弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学

ck
2 Vk2 sindddk
00
4 3
辐射场的量子态数：
D()d
V
2c3
2d
§8.4 光子气体
2.平均光子数
D()d
V
2c3
2
d
al
l
1 el 1
V 2d 2c3 e / kT 1
3.辐射场的内能
不同温度下的内能
U (,T )d
V
2c3
3d
e / kT 1
随频率的分布 普朗克公式
1.理想Bose气体的化学势 0
2.临界温度（凝聚温度）：
Tc
2
(2.612 )2/3
2 mk
n2/3
3. T<Tc时：
n0
(T
)
2
h3
(2m)3/ 2
1/ 2d
0
n
ekT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。
Chap.8 玻色统计和费米统计
Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e 1)
al 1
l
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
e
Z1 N
V N
(
2mk
h2
T
)3
/
2
很大
n3 1
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
l
l
Fermi系统
l [1 el ]l
l
l
N ln
S k(ln ln ln )
k(ln N U )
S k ln
U ln
Y 1 ln P 1 ln
y
V
J U TS N
kT ln
知识回顾： §8.2弱简并理想玻色和费米气体
论平衡辐射问题。在平衡辐射中，光子数不守恒。
II. 知识回顾： 热力学的结论：平衡辐射的内能密度和内能密度的 频率分布只与温度有关；u=aT 4 。
能量均分定理给出：内能的频率分布在低频 部分与实验相符；高频存在“紫外灾难”。
§8.4 光子气体
“紫外灾难”
§8.4 光子气体
III. 理论诠释：
平衡辐射：考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地 向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间 以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为 “平衡辐射”，二者具有共同的温度T.
平衡辐射可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。
ck
对于电磁波，有
λν c
ω 2πν
k 2π/λ p k
cp
§8.4 光子气体
光子是Bose子，达到平衡后遵从Bose分布; 由于空窖不断地发射和吸收光子，光子气体中的
光子数是不守恒的----拉格朗日乘子只需引入β 。
光子气体的统计分布：
系统的全部平衡性质
知识回顾
Z1
el l
l
N e
el l
e Z1
l
U e
l
ll e l
N
ln
Z1
p
N
V
ln
Z1
S
Nk (ln
Z1
ln
Z1)
S k ln
S
Nk (ln
Z1
ln
Z1)
k
ln
N!
F NkT ln Z1
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满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
弱简并条件下的系统 内能的差异
U
3 2
Nk T 1
4
1 2g
n3
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，
弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚
§8.4 光子气体
4.维恩位移定律(1893)
T=Constant 时，辐射场内能U 随ω 分布的极大值
Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件： n3 2.612
§8.4 光子气体
I. 引入：我们讨论了弱简并的Bose (Fermi)气体，和 n3 2.612 的理想玻色气体的凝聚现象。 具有确定的粒子数 作为玻色统计的重要应用，下面根据Bose分布讨
空窖辐射的内能
U
V
2c3
0
3d
e / kT 1
U
V
2c3
kT
4 0
x3dx ex 1
U (,T )d
V
2c3
3d
e / kT 1
x / kT
0
x3dx ex 1
6
4
90
(C.14)
U
2k4
15c33
VT 4
u aT 4 P66(2.6.3)
斯特藩-玻耳兹曼定律( Ju T 4 )
§8.4 光子气体
辐射场的内能－普朗克公式
U (,T )d
V
2c3
3d
e / kT 1
低频极限：
e /kT 1
kT
U (,T )d V 2kTd 2c3
瑞利(1900)-金斯(1905)公式
高频极限： e /kT 1
U (,T )d V 3e/kTd 2c3
维恩(1896)公式
§8.4 光子气体
热力学·统计物理
回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚
新课 §8.4 光子气体
知识回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
知识回顾
Chap.8 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式
抛弃粒子轨道的概念
（1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式
Bose 系统
l [1 e l ]l
al
l
e l
1
al
l
el 1
al
l
1 el 1
‫٭‬附加结论：
0
kT
------光子气体的化学势为零.
§8.4 光子气体
1.光子气体的量子态数
2
Vdpx
dpy h3
dpz
p
k
2
V3dkxdk h3
y
dk
z
Vdkxdkydkz
4 3
Vk
2
s
in dddk 4 3
辐射场的振动自由度：
D()d V 2d 2c3
U
(,T
)d
V
2c3
2k Td
瑞利(1900)-金斯(1905)公式
U (,T )d
V
2c3
3e / kTd
维恩(1896)公式
说明： 低频极限
e /kT 1
kT
能级间距 kT 经典理论适用
高频极限 e / kT 1 需要量子理论
能级间距 kT 的高频自由度被 冻结在基态
§8.4 光子气体