两个角动量的耦合

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = J x [ J x , J z ] + [ J x , J z ]J x + J y [ J y , J z ] + [ J y , J z ]J y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = −iℏJ J − iℏJ J + iℏJ J + iℏJ J = 0
∑ (2 j + 1) = (2 j
jmax
1
+ 1)(2 j 2 + 1)
上式左边是公差为2的等差数列之和， 上式左边是公差为2的等差数列之和，其项数为 1 [ (2 jmax + 1) − (2 jmin + 1)] + 1 = jmax − jmin + 1 2 1 于是 首项+末项） ∑(2 j +1) = 2（首项+末项） 项数 j
ˆ ˆ ˆ J = J1 + J 2
则
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J × J = ( J1 + J 2 ) × ( J 1 + J 2 ) = J 1 × J 1 + J 1 × J 2 + J 2 × J 1 + J 2 × J 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ↓ ∵ J × J = −J × J
1z 2z
z
ˆ 满足角动量的一般定义。 即 J 满足角动量的一般定义。 ˆ ˆ 注意： 不是角动量。 注意： J 1 − J 2 不是角动量。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( J1 − J 2 ) × ( J1 − J 2 ) = J1 × J1 − J1 × J 2 − J 2 × J1 + J 2 × J 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = J1 × J1 + J 2 × J 2 = iℏJ1 + iℏJ 2 = iℏ( J1 + J 2 ) ≠ iℏ( J1 − J 2 )
因为 m = m1 + m2
最大值 m1max = j1 最大值 m2max = j2 最大值 mmax = jmax = j 于是
所以 mmax = m1 max + m2 max
j max = j1 + j 2
（2） j min = j1 − j 2 j 给定 j1 、 2 ，则 m1 取值 2 j1 + 1 个，m2 取值2 j2 + 1个，所以无耦合 个数（即无耦合表象空间的维数） 表象基矢 j1m1 j2 m2 个数（即无耦合表象空间的维数）为
} 为基
ˆ J12 j1 ( j1 + 1)ℏ 2 ˆ J1 z m1ℏ j1m1 j2 m2 = j1m1 j2 m2 ˆ2 j2 ( j2 + 1)ℏ 2 J2 m2 ℏ ˆ J2z
三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换 耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来， 耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
m2
j1 , m − m2 , j2 , m2 j1 j2 jm
2．量子数 j 和 j1 、j 2的关系 （1） j max = j1 + j 2 j 给定 j1 、2 ，则
m1 取值： − j1 , − j1 + 1,⋯ , j1 取值： m2 取值： − j2 , − j2 + 1,⋯ , j2 取值： m 取值：− j ,− j + 1, ⋯ , j 取值：
m 另一方面， 个取值， 另一方面，对应于一个 j 值， 有 2 j + 1个取值，所以耦合表象 j 基矢 j1 j2 jm 个数为
j = jmin
(2 j1 + 1)(2 j 2 + 1)
∑ (2 j + 1)
max
由于幺正变换不改变空间的维数，所以 由于幺正变换不改变空间的维数，
j = jmin
j1 j2 jm =
=
m1 =− j1 m2 =− j2
∑ ∑
j1 j2
j1
j2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j1m1 j2 m2
j1m1 j2 m2 j1 j2 jm
m1 =− j1 m2 =− j2
∑ ∑
j1m1 j2 m2 j1 j2 jm j1m1 j2 m2
称为矢量耦合系数或克来布希展开系数 j1m1 j2 m2 j1 j2 jm 称为矢量耦合系数或克来布希 - 高登系数 Clebsch—Gorden 系数，简称C 系数。 Gorden） （Clebsch Gorden）系数，简称C-G系数。 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ J z , J 1z ] = [ J 1z , J 1z ] + [ J 2 z , J 1z ] = 0 因为 ˆ J 有共同本征矢， 所以 J z、ˆ1 z有共同本征矢，因此
2 2 2
2z
象；
ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ 无耦合表象： 无耦合表象：以 ( J1 , J1z , J 2 , J 2 z ) 的共同本征矢 { j1m1 j2 m2 矢的表象。 矢的表象。
ˆ J2 j ( j + 1)ℏ 2 ˆ Jz mℏ j1 j2 jm = j1 j2 jm ˆ j1 ( j1 + 1)ℏ 2 J12 j2 ( j2 + 1)ℏ 2 ˆ2 J2
x y y x y x x y
ˆ ˆ ˆ ˆ2 [ J 2 , J12 ] = [ J 2 , J 2 ] = 0 （2） ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ [ J 2 , J12 ] = [ J12 , J12 ] + [ J 2 , J12 ] + 2[ J1 ⋅ J 2 , J12 ] = 0
