解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞

・自然哲学・

文章编号:1000-8934(2005)11-0001-04解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞

刘　二　中

(中国科学院研究生院　人文学院,北京　100049)

摘要:本文回顾了亚里士多德等人对芝诺悖论的一些看法,指出寻找该悖论推理过程逻辑漏洞的必要性,并试图给出对追龟辩和飞矢辩不同于亚里士多德、罗素等人的分析。

关键词:芝诺悖论;诡辩;逻辑学;亚里士多德;罗素中图分类号:N031 文献标识码:A

收稿日期:2005-08-03

作者简介:刘二中(1949-),河北顺平人,数理硕士,中国科学院研究生院人文学院教授,主要研究方向:科技史、科学方法论。

芝诺(Zeno ,约公元前495-425年)提出的关于运动的四个著名悖论,在哲学史、数学史和逻辑学方面都具有重大影响。其结论荒谬,推理又似乎合理,引起不少学者的关注。而芝诺悖论是否能被破解,

似乎仍有疑义〔1〕

。甚至有学者断言,芝诺悖论在逻辑上是正确的,尽管与事实不符。

另一方面,人们曾经试图从哲学的角度或是逻辑的角度对该悖论进行反驳或破解。这种反驳或破解是否令人满意甚至是否可能,仍有争论。下面本文将就此展开讨论。

1　芝诺的诡辩与亚里士多德的逻辑

芝诺的悖论包括“二分辩”、“追龟辩”、“飞矢辩”、“运动场辩”。

需要指出的是,这些悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点,证明如果承认

运动就会导致这四个悖论〔2〕〔3〕

。据希腊史学家普罗克修斯说,实际上芝诺从“多”和“运动”出发,曾一共导出过四十个悖论,留存下来的有八个,其中四个与运动有关。

按照克莱因(K line ,Morris )的看法,当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分,这样的话运动将是连续而又平顺的;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的,那样的话运动将是一连串的小跳动。芝诺的二分辩和追龟辩针对的是前者,飞矢辩和运动

场辩针对的是后者〔2〕〔3〕

。也就是说,他对两种运动学说连同运动本身都加以反对。

实际上,希腊数学家在发展数学的过程中已经形成了逻辑的基础。在巴门尼德和芝诺活跃的年代,雄辩与推理风行一时。然而,严密的逻辑学尚未形成,雄辩常常变成诡辩。例如,如果你同意“你身上不可能有位于远处的东西”这一判断,就只能得出“你身上没有头”的结论。因为“远处有只狗,狗有头,头在远处,而你已经承认身上不可能有位于远处的东西,所以你身上没有头。”

由于人们往往不能指出这些“雄辩”的毛病,所以诡辩成为包括芝诺在内许多学者所向披靡令人无可奈何的“法宝”。这种情形直到亚里士多德的时代才得到改变。

正是亚里士多德(Aristotle ,公元前384-322年)创立了严密的逻辑学,使之成为科学。他提出了逻辑学的三大基本规律:同一律、矛盾律、排中律。同一律是指“推理或思想的内容必须是确定的”。甲就是甲,甲代表的内容不能在推理过程中改变,否则就是“偷换概念”。矛盾律是指“一个命题不能既是真的又是假的”。排中律是指“一个命题必然是真的或者是假的”。亚里士多德的逻辑学为科学研究提供了最根本的分析工具,也是戳穿诡辩的利器。

本人以为,尽管包括黑格尔、罗素在内的众多学者对芝诺的悖论作了多种哲学解释,但是芝诺诡辩毕竟是靠逻辑导出的,对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑漏洞。如果作不到,那不应该是逻辑学的悲哀,而是人们在运用逻辑时把握不当。

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第21卷　第11期2005年　11月

自然辩证法研究Studies in Dialectics of Nature Vol.21,No.11

Nov.,2005

2　亚里士多德对二分辩和

运动场辩的分析

芝诺悖论是亚里士多德在他的《物理》中陈述的〔2〕〔3〕。

他说:“第一个悖论(以下称为二分辩)说运动不存在,理由是运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”其意思是,一个物体要通过A点到B点之间的距离,首先要通过A B之间的C点;然而,要通过A点到C点之间的距离,首先要通过A C 之间的D点,依此类推。换言之,如果空间无限可分,有限长度含有无限多的点,就不可能在有限时间内通过有限长度。

