正态总体均值方差的检验
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§7.2 单个正态总体参数的假设检验
设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X的样本.
n 1 n 1 2 样本均值 X X i 样本方差S 2 ( X X ) i n i 1 n 1 i 1 1、正态总体均值 =0的假设检验
(1).设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
2
检验法
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 2 0
拒绝域
2 2 0
2
(X )
i 1 i
n
2
2
2 1 2
( n)
2
或 2 2 (n)
2 02 2< 02
2 0
~ ( n)
2
( n)
设 H 0 : 0 4.55 , H 1 : 4.55 x 0 4.49 4.55 1.67 1.96 u0.025 x 4.49 , u 0 / n 0.108 / 9
所以可以接受H0，即现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
例生产的灯泡的平均寿命不能低于1000小时，假定寿命 服从正态分布，标准差不变0=100小时，从产品中随机 抽取了25件. 测得平均寿命 x 950 小时. (取=0.05)问这 批产品是否合格？ 解
2.70 4.105 19.023 故公法线的均方差合格.
H1 : 0 ( X ) 0 H0成立时选取统计量 U ~ N (0,1) n
；
H0 : 0
H1 : 0， 得H0的拒绝域为 u
2
1-
u
0
2
u
2
(2).设 X ~N ( 2)，2 未知，需检验：
由于 未知，用S 替代 , 选取统计量
拒绝H0
例用自动装袋机装葡萄糖，每袋标准重500克，每隔一定 时间需检查机器工作是否正常. 现抽得10袋，测得其重量 为（单位：克）495，510，505，498，503，492， 502 ,512, 497, 506, 假定重量服从正态分布，问机器是否 正常？
解 由于2未知， 所以用t检验法 H1 : 0 提出假设 H 0 : 0 500 ,
2 2 2
t
( X 0 ) S n
H0 : 0 H0成立时
；
H1 : 0
X 0 S n ~t n 1
1-
t
P{ t t / 2 (n 1)} ，
得H0的拒绝域为 t t / 2 (n 1)
t n 1 0
t n 1
380 x 502 S 9
2
t (n 1) t 0.025 (9) 2.2622
2
T
X 0 S/ n
502 500 380 / 3
10
6 38
0.9733
t 2.2622 拒绝域 所以应接受H0，可以认为，机器工作正常.
U 检验法 (2 已知)
例 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布， 2 N (4.55, 0.108 ) ,现在测定了九炉铁水，其含碳
量分别为 4.52 4.43 4.46 4.54 4.50 4.48 4.59 4.50 4.39 如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平 均含碳量仍为4.55? (取=0.05) 解 记铁水含碳量为X,则 X ~ N ( , 0.108 2 )
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0为真时的分布 H0 H1 拒绝域
0 0
0
U
< 0
X 0
U u
U u
n
~ N (0,1)
0
> 0
U u
t 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
0 0 0
0
T
T t
X 0 S n
2
< 0 > 0
~ t (n 1)
T t
T t
2、正态总体方差2 的假设检验 (1) 设 X ~N ( 2)， =0已知，需检验：
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0
2 2
2
或 2 2 (n 1)
2
~ (n 1)
( Baidu Nhomakorabea 未知)
(n 1)
2 2 1
2 02 2> 02
(n 1)
2 2
例某变速直齿齿轮公法线长度的均方差要求为0.020mm. 先从某滚 齿机加工的一批齿轮中任取样品10件，测得公法线长度如下（单位： mm）: 30.005, 29.993, 29.997, 30.001, 30.017, 29.993, 29.976, 30.020 29.988, 30.010,
H 0 : 1000 ,
U X 0
H1 : 1000
0 / n
0 100
X 0 W u 1.645 / n x 0 X 1000 u 2.5 1.645 0 / n 20
2 2 1
2 02 2> 02
( 已知)
( n)
2 2
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 02 2 02
拒绝域
2 12 (n 1)
2
2 02 2< 02
(n 1) S 2 0
2 拒绝域为 2 2 (n)or 2 ( n) 2 2
拒绝域
接受域
(2) 设 X ~N ( 2)， 未知，需检验：
H 0 : , H1 :
2 2 0 2
2 ( n 1) S 选择统计量 2 02
2 0
H 0成立时， 2 ~ 2 (n-1)
2过大或过小是小概率事件
令P a P b
2 2
2 a 2 (n-1), b (n-1) 1 2 2 2 拒绝域为 2 2 (n-1)or 2 (n-1) 1 2 2
2
单个正态总体关于方差 的检验
( x x)
i 1 i
10
2
2 0
~ 2 n-1
2 x 30.000， ( x x ) 0.001642 i i 1
2 0
0.001642 4.105 2 (0.020)
2 0.975
2 (9) 2.700 0.025 (9) 19.023
拒绝域{ 2 2.70} { 2 19.023}
2 ( X ) i 0 i 1 n
选择统计量
2
02 2过大或过小是小概率事件
2 2
H0成立时， 2 ~ 2 (n)
f(x)
令P a P b
a
2 1
2
α/2
α/2 X 拒绝域
2
(n), b (n)
2 2 1
由经验知公法线长度服从正态分布，试问这批齿轮公法线的均方 差是否合格？
解 设为公法线长度X， X ~ N ( , 2 ), 未知.
