谭继锦 元法课件之四 单元等效节点载荷

平面问题的有限元法
划分单元时，应注意以下几点：
（1）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状，施加的荷载类型和要求的计算精度。

施加的荷载类型和要求的计算精度
（2）单元的大小（即网格的疏密），从有限元理论
上讲，单元划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。

一般大型通用程序每百万节点自由度大约要用1G的工作空间和10G的磁盘空间。

（3）单元有疏有密，对结构的不同部位可采取不同
大小的单元。

对边界曲折部位，应力或位移变化剧烈的重
要部位网格划分的密些如槽孔洞等应力集中
要部位，网格划分的可密些（如凹槽、孔洞等应力集中处）。

1
（）不同厚度或不同材料处应取为单元的边界线而4）不同厚度或不同材料处，应取为单元的边界线，而且在该处附近的单元还应尽量划分的小一些，以尽可能反映出边界两侧的应力突变情况。

（5）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和应力集中作用处，应布置节点以利加载，其附近单元划分的小些，作用处应布置节点以利加载其附单元划分的小以反映此处的应力变化。

u x ααα=++123456y v x y
ααα=++Questions:
1. 有限元求解方法？
2. 为什么定义位移模式？
3. αi 等系数如何求取？
2
由节点位移表达单元内任点位移的插值公式即由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即位移模式的另一种形式：
m m i i j j u N u N u N u N =++( i, j, m )
i i j j m m
v N v v N v =++i u ⎡⎤ 0 0 0i v N N N u ⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
{}0 0 0 i j m j i j m j u f v N N N v ⎡⎤⎧⎫⎢⎥
==⎢⎥⎨⎬⎢⎥
⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎢⎥m m u v ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3
计算结果收敛的必要条件★
计算结果收敛的必要条件：★1）位移函数必须包括常量应变（即线性项）；
）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；
单元应变和应力：
e
e
=={}[][]{}
[]{}
S B D δδσ单元平衡条件：
T {}
{}
{}{}
=
tdxdy F T
e
eT
σεδ**式中4
式中：
t -单元厚度
{}[][][]{}
e T e
F B D B tdxdy δ=⎰⎰单度矩阵
T
e
单元刚度矩阵：tdxdy
B D B k ]][[][][⎰⎰
=
5
第五节单元等效节点载荷
第节单等效节点载荷
等效节点载荷处理：将非节点载荷按一定原则移置到
节点上，也就是等效节点载荷处理。

移置必须满足静
力等效原则。

力等效原则
所谓静力等效原则是指原载荷与移置后的等效节点
载荷在弹性体产生任何虚位移过程中，所做的虚功
相等。

在一定的位移函数下，这种移置的结果是唯
一的。

6
而且总能符合通常对刚体而言的静力等效原则，即移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一任轴上的投影之和彼此相等，对任轴的力矩之和也彼此相等。

T
R R R =单元e 上任一点n （x,y ）作用一集中力R ，R 在坐标轴x,y 方向
的分量分别为R ,R , 即。

集中力R 向单元的三{}{}x y x y ,个节点移置而得到单元等效节点载荷，其单元节点载荷列阵可表示为：
{}e
P {{}
i
e
e
T P ⎧⎫
⎪⎪⎤}
{}{} e e e e e e
j x i y i x j y j x m y m m P P P P P P P P P ⎪⎪⎡==⎨⎬⎣⎦
⎪⎪⎪⎪7
⎩⎭
{}*
*
**e
T ⎤设该单元发生一个任意的虚位移，n 点相应的虚位移为：
[]{}
f u v N δ⎡==⋅⎣
⎦
该单元各节点处的虚位移为：
{*
******e
T
⎡=}
i i j j m m
u v u v u v δ⎤⎣⎦
根据虚功原理有：
{}(){}{}{}
*
*T e T
e
P f R δ⋅=⋅{}(){}[]{}(){}*
*
T T e e e
P N R δδ⋅=⋅⋅8
{}(){}{}()[]{}
*
*
T T e e T
e
P N R δδ⋅=⋅⋅
}*e
因是任意的故
{δ是任意的，故{[] 3-27 T
e
P N R =⋅}
{}()
e x i i
x e P N R ⎧
⎫⎡⎤
⎪⎪{}e
y i i y i e P N R P P N R ⎢⎥⎪⎪⎢⎥
⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪{}x j j x j e j y y j P N R P P N ⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪⎪⎪
{}m e m x x m e m
y R P N R P
⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥⎪⎪y m
⎣⎦⎩
⎭
{}() 3-28 T
e
i x i y j x j y m x m y P N R N R N R N R N R N R ⎡⎤∴=⎣⎦
9
单元内作用一集中力向节点移置的公式。

设单元内单位体积的体力为p ，则微体积受力为利用式（3-27 ）得：
{},p tdxdy {}
[]{} ( 3-29 )
T
e
v P N p t dxdy =⋅⋅⋅⎰⎰tds 设单元某一边界s 上受有分布的面力q ,可将微面积上的面力看作集中载荷，面力向节点移置的公式为：
{},q tds {}
[]{} ( 3-30 )
T
e
s P N q tds =⋅⋅⎰公式（3-27 ），（3-29），（3-30）被称为载荷移置的一
般公式以体力为例单位体积内的体力e
般公式。

以体力为例，单位体积内的体力可认为在单元内均布，即：
{}p 10
⎰⎰
11
()3c i j m y y y y dxdy ==++⎰⎰
12
()
()()
63
13
14
x y w w ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
亦即，单元上的总体积力平均分配到三个节点上即得等效节亦即单元上的总体积力平均分配到三个节点上即得等效节
15
第六节整体平衡方程与总刚度矩阵有限单元组合形成连续体结构时，必须满足整个结构的有限单元组合形成连续体结构时必须满足整个结构的
变形连续条件和平衡条件。

