩阵
ex sin cos e sin sin y e cos z
cos cos cos sin sin
sin er cos e 0 e
B cos
A
∴ A B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ( Bx i + By j + Bz k ) = Ax Bx + Ay By + Az Bz
3
矢量运算基础
二. 矢量的矢积（叉积、叉乘） 是一个轴矢量 A B C
大小：平行四边形面积 C A B A B s in
C
B

A
右 手 螺 旋 前 进
方向：
(0

)
右手四指由叉乘号前的矢量方向，沿 小于π的夹角旋转到叉乘号后的矢量 方向沿拇指的指向。积矢量垂直于两 叉乘矢量所确定的平面。
4
矢量运算基础
矢积的性质：
A B B A 不遵守交换律 A (B C) A B A C 但遵守分配律 A A 0
标量积 矢量积 三矢量积 正交曲线坐标系
1
矢量运算基础
一. 矢量的标量积（点积，点乘）
90 , A B 0 0 90 , A B 0 0 90 , A B 0
0
B

B cos
A
特别注意： A A A2 0 若 A B 0 可能 A 0
矢量与标量不能相等。 ！！！
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例：求 的和、点积与叉积.
解 和：
点积： 叉积：
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三. 标量三重积
C A B = A B C sin θ cos = A B sin θ C cos



= 底面积 高
C

A B
它表示由三矢量构成 的平行六面体的体积
转换矩阵都是正交矩阵，正交矩阵定义： AA A A I （*表示共轭转置，实数矩阵只需要转置） 给上式两边同时左乘转换矩阵的转置矩阵， e cos sin 0 ex cos 0 e y sin e e 0 1 ez z 0
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矢量的变换
27
写成矩阵形式
Ax sin cos A sin sin y A cos z
Ar sin cos A cos cos A sin
B 0
A B
2
矢量运算基础
标积的 性质：
A B B A
A ( B +C ) A B +A C
遵守交换律 遵守分配律

B
i i j j k k 1 i j j k k i 0
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位置矢量 线元矢量 面元矢量
体积元
球坐标系中的线元、面元和体积元
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y
ey

直角坐标与 圆柱坐标系
e ez
er
e
cos sin 0 sin cos 0
ex e
ex
sin cos 0
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e

单位圆
o

柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系 30
B

A
C ( A B ) B (C A) A ( B C ) = 体积
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证:
10
四. 矢量三重积
证：
11
有：三重矢量积
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五、 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称 为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。用来求解规则形状的电磁问题。
规定：
坐标单位矢量
简单地说，柱面坐标就是
xoy 面上的极坐标
+
z 坐标
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如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面．

柱面坐标与直角坐标的 关系为
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单位矢量变换
理解： 联系力的分解与合成
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写成矩阵形式 转换矩阵 ex cos sin 0 e cos 0 e y sin e e 0 1 ez z 0
er sin cos e cos cos e sin
写成矩阵形式
sin sin cos sin cos
cos ex sin e y 0 ez
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矢量的变换
若矢量是用柱坐标表示的，将它投影到直角坐标系下x、 y、z轴上，则可得该矢量在直角坐标系下的表达式
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写成矩阵形式
Ax cos Ay sin A 0 z A cos A sin A 0 z sin cos 0 sin cos 0 0 A 0 A A 1 z 0 Ax 0 Ay A 1 z
z
i i j j k k 0 i j k j k i k i j
O x
y
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若有如下两个矢量
B Bx i By j Bz k
则
A Ax i Ay j Az k
ex
o

单位圆
圆柱坐标与 球坐标系
e e
er e
0 0 1
ey
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
x
z
ez

直角坐标与 球坐标系
e
ez sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin 0
x
o
ez
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
x x0 （平面）
直角坐标系
z
dz
dS z ez dxdy
dS y e y dxdz
o
dx d y dS x ex dydz
y
体积元
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元 15
2. 柱面坐标系