2 提出假设H 0： 2 0 0.0202 2 H1： 2 0
10
H 0成立时， 2
( x x)
i 1 i
10
2
2
设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为取自该总体X的样本.
n 1 n 1 2 样本均值 X X i 样本方差S 2 ( X X ) i n i 1 n 1 i 1 1、正态总体均值 =0的假设检验
(1).设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
2
检验法
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 2 0
拒绝域
2 2 0
2
(X )
i 1 i
n
2
2
2 1 2
( n)
2
或 2 2 (n)
2 02 2< 02
2 0
~ ( n)
2
( n)
设 H 0 : 0 4.55 , H 1 : 4.55 x 0 4.49 4.55 1.67 1.96 u0.025 x 4.49 , u 0 / n 0.108 / 9
所以可以接受H0，即现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
例生产的灯泡的平均寿命不能低于1000小时，假定寿命 服从正态分布，标准差不变0=100小时，从产品中随机 抽取了25件. 测得平均寿命 x 950 小时. (取=0.05)问这 批产品是否合格？ 解
2.70 4.105 19.023 故公法线的均方差合格.
H1 : 0 ( X ) 0 H0成立时选取统计量 U ~ N (0,1) n
；
H0 : 0
H1 : 0， 得H0的拒绝域为 u
2
1-
u
0
2
u
2
(2).设 X ~N ( 2)，2 未知，需检验：
由于 未知，用S 替代 , 选取统计量
拒绝H0
例用自动装袋机装葡萄糖，每袋标准重500克，每隔一定 时间需检查机器工作是否正常. 现抽得10袋，测得其重量 为（单位：克）495，510，505，498，503，492， 502 ,512, 497, 506, 假定重量服从正态分布，问机器是否 正常？
解 由于2未知， 所以用t检验法 H1 : 0 提出假设 H 0 : 0 500 ,
2 2 2
t
( X 0 ) S n
H0 : 0 H0成立时
；
H1 : 0
X 0 S n ~t n 1
1-
t
P{ t t / 2 (n 1)} ，
得H0的拒绝域为 t t / 2 (n 1)
t n 1 0
t n 1
380 x 502 S 9
2
t (n 1) t 0.025 (9) 2.2622
2
T
X 0 S/ n
502 500 380 / 3
10
6 38
0.9733
t 2.2622 拒绝域 所以应接受H0，可以认为，机器工作正常.
U 检验法 (2 已知)
例 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布， 2 N (4.55, 0.108 ) ,现在测定了九炉铁水，其含碳
量分别为 4.52 4.43 4.46 4.54 4.50 4.48 4.59 4.50 4.39 如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的铁水平 均含碳量仍为4.55? (取=0.05) 解 记铁水含碳量为X,则 X ~ N ( , 0.108 2 )
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0为真时的分布 H0 H1 拒绝域
0 0
0
U
< 0
X 0
U u
U u
n
~ N (0,1)
0
> 0
U u
t 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
0 0 0
0
T
T t
X 0 S n
2
< 0 > 0
~ t (n 1)
T t
T t
2、正态总体方差2 的假设检验 (1) 设 X ~N ( 2)， =0已知，需检验：
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0
2 2
2
或 2 2 (n 1)
2
~ (n 1)
( Baidu Nhomakorabea 未知)
(n 1)
2 2 1
2 02 2> 02
(n 1)
2 2
例某变速直齿齿轮公法线长度的均方差要求为0.020mm. 先从某滚 齿机加工的一批齿轮中任取样品10件，测得公法线长度如下（单位： mm）: 30.005, 29.993, 29.997, 30.001, 30.017, 29.993, 29.976, 30.020 29.988, 30.010,
H 0 : 1000 ,
U X 0
H1 : 1000
0 / n
0 100
X 0 W u 1.645 / n x 0 X 1000 u 2.5 1.645 0 / n 20
2 2 1
2 02 2> 02
( 已知)
( n)
2 2
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2= 02 2 02
拒绝域
2 12 (n 1)
2
2 02 2< 02
(n 1) S 2 0
2 拒绝域为 2 2 (n)or 2 ( n) 2 2
拒绝域
接受域
(2) 设 X ~N ( 2)， 未知，需检验：
H 0 : , H1 :
2 2 0 2
2 ( n 1) S 选择统计量 2 02
2 0
H 0成立时， 2 ~ 2 (n-1)
2过大或过小是小概率事件
令P a P b
2 2
2 a 2 (n-1), b (n-1) 1 2 2 2 拒绝域为 2 2 (n-1)or 2 (n-1) 1 2 2
2
单个正态总体关于方差 的检验
( x x)
i 1 i
10
2
2 0
~ 2 n-1
2 x 30.000， ( x x ) 0.001642 i i 1
2 0
0.001642 4.105 2 (0.020)
2 0.975
2 (9) 2.700 0.025 (9) 19.023
拒绝域{ 2 2.70} { 2 19.023}
2 ( X ) i 0 i 1 n
选择统计量
2
02 2过大或过小是小概率事件
2 2
H0成立时， 2 ~ 2 (n)
f(x)
令P a P b
a
2 1
2
α/2
α/2 X 拒绝域
2
(n), b (n)
2 2 1
由经验知公法线长度服从正态分布，试问这批齿轮公法线的均方 差是否合格？
解 设为公法线长度X， X ~ N ( , 2 ), 未知.
2 提出假设H 0： 2 0 0.0202 2 H1： 2 0
10
H 0成立时， 2
( x x)
i 1 i
10
2
2