传热学第二章稳态导热

第三节 通过圆筒壁的导热 l d 10
1. 第一类边界条件下单层圆筒壁的导热
假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l>>d2， λ=常数，无内热源，内外表面维持均匀
恒定温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
确定（1）圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。
λ
tw1
选取坐标系为圆柱坐标。 tf(r)
t f1 h1 A
tw2 tw3 tw4 ф
0 δ1 δ2 δ3 x
t f2 h2
tf 1 tf 2
1
n
i
1
h1A i1 i A h2A
Φ
t f1
R h1 tw1 R λ1 tw2
R
t
λ2
w3
R λ3 tw4 R h2
t f2
第二节 通过复合平壁的导热
图2-5 复合平壁示例
说明：复合平壁的各种不同材料导热系数相差
通过平壁的总热流量：
Q Ad d x tA tw 1 tw 2
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
ttw1tw1tw2 x
qtw1tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A
λ
tw1
热流密度均相等，与坐标x无关。
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
通过平壁的导热热流密度：
qtw1tw2011 2btw1tw2
图 2-2 导热系数随 温度变化时平壁内 的温度分布
对于一维稳态导热问题，因为热流密度是常数，可 由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到
整理
tw 2
q dx dt
0
tw1
q tw1 tw2
该方法仅适用于一维稳态导热问题。
qtw 33t3w4
1
R,3
tw3tw4
tw1
Φ R λ1 tw2 R λ2 t w3 R λ3 tw4
整理为：
tw1tw2qR,1 tw2tw3qR,2
tw3tw4qR,3
t
通过三层平壁的热流密度：
q tw1tw4
tw1tw4
R,1R,2 R,3
3
R,i
tw1
λ1 λ2λλ3 tw2 tw3
不大时可按一维导热计算，否则应按二维、三维
计算。
t
R
复合平壁的导热：
当B、C、D三部分导 热系数相差不大时， 可以设想把A、E两 层也分别划为与B、 C、D相对应的三部 分，形成三个并列的 多层平壁。
复合平壁的导热的总热阻：
R 1
1 1
1
R A 1R BR E 1 R A 2R CR E 2 R A 3R D R E 3
i1
A
tw4
通过n层平壁的热流密度:
ф
q
t w 1 t w ,n 1
n
0 δ1 δ2 δ3 x
Φ
R ,i
i 1
tw1 R λ1 tw2 R λ2 t w3 R λ3 tw4
tw ,i 1 tw 1 q R ,1 R ,2 R ,i
3. 第三类边界条件下单层平壁的导热
假设：厚度为δ的单层平壁 ，无内热源，导热系数为常 数。在x=0处界面侧流体温度 tf1。对流换热表面传热系数 h1；在x= δ处界面侧流体温度 tf2，对流换热表面传热系数 h2。
确定（1）平壁内的温度分布； （2）通过此平壁的热流密度。
导热微分方程 d 2 t 0
dx 2
边界条件 ddtx|x0h1(tf1t|x0)
d d
t x
| x
h2(t|x
tf2)
稳态导热过程，各处热流密度相同
q tw1 tw2
q | x0 =h1 tf1tw1
q | x =h2 tw2tf2
r1
dr r
r2
tw2 ф r
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d (r dt)0 dr dr
B.C rr1 ttw1 rr2 ttw2
t
λ
tw1
求解微分方程，得通解：
tw2
tc1ln rc2
由边界条件，求 c1，c2：
ф
r1
dr r
r
r2
c1tw l1n r2 t(w )2, c2tw 1(tw 1tw 2)llnn rr2 1 ()
d 2t dx2
0
B.C x0 ttw1
x ttw2
求解微分方程，得通解： tc1xc2
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
由边界条件，求 c1，c2：
c2tw1, c1tw1tw2
平壁内的温度分布：
ttw1tw1tw2 x 温度梯度：
ddxttw1tw2 通过平壁的热流密度：
qd dx t tw 1tw2
r1
r1
圆筒内的温度分布：
ln( r )
t
tw1
(tw1
tw2 )
r1 ln( r2
)
r1
温度梯度：
dt tw1 tw2 1
dr
ln(r2 ) r
r1
圆筒壁沿 r 方向的热流密度：
qtw1tw2
tw1tw2
0
✓ 总热阻： R A K/W
tw1
x dx
Φ
tw2 ф
δx
Rλ
t w2
λ随温度发生变化时， 0(1bt)
导热微分方程为： d ( dt ) 0
dx dx
平壁内的温度分布：
t 2 1 b t2 tw 1 2 1 b tw 2 1 tw 1 tw 2 x 1 2 1 b tw 1 tw 2 t b 1 2 tw 1 b 1 2 b 2tw 1 tw 2 tw 1 tw 2x
q
tf1 tf 2
1 1
h1 h 2
qktf1tf2
4. 第三类边界条件下多层平壁的导热
• 求解：按热阻串联相加原则。 思考：如何求解两侧壁面
热流密度：
温度及夹层中间温度？
t
q t Rt
1
ห้องสมุดไป่ตู้
tf1 tf 2
n
i
1
h1 i1 i h2
面积为A时多层平壁第三 类边界条件下热流密度：
λ1 λ2λλ3 tw1
2. 第一类边界条件下多层平壁的导热
• 多层壁：由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。
• 求解：按照热阻串联相加原则。 t
通过三层平壁的热流密度：
qtw11t1w2
1
R,1
tw1tw2
qtw 22t2w3
1 R,2
tw2 tw3
tw1
λ1 λ2λλ3
tw2 tw3
A
tw4
ф
0 δ1 δ2 δ3 x
第 二 章 稳态导热
第一节 通过平壁的导热
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
h10
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
A
λ
tw1
确定（1）平壁内的温度分布；
（2）通过此平壁的热流密度。
tw2
ф
0 x dx δ x
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）