ˆ ˆ ˆ J z j1m1 j2 m2 = ( J1z + J 2 z ) j1m1 j2 m2 = (m1 + m2 ) ℏ j1m1 j2 m2
ˆ 即 J z 的本征值为 (m1 + m2 )ℏ ，所以 m = m1 + m2
则
j1 j2 jm = ∑ j1 , m − m2 , j2 , m2
2 2
ˆ ˆ2 [J z , J2 ] = ⋯ = 0
ˆ2 ˆ2 （4） [ J 1 , J 2 ] = 0 ( 综上， ˆ ˆ ˆ ˆ 2 是彼此对易的， 综上 ， J 2 , J z , J12 , J 2 ) 是彼此对易的，它们了组成第一套力学量 完全集， 组成了正交归一完备基矢组。 完全集，其共同本征矢 { j1 j2 jm } 组成了正交归一完备基矢组。 ˆ ˆ J2 J J J 2．ˆ1、 、 2、ˆ 彼此对易
一、两个角动量的相加（耦合） 两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。 考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动 ˆ ˆ 量分别为 J1 和 J 2 ，它们满足 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J × J = iℏJ J × J = iℏJ
1 1 1
2 2 2
ˆ ˆ [ J12 , J1α ] = 0
ˆ ˆ2 [J 2 , J2 ] = ⋯ = 0
ˆ ˆ ˆ ˆ （3） [ J z , J 1 ] = [ J z , J 2 ] = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ J z , J12 ] = [ J1z + J 2 z , J12 ] = [ J1z , J12 ] + [ J 2 z , J12 ] = 0
1z
矢{
ˆ ˆ ˆ ˆ 组成了第二套力学量完全集， ( J12 , J1z , J , J 2 z ) 组成了第二套力学量完全集，它们的共同本征 j1m1 j2 m2 = j1m1 j2 m2 } 组成了正交归一完备基矢组。 组成了正交归一完备基矢组。
3．耦合表象和无耦合表象 ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ2 耦合表象： 耦合表象：以 ( J , J z , J1 , J 2 ) 的共同本征矢 { j1 j2 jm } 为基矢的表
ˆ ˆ [ J1 , J 2 ] = 0
ˆ2 ˆ [ J 2 , J 2α ] = 0
(α = x, y, z )
(α , β = x, y, z )
ˆ 属于不同子体系，所以相互对易， ˆ 由于 J1 和 J 2 属于不同子体系，所以相互对易，即
或
ˆ ˆ [ J 1α , J 2 β ] = 0
定义： 定义：体系的总角动量
1 2 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = J1 × J1 + J 2 × J 2 = iℏJ1 + iℏJ 2 = iℏ( J1 + J 2 )
ˆ = iℏJ
或
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ J x , J y ] = [ J1 x + J 2 x , J1 y + J 2 y ] = [ J1 x , J1 y ] + [ J 2 x , J 2 y ] ˆ ˆ ˆ = iℏJ + iℏJ = iℏJ
j min = j1 − j 2
（3） j 的取值 给定 j1 、j2 后， j 的取值
j = j1 + j 2 , j1 + j 2 − 1,..., j1 − j 2
j1 − j 2 ≤ j ≤ j1 + j 2
每一步的改变为1 每一步的改变为1。
二、角动量算符之间的的对易关系
ˆ J J J ˆ2 1． 2、ˆ z 、ˆ12、J 2 彼此对易 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 J 2 = J12 + J 2 + 2 J1 ⋅ J 2 ˆ2 ˆ （1） [ J , J ] = 0
z
ˆ ˆ ˆ J z = J1 z + J 2 z
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ [ J 2 , J z ] = [ J x2 + J y + J z2 , J z ] = [ J x , J z ] + [ J y , J z ]
×
= ( jmax + jmin + 1)( jmax − jmin + 1)
所以
(2 jmin + 1) + (2 jmax + 1) = ( jmax − jmin + 1) 2
2 2 = ( jmax + 1) 2 − jmin = ( j1 + j2 + 1) 2 − jmin
2 ( j1 + j 2 + 1) 2 − j min = (2 j1 + 1)(2 j 2 + 1)
§7-4 两个角动量的耦合
一、两个角动量的相加（耦合） 两个角动量的相加（耦合） 二、角动量算符之间的对易关系 三、耦合表象与无耦合表象的关系
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量， 两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情 况下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、 况下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结 复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。 构、复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。