二项式定理 课件

问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这
一天是星期几呢?
（星期一）
(2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
(3)如果是 8100 天后的这一天呢？
回 顾 ： 展开下面式子 （a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
尝试二项式定理的发现:
（a +b)3 = (a +b)(a +b)(a +b)
= C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33b3
a3 a2b ab2 b3
C30
C13
C32
C
3 3
尝试二项式定理的发现:
+C53(-2x)3 + C54(-2x)4 + C55(-2x)5 = 1- 10x + 40x2 - 80x3 + 80x4 - 32x5
（1+ 2x)5 = 1+10x + 40x2 + 80x3 + 80x4 + 32x5
(a +b)n Cn0an +Cn1an-1b Cnran-rbr Cnnbn
（a +b)4 = (a +b)(a +b)(a +b（) a +b)
= C40a4 + C41a3b + C42a2b2 + C43ab3 + C44b4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C14
C24
C
4 4
尝试二项式定理的发现:
将(a+b)n展开的结果是怎样呢？
每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0 恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1 恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2 ...... 恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk ...... 恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn
a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)4 ？
(a b)n ？
尝试二项式定理的发现:
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数. 考虑b: 每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(n N )
二项式定理
(a +b)n Cn0an Cn1an-1b Cnran-rbr Cnnbn
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式 ，
其中 Crn（r=0,1,2,…,n）叫做 二项式系数，
Cnr anrbr 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1
例2. 用二项式定理展开下列各式：
(1) (1 1 )4 x
(2) (2 x 1 )6 x
解:（1）(1
1)4 x
1
4(1 ) x
6( 1 )2 x
4( 1 )3 x
(1)4 x
46 4 1 1 x x2 x3 x4 .
(2)
(2
x
1 x
)6
(2x
1)6 x
1 x3
(2x
1)6
64x3 192x2 240x 160
解:
Tr 1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
C9r
(
1 3
)9r
3r
9r
x
1 2
r
由9-r-
1 2
r
0得r
6.
T7
C96
(
1)96 3
36
2268
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2
C C r anrbr n
n bn
n
(n N )
T C (a b)n的展开式通项
（1+ 2x)5 = C50(2x)0 + C51(2x)1 + C52(2x)2
+C53(2x)3 + C54(2x)4 + C55(2x)5 = 1+10x + 40x2 + 80x3 + 80x4 + 32x5
尝试二项式定理的应用：
思 考 ： 若展开（1- 2x)5呢？
（1 - 2x)5 = C50(-2x)0 + C51(-2x)1 + C52(-2x)2
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理的应用：
例3.求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
(x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
课堂练习 1.求（2x 3y）6的展开式的第三项
T3 T21 C62 2x62 3y2 2160x4 y2
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 _n_+__1_个项.
二项式定理
(a +b)n Cn0an Cn1an-1b Cnran-rbr Cnnbn
(n N )
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
2.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n= Cn0an-Cna1 n-1b+ … +(-1)rCnarn-rbr + … +(-1)nCnnbn
2、令a=1，b=x
(1 x)n 1 Cn1x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn
尝试二项式定理的应用： 例 1 ： 展开（1+ 2x)5
归纳提高 发现规律：
对于（a +b)n = (a +b)(a +b) (a +b)
n
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个
括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C.那nr 么，我
们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理，总结特征
（a + b)n = Cn0an Cn1an-1b Cnran-rbr Cnnbn
r anrbr的特点：
r 1
n
①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
1）注意二项式定理 中二项展开式的特征 2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
求（3y 2x）6的展开式的第三项
T3 T21 C62 3y62 2x2 4860 y4 x2
2.求
x3
2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
的展开式的第4项的二项式系数，并求第
4项的系数.
解：展开式的第4项的二项式系数 C73 35
新疆 王新敞
奎屯
第4项的系数 C73 23 280
3. 求 x 3 9的展开式常数项 3 x