大学课程《统计学》之抽样分布与参数估计a

二、抽样推断的有关概念
• （一）总体和样本
• 1、总体（N）
– 所要认识对象的全体。有限总体
和 无限总体
• 2、样本（n）
– 所抽取的一部分单位。
– （1）大样本（n＞30） – （2）小样本（n≤30）
（二）样本容量与样本个数 • 1.样本容量
– 是一个样本中所包含的单位数。
• 2.样本个数
– 即样本可能数目。是指从一个总体中可能抽取
（四）总体参数和样本统计量
• 1、总体参数：用来描述总体特征的指标

X
x
P
P
• 2、样本统计量：描述样本特征的指标 p S p (S 2 p ) x S (S2 x )
– 总体参数是一个常数，而样本统计量是一个随机变量
• 3、参数估计概念
（五）抽样框
• 是有关总体全部单位的名录，是实施 抽样的基础
• 2.正态分布的再生定理、
2 – 若变量服从正态分布（ｕ， ），从中抽出容 量为n的样本，则样本平均数也服从正态分布 2 （ｕ， ）。
• 3、中心极限定理
n
第二节
抽样分布
一、三种分布含义
• 总体分布：
– 总体中各单位取值形成的分布。往往未知
• 样本分布
– 样本各单位取值形成的分布。能反映总体分 布，特别当n较大时，就接近总体分布
• （三）样本方差的抽样分布
– 若总体为正态分布，则随机抽取的样本方差 的比值服从自由度为n-1的卡方分布。
第三节
参数估计
一、估计量的优良标准
• 无偏性
– 估计量的数学Βιβλιοθήκη Baidu望等于被估计的总体参数， 则该估计量为无偏估计量。
• 有效性
– 估计量的方差越小，则估计越有效。
• 一致性
– 随样本容量的增大，估计量的值越来越接近 被估计总体的参数。
E( x )
x
2 N n
n ( N 1
)
• 2.样本平均数的分布规律
– （1）若总体服从正态分布，则无论样本容
量如何，样本均值服从正态分布； – （2）若总体为非正态分布，样本为大样本 （ n≥30），样本均值近似服从正态分布
样本统计量的抽样分布
• （二）样本比例的抽样分布
– 当样本容量足够大时（np ≥5），样本比例 近似服从正态分布，其数学期望为总体比例 P
– ①等额分配：在各类型组中分配同等单位数。 – ②等比例分配：按各类型组在总体中所占比例分配样本单 n1 n 2 nk n 位数。即： N1 N 2 Nk N – ③最优分配：按各类型组的规模大小和差异程度，确定各 类型组的样本单位数。
3、等距抽样（系统抽样、机械抽样）
• 概念：将总体各单位标志值按某一标志顺序排
– 名称抽样框 – 区域抽样框 – 时间表抽样框

理想抽样框应该与目标总体一致，包含
全部总体单位。
二、抽样组织形式
• 随机抽样
• 非随机抽样
– 任意抽样技术 – 简单随机抽样 – 判断抽样技术 – 类型抽样 – 配额抽样技术 – 等距抽样 –固定样本连续 – 整群抽样 调查法 – 阶段抽样
1.简单随机抽样
• 概念：又称纯随机抽样。它是不对总体作
任何加工整理，直接从总体中随机抽取调 查单位的抽样调查方法。简单随机抽样是 最常用的纯随机抽样。
• 方法：
–抽签法 –随机数表法
2、类型抽样（分层抽样、分类抽样）
• （1）概念：将总体全部单位按某个标志分成 若干个类型组，然后从各类型组中采用简单 随机抽样方式或其它方式抽取样本单位。 • （2）样本单位数在各类型组中的分配方式
多少个样本。与抽样方法有关。
（三）抽样方法
• 1、重复抽样
–从总体的N 个单位中要随机抽取一个容量为n的 样本，每次从总体中抽出一个单位后，经过调查 又把它放回到总体中，重新再参加下一次抽选。
• 2、不重复抽样
– 就是每抽出一个单位后，就不再放回总体 中去参加以后的抽取。实际上不重复抽样 就等于一次同时从总体中抽取n个单位。
Z ) 1
2
做不等式的等价变换后得：
1 概率下：x Z
抽样极限误差
2
x Z 2 n n
（二）总体方差未知
样本平均数服从正态分布，但要用样本方差代替 总体方差。此时其标准化后的样本统计量 x S x态分布近似 服从自由度为n-1的t分布(大样本时可以正
第五章
抽样分布与参数估计
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内容：
• 第一节 抽样的基本概念
• 第二节 抽样分布
• 第三节 参数估计
• 第四节 样本容量的确定
第一节
抽样的基本概念
一、抽样推断
• （一）概念
– 从被研究现象的总体中按照随机原 则抽取一部分单位进行调查，并依 据调查结果对全部研究对象的数量 特征作出具有一定可靠程度的估计 ，以达到对全部研究对象认识的一 种统计方法。
• 抽样分布
– 所有可能的样本，其样本统计量的具体数值 表现出的分布。是进行参数估计的基础。
• （一）样本平均数的抽样分布 • 1.样本平均数的期望值与方差
– 重复抽样下：
• 样本平均数的期望值：
• 样本平均数的标准差：
E( x )
x

n
– 不重复抽样下：
• 样本平均数的期望值： • 样本平均数的标准差：
队，然而按一定的间隔抽取样本单位。
• 排队的方法：①按无关标志 ②按有关标志 • 抽取样本单位的方法
– ①按相等的距离取样 ②对称等距取样
• 抽取第一个样本单位的方法
– ①随机抽取 ②居中抽取
4、整群抽样
• 概念：把总体分为若干群，从总体群中抽 取若干样本群，对抽中的群进行全数登记 调查。 如：某水泥厂一昼夜的产量为14400袋， 现每隔144分钟抽取1分钟的水泥（10袋） 检查平均每袋重量和一级品率
5、阶段抽样
• 概念：抽样时，先抽总体中较大范围
的单位，再从中选的较大范围的单位 中抽取较小范围的单位，依此类推， 最后得到样本的基本单位。
• 例：某地区有300户居民，分成10群，现 从10群中抽6群，再从抽中的群中每群抽 2户调查其平均收入
三、大数定理和中心极限定理
• 1.大数定理
– 当n充分大时，样本平均与总体平均之间的误 差可有很大的把握被控制在任意给定的范围内
参数估计
• 二、参数估计的方法
– （一）点估计
Xx
Pp
s
2
2
– （二）区间估计
–
–
1、平均数的区间估计
2、成数的区间估计
三、总体均值的区间估计
• （一）总体方差已知
– 样本平均数服从正态分布。其标准化后的样本统计量
x 服从标准正态分布。则有：
x
P ( Z
2
x
x