变形连续条件：所有节点处、单元公共边界、单元内部变形连续条件所有节点处单元公共边界单元内部变形连续。

平衡条件：离散后的单元组合体各个节点要静力平衡。

整体分析就是将各个单元平衡方程集合在一起，得到结
构整体平衡方程。

16
式中整个结构点位阵
[]{}{}
K R δ=是整个结构上节点位移分量列阵。

设节点个数为n ，每个节点有2个位移分量，则结构总的
个是阶向量按照从{}δ位移分量为2n 个。

是二阶向量，按照从小到大节点编号列阵为：
{}[ ]T
i i i u v δ=123{}[ ] (3-35)
T
T T T T n
δδδδδ= 式中{R}是整个结构的节点力分量列阵，每个
个节点力分量]
T
节点有2个节点力分量， {}[ i x i y i R R R =(3-36)T
T
T T T
= 17
1
23
{}[ ] (336)
n R R R R R
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总刚度矩阵具有以下一些性质：
（1）总刚度矩阵是对称矩阵
（2）总刚度矩阵呈稀疏带状分布
（3）总刚度矩阵是奇异矩阵
有限元方法的核心：
有限元方法的核
它不是求解整个域上的连续解析解，而是去寻找每个子域上近似满足基本方程的分片插值函数解。

它将物体人为地划分为一个个单元，在单元分析基础上，再集合单元，对整体结构进行综合分析。

元对体结构行综合分析
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第七节边界条件处理
总刚度矩阵奇异
消除刚
体位移引入位移约束条件为求解整体平衡方程
体位移，引入位移约束条件。

从力学角度看，进行边界约束条件处理，消除结构由于外力作用而产生的刚体位移使半正定刚度阵→正定刚度阵，解具有唯一性。

20
由于[K]矩阵中与零位移对应的行和列上的元
素在求解其余位移时不起作用，因而将它们
素在求解其余位移时不起作用因而将它们
划去，这使得修正后的总刚度矩阵降低了阶
数行列式不等于零从而可以解出其余节数，行列式不等于零，从而可以解出其余节
点位移，这就是划行划列法。

21
第八节解题步骤与算例
求解节点位移的结构整体平衡方程归结为求解求解节点位移的结构整体平衡方程，归结为求解一个大型联立的方程组。

有限元法的一般步骤为：
（1）给出结构简图，在此基础上将结构离散化。

节点编号→单元编号→确定节点坐标值→确定载荷和边界约束条件→非节点载荷等效移置。

（2）进行单元分析。

根据各种类型单元刚度矩阵，逐个计算每个单元刚度矩阵。

在一定的位移函数情况下，单元刚度矩阵[K ]e 仅取决
于单元的形状大小方位和弹性常数而不随坐
22于单元的形状、大小、方位和弹性常数，而不随坐标轴的平移而改变。

3）组集总刚度矩阵，组集结构节点载荷列阵，引（）组集总刚度矩阵组集结构节点载荷列阵引入约束条件，解线性方程组，即可求得包括已知节点位移分量在内的全部节点位移分量。

点位移分量在内的全部节点位移分量
直接解→位移
导出解→应变、应力、反力
（4）最终求出单元应力和节点应力。

整理计算结果并绘制出结构变形图及各种应力分量的等值曲线图，对结构进行承载能力评估。

23
24
第九节计算结果分析
对计算结果进行整理，用表格或曲线表示出求
得的节点位移和单元应力值，并对结构强度、
刚度等做出评价。

单元应力
{应力
节点应力
节点应力需要将围绕该节点的单元应力作进一
步的处理才能得到。

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1）形心法：把求出的每一个三角形单元的常量应
（）形心法把求出的每个三角形单元的常量应
力看作该三角形单元形心处的应力。

（2）绕节点平均法：把环绕某一节点的各单元常应
力加以平均，用来作为该节点处的应力。

这样得来的
平均应力能较好的接近该节点处的实际应力，环绕该
节点的各单元的面积不能相差太大。

（3）二单元平均应力法：即将两相邻单元的常量应
力加以平均用来作为该相邻单元公共边界线中点处
力加以平均，用来作为该相邻单元公共边界线中点处
的应力。

计算表明绕节点平均法和二单元平均法推算出的应
计算表明绕节点平均法和单元平均法推算出的应
力在结构内部的节点或中点处都能较好的接近于实
际应力。

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思考题（△▲）
1. 有限元法计算结果收敛的必要条件？
2.2. 总刚度矩阵的性质？
3. 有限元法分析的一般步骤？
4. 节点应力的求取方法主要有哪几种？
5. 集中载荷、体积力、单元某边界s上受到5集中载荷体积力单元某一边界
的分布面力q向节点移置的积分公式。

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作业题
1下图所示是一平面梁载荷沿梁的上边均1. 下图所示是平面梁，载荷沿梁的上边均匀分布，其单位长度上的均布载荷梁的厚度在不计100/P N cm =假定，梁的厚度，在不计自重情况下，试求位移和应力？
0=μcm t 1.0=28
作业题
2. 课本39页正方形薄板平面应力问题，根据2页正方形薄板平面应力问题根据现有结果对以下问题分析：
（1）求出节点1、2、4、5、6的支反力；
的支反力
（2）画出单元受力平衡图；
（3）画出节点1和3的受力平衡图，标明力的来源。

29
30。