离散数学-第六章集合代数课后练习习题及答案

第六章作业

评分要求：

1. 合计57分

2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).

3. 总得分在采分点1处正确设置.

一有限集合计数问题

(合计20分: 每小题10分, 正确定义集合得4分, 方法与过程4分, 结果2分)

要求: 掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法

1 对60个人的调查表明, 有25人阅读《每周新闻》杂志, 26人阅读《时代》杂志, 26人阅读《财富》杂志, 9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志, 11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志, 8人阅读《时代》和《财富》杂志, 还有8人什么杂志也不读.

(1) 求阅读全部3种杂志的人数;

(2) 分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数.

解定义集合: 设E={x|x是调查对象},

A={x|x阅读《每周新闻》}, B={x|x阅读《时代》}, C={x|x阅读《财富》}

由条件得|E|=60, |A|=25, |B|=26, |C|=26, |A∩C|=9, |A∩B|=11, |B∩C|=8, |E-A∪B∪C|=8 (1) 阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C|

=|A∪B∪C|－(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)

=(60-8)－(25+26+26)+(11+9+8)=3

(2) 只阅读《每周新闻》的人数=|A－B∪C|=|A－A∩(B∪C)|=|A－(A∩B)∪(A∩C)|

=|A|－(|A∩B|+|A∩C|－|A∩B∩C|)=25－(11+9-3)=8

同理可得只阅读《时代》的人数为10, 只阅读《财富》的人数为12.

2 使用容斥原理求不超过120的素数个数.

分析:本题有一定难度, 难在如何定义集合. 考虑到素数只有1和其自身两个素因子, 而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数), 也就是说, 不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数. 因此, 可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数, 先求出不超过120的所有的合数, 再得出素数的个数.

解定义集合: 设全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120}

A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120},

B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120},

C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120},

D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}.

则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|－4 (因为2,3,5,7不是合数)

=(|A|+|B|+|C|+|D|)－(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+

(|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)－|A∩B∩C∩D|－4

=(60+40+24+17)－(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)－0－4 (理由见说明部分)

=89

因此不超过120的素数个数=120－1－89=30 (因为1不是素数)

说明: |A|=int(120/2); |A⋂B|=int(120/lcd(2,3));

|A⋂B⋂C|=int(120/lcd(2,3,5)); |A⋂B⋂C⋂D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).

二集合关系证明

1 设A,B,C是任意集合, 证明

(1) (A－B)－C=A－(B∪C)

(2) A∩C⊆B∩C ∧A－C⊆B－C ⇒A⊆B

(合计12分: 每小题6分; 格式3分, 过程每错一步扣1分)

证明

(1) 逻辑演算法: ∀x,

x∈(A－B)－C

⇔x∈(A－B)∧¬x∈C (－定义)

⇔(x∈A∧¬x∈B)∧¬x∈C (－定义)

⇔x∈A∧(¬x∈B∧¬x∈C) (∧的结合律)

⇔x∈A∧¬(x∈B∨x∈C) (德摩根律)

⇔x∈A∧¬x∈B∪C (∪定义)

⇔x∈A－B∪C (－定义)

所以(A－B)－C=A－(B∪C).

集合演算法

(A－B)－C

=(A∩~B)∩~C (补交转换律)

=A∩(~B∩~C) (∩的结合律)

=A∩~(B∪C) (德摩根律)

=A－(B∪C) (补交转换律)

得证.

(2) 逻辑演算法: ∀x,

x∈A

⇔x∈A∩(C∪~C) (排中律, 同一律)

⇔x∈(A∩C)∪(A∩~C) (∪对∩的分配率)

⇔x∈A∩C∨x∈A－C (∪的定义, 补交转换律)

⇒x∈B∩C∨x∈B－C (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C) ⇔x∈(B∩C)∪(B－C) (∪的定义)

⇔x∈(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)

⇔x∈B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)

⇔x∈B (排中律, 同一律)

所以A⊆B.

集合演算法

A=A∩(C∪~C) (同一律, 排中律)

=(A∩C)∪(A∩~C) (∩对∪的分配率)

=(A∩C)∪(A－C) (补交转换律)

⊆(B∩C)∪(B－C) (已知条件A∩C⊆B∩C与A－C⊆B－C)

=(B∩C)∪(B∩~C) (补交转换律)

=B∩(C∪~C) (∩对∪的分配率)

=B (排中律, 同一律)

得证.

方法三

因为A∩C⊆B∩C, A－C⊆B－C, 所以

(A∩C)∪(A－C)⊆(B∩C)∪(B－C)|, 整理即得A⊆B, 得证.

2 求下列等式成立的充分必要条件

(1) A－B=B－A

(2) (A－B)∩(A－C)=∅

(合计10分: 每小题5分; 正确给出充分必要条件2分, 理由3分)

解

(1) A－B=B－A

方法一

两边同时∪A得: A=(B－A)∪A=B∪A ⇒B⊆A; 同理可得A⊆B, 综合可得A=B.

另一方面, 当A=B时显然有A－B=B－A. 因此所求充要条件为A=B.

方法二

∀x,

x∈A－B∧x∈B－A

⇔x∈(A－B)∩(B－A)

⇔x∈∅

所以A－B=B－A

⇔A－B=∅∧B－A=∅

⇔A⊆B ∧B⊆A

⇔A=B

因此A=B即为所求.

(2) (A－B)∩(A－C)=∅

⇔(A∩~B)∩(A∩~C)=∅

⇔A∩(~B∩~C)=∅

⇔A∩~(B∪C)=∅

⇔A－(B∪C)=∅

⇔A⊆B∪C

所以A⊆B∪C即为所求充要条件.

说明: 这类题型一般先求出必要条件, 再验证其充分性.

三设全集为n元集, 按照某种给定顺序排列为E={x1,x2,…,x n}. 在计算机中可以用长为n的0,1串表示E的子集. 令m元子集A={x i1,x i2,…,x im}, 则A所对应的0,1串为j1j2…j n, 其中当k=i1,i2,…,i m时j k=1, 其它情况下j k=0.

例如, E={1,2,…,8}, 则A={1,2,5,6}和B={3,7}对应的0,1串分别为11001100和00100010.

(1)设A对应的0,1串为10110010, 则~A对应的0,1串是什么?

(2) 设A与B对应的0,1串分别为i1i2…i n和j1j2…j n, 且A∪B, A∩B, A－B, A⊕B对应的0,1串分别为a1a2…a n, b1b2…b n, c1c2…c n, d1d2…d n, 求a k,b k,c k,d k, k=1,2,…,n.

(合计15分: (1)3分; (2)12分, 每个结果正确2分, 求解过程4分)

解下述运算是二进制数的位运算

(1) 01001101

(2) a k=i k∨j k, b k=i k∧j k, c k=i k∧¬j k, d k=(i k∧¬j k)∨(¬i k∧j k).

说明: 这里c k和d k的求解可以使用主范式求解.

c k,

d k的真值表如下