对此,亚里士多德已经作了自己的破解。他说:关于一个事物的无限性有两种意义:无限可分或无限宽广。在有限的时间内可以接触从可分的意义上是无限的东西,因为从这个意义上讲时间也是无限的,所以在有限时间内可以通过有限的长度。

换言之,亚里士多德的意思是,有限的距离和有限的时间都是无限可分的;有限距离和有限时间在无限分割时的总长仍是有限的;无限可分或无限分割的有限距离和有限时间并不意味着它们变成无限宽广,所以在有限时间内可以通过有限的长度。在这里,实际上必须强调的是二分辩违反了同一律:芝诺用“无限可分”偷换了“无限宽广”的概念。

有人认为:在距离被不断二分的过程中,距离会被分成无穷多个小段,而运动物体经过每个小段的时间都不为零,因而总的时间为无穷大。实际上,距离会被分成无穷多个小段的时候,经过这段距离的时间也被分成无穷多个小段,每个时间小段与每个距离小段是一一对应的,因而,时间总和与距离总和的有限性和无限性也是对应的。

人们常常把二分辩的矛盾归结到“无穷小量是否为零”的两难问题〔1〕,我们会在后文讨论中证明该问题已经得到解决。

运动场辩是芝诺的第四个悖论。亚里士多德说,它“讲到两列物体,每列都由数目相等的一样大的物体组成,在一段跑道是以同样速度循相反方向前进,互相越过。其中的一列原来占据跑道终点与中点之间的空间,另一列原来占据跑道中点与起点之间的空间。他认为这就可以得出一半时间等于一倍时间的结论。”

“例如(他就是这样论证的),假设AAAA是同样大小的静止物体,BBBB是与AAAA数目相等大小相同的物体,原来占据跑道上从起点到A列中央

的那一半,CCCC是原来占据从终点到A列中央那一半的物体,与BBBB数目、大小、速度都相等。

于是导出三个结论:第一,B列和C列互相越过时,第一个B达到最后一个C的时刻,就是第一个C 达到最后一个B的时刻。第二,在这个时刻,第一个C越过了所有的B,而第一个B只越过了A列的一半,因此只占了第一个C所占时间的一半,因为这两个物体中的每一个越过每一个A或B时所占时间相等。第三,就在这个时刻,所有的B越过了所有的C,因为第一个C和第一个B将同时到达跑道的相反末端,这是由于(芝诺这样说)第一个C越过每一个B时所占时间等于它越过每一个A所占时间,因为第一个B和第一个C越过每一个A时所占时间是相等的。”〔4〕

对此,亚里士多德已经分析得很清楚,他说芝诺的“错误在于假定一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体时,所需时间相等,而这个假定是错误的。”

与另外三个悖论相比,至少现有版本的运动场辩缺乏足够的说服力,也不被亚里士多德以后的哲人所重视。亚里士多德对它的破解已经可以令人满意,而一些学者对该悖论的过度猜测和演绎(甚至联系到量子理论),本人认为是不必要的。我们不必将现代人的智慧强加于古人,再因受惠于先贤而感激不尽。

3　追龟辩的逻辑漏洞

对于第二个悖论(追龟辩),亚里士多德提到:“它说动得最慢的不能被动得最快的东西赶上,因为追赶者首先必须到达被追者出发之点,因而行动较慢的被追者必定总是跑在前面。”

如果描述得更具体的话,就是追赶者到达被追者出发点时,被追者又有了新的出发点,追赶者到达被追者新的出发点时,被追者又离开了……因此,追赶者永远也追不上被追者。

亚里士多德分析说:“这个论点同二分法论证在原则上一样,所不同者是不必再把所需通过的距离一再平分。这个论证的结论是‘追不上最慢的’;但是论证的路线与那个二分法论证是一样的(因为在这两个论证中,都是从距离的某种分割中得出不能达到目的地的结论,虽然‘阿基里斯论证’走得更远,断定连传说中跑得最快的人也追不上跑得最慢的),因而解决的办法必定是一样的。论证的前提‘领先的永远不能被追上’是错的,在领先的时候没有被追上是对的,可是,如果让他跑过一段指定的有限距

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自然辩证法研究 第21卷　第11期