10-2二重积分的计算法(1)--直角坐标系下X型Y型

c
d
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx［ . Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
练习题
后对y的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
y x o a
y 2 ( x) y 1 ( x)
D
D
D
a
y 1 ( x)
x o a b
y 1 ( x)
b
x b
z y
o
z a
z f ( x, y)
y 2 ( x) y 1 ( x)
f ( x , y )d
D
a A( x )dx
2 ( x )
D3
D1
D2

D
.
D1 D2 D3
课堂练习：
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y )d dx
D a
b
2 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy. ［X－型］

D
f ( x , y )d dy
1( x)
b
x x+dx b
x
z=f (x, y)
A( x)

D
f ( x , y )dy
A( x)
1 ( x)
y
f ( x , y )d
a [
b
b
2(x)
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy]dx
a dx
2 ( x )
1( x)
f ( x , y )dy
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标计算二重积分 二、小结 练习题
二重积分的计算 基本思路：化为定积分
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，
D
以曲面 z f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
y
A( x )
a
f ( x , y )d V a A( x )dx
D
b
x
b
x
1. 直角坐标系下的计算法
(1) X－型积分区域D: 特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
1(x)≤y≤2(x) , a ≤x≤b
y o
y 2 ( x)
y
y 2 ( x)
f ( x , y )d a dx ( x ) f ( x , y )dy D
1
b
2 ( x )
D是X型区域，二重积分化为先对y，
后对x的二次积分。 关键：确定各积分变量的积分限。 后积分的先定限,先积分的后定限,限内作条线, 先交的为下限,后交的为上限。
(2) Y－型积分区域D： 1(y)≤x≤2(y) , c ≤y≤d
y d y d y d
x=1( y)
x=2( y)
D
x=1( y)
x=2( y)
x=1( y)
D
D
c o
x
c o
x
c o
x=2( y) x
f ( x , yห้องสมุดไป่ตู้)d c dy
d
D
2 ( y)
1(
y)
f ( x , y )dx
D是Y 型区域，二重积分化为先对x，