隐函数存在定理及其应用

隐函数存在定理及其应用

§1. 隐函数存在定理

1． 设函数(,)F x y 满足

(1) 在区域00:D x a x x a -≤≤+，00y b y y b -≤≤+上连续；

(2) 00(,)0F x y =；

(3) 当x 固定时，函数(,)F x y 是y 的严格单调函数；

则可得到什么结论？试证明之.

2． 方程2sin()0x y xy ++=在原点附近能否用形如()y f x =的方程表示？又能否用形如()x g y =的方程表示？

3． 方程222(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有连续导数的函数()y f x =.

4． 证明有唯一可导的函数()y y x =满足方程sin sinh y x +=，并求出导数'()y x ，其中sinh 2

y y

e e y --=. 5． 方程ln 1xz

xy z y e ++=在点0(0,1,1)P 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两个变量的函数.

6． 设f 是一元函数，试问f 应满足什么条件，方程

2()()()f xy f x f y =+

在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y 为x 的函数.

7． 设有方程：()x y y ϕ=+，其中(0)0ϕ=，且当a y a -<<时，'()1y k ϕ≤<.证明：存在0δ>，当x δδ-<<时，存在唯一的可微函数()y y x =满足方程()x y y ϕ=+且(0)0y =.

8． 试讨论方程组

2221 ,22

x y z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩ 在点0(1,1,2)P -的附近能否确定形如()x f z =，()y g z =的隐函数组.

9. 求下列函数组的反函数组的偏导数：

(1) 设cos

,sin y y u x v x x x ==，求,,,x x y y u v u v

∂∂∂∂∂∂∂∂； (2) 设sin ,cos x x u e x y v e x y =+=-，求,,,x x y y u v u v

∂∂∂∂∂∂∂∂. 10. 设2x u r =，2y v r =，2z w r

=

，其中r = (1) 试求以,,u v w 为自变量的反函数组； (2) 计算(,,)(,,)

u v w x y z ∂∂. 11. 设,i i f ϕ连续可微，且1(,

i F x 1122)((),(),n i x f x x ϕϕ=())n n x ϕ (1,2,i =…n ).求 1212(,,

)(,,)

n n F F F x x x ∂∂. 12. 据理说明：在点(0,1)附近是否存在连续可微函数(,)f x y 和g(,)x y 满足

(0,1)1,(0,1)f g ==-，且

[][]3

3(,)(,)0,(,)(,)0.

f x y x

g x y y g x y yf x y x +-=+-= 13. 设 (,,,),(,,)0,(,)0.u f x y z t g y z t

h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩

在什么条件下u 是,x y 的函数？求,u u x y

∂∂∂∂. 14. 设函数()u u x =由方程组

(,,),(,,)0,(,,)0u f x y z g x y z h x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩

所确定，求22

,du d u dx dx . 15. 设(,)z z x y =满足方程组

(,,,)0,(,,,)0.f x y z t g x y z t =⎧⎨=⎩

求dz .

§2. 函数行列式的性质、函数相关

1. 设

(,,),(,,)0.u f x ut y ut z ut g x y z =---⎧⎨=⎩

求,u u x y

∂∂∂∂.这时t 是自变量还是因变量？ 2. 设0000(,,,)x y z u 满足方程组

()()()(),(,)()()(),(,)()()().f x f y f z F u g x g y g z G u h x h y h z H u ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1) 说出一个能在该点的邻域内确定,,x y z 作为u 的函数的充分条件；

(2) 在23(),(),()f x x g x x h x x ===的情形下，上述条件相当于什么？

3. 设,,11u u x u y z uv uw

==

=++，取,u v 为新的自变量，w 为新的因变量，变换方程 222z z x y z x y

∂∂+=∂∂.