反常积分与含参变量的积分习题课(北工大)

0
e
px
sin
bx
x
sin
ax dx,(
p
0,
b
a).
ex2
0
ex2 dx,0
x
.
四. 无穷积分一致收敛的判别方法
定理8 若 B 0,x B,u I,有
f ( x,u) F( x),
且无穷积分
a
F
(
x
)dx
收敛,则无穷积分
a
f
(
x, u)dx 在区间
I
一致收敛.
定理9 狄利克雷判别法
则瑕积分ab ( x)dx 也发散。
推论1 x a,, 函数 f ( x) 0,a 0,
且极限
lim x f ( x) d (0 d ).
x
1.若 1,0 d , 则无穷积分
a
f
( x)dx
收敛；
2.若 1,0 d , 则无穷积分
a
f
( x)dx
发散。
推论2 设 x (a,b], 若函数 f ( x) 0,
一.含参变量的积分 (u) ab f ( x,u)dx
1. 连续性质
定理１ 若函数 f ( x, u) 在矩形域
R (a x b, u ) 连续，则函数 (u)
在区间 [ , ] 也连续．
lim
uu0
ab
f
(
x,
u)dx
lim
uu0
(u)
(u0
)
abulimu0 f ( x, u)dx.
e bx dx,0
a
b.
(3)
I(r)
0
ln(1
2r
cos
r 2 )d ,
r
1.
2.设 F ( x) 0h[0h f ( x )d]d (h 0),
其中 f ( x) 是连续函数,求 F ''( x).
3.证明:若函数f ( x) 在区间 [a,b] 连续,则
x [a,b], 有
ax ay f (t)dt dy ax f (t)( x t)dt.
定理2 设 f ( x,u) 在{(x,u) | a x , u }
上连续，且无穷积分
(u)
a
f
( x, u)dx
在[ , ]上一致收敛，则一元函数 (u)
在 [ , ]上连续。
(一).利用连续性 极限和积分可交换顺序
1.
J 0 e x2 dx
.
2
2计算极限
lim
n
01
1
ab
f
( x, u
u) dx.
定理４
若函数
f (x,u)
与 f
u
在矩形域
R (a x b, u ) 连续，而函数 a(u) 与
b(u) 在区间 [ , ]可导，且 u [ , ]，有
a a(u) b, a b(u) b,
则函数
(u)
b(u)
a(u)
f
(
x,
u)dx
在区间
[ , ]
x2 y2 )2
dx
在R上一致收敛．
(2) 0 xe xydy, [a,b](a 0)
在 [0, b] 上不一致收敛．
(3)
1
Hale Waihona Puke Baidu
e
x
cos x xp
dx(0
)
一致收敛．
其中 p 0 是常数．
五.积分收敛的判别方法
定理11 设 x a,, 有 f ( x) c( x),
c是正常数。
1.若无穷积分 a ( x)dx 收敛，则无穷积分
[ ,
]
上收敛，
而无穷积分a f 'u ( x, u)dx 在区间 [ , ]
一致收敛,则函数 (u) 在区间 [ , ] 可导,
且
'(u)
a
f
'u
( x, u)dx,
(二) 利用可微性 求导与积分可交换顺序
1.计算积分 (1)
I
01
arctan x x 1 x2
dx.
(2)
0
e ax
x
三.可积性质
定理6 若函数 f ( x, u) 在矩形域
R (a x b, u ) 连续，则函数
(u) ab f ( x, u)dx 在区间 [ , ] 可积，且
ab f ( x, u)dx du ab f ( x, u)du dx.
定理7 设 f ( x, u)在区域 D (| a x , u )
a 是瑕点，且极限
lim ( x a) f ( x) d (0 d ).
xa
１）若 1, 0 d ，则瑕积分
ab f ( x)dx 收敛．
２）若 1, 0 d ，则瑕积分
ab f ( x)dx 发散．
注: 关键是找到合适的 .
dx (1
x )n
n
二.可微性质 定理3 若函数 f ( x, u)与 f 在矩形域
u
R (a x b, u ) 连续，则函数
(u) ab f ( x,u)dx 在区间 [ , ] 可导，且
u [ , ] ，有
d du
(u)
ab
f
( x, u
u)dx
或
d du
ab
f
(
x,
u)dx
若 f ( x, u), g( x,u) 满足：
1)
a
f ( x, u)dx 关于 u [， ]一致收敛;
2)函数 g( x, u) 关于 x 单调, 且关于u 在
[， ] 上一致有界.
则无穷积分
a
f ( x, u)g( x, u)dx
在
[ , ]
上一致收敛．
(四)证明下列各题
(1)
1
(
y2 x2
若 f ( x, u), g( x,u) 满足：
１）当 A 时,积分 aA f ( x, u)dx 对 u [ , ] 一致有界；
x ２）g( x,u) 是 的单调函数，且 x
时，关于 u 一致趋于０．
则无穷积分
a
f
( x, u)g( x, u)dx
在 [ , ]
上一致收敛．
定理10 阿贝耳判别法
上连续，且无穷积分
(u)
a
f
( x, u)dx
在[ , ] 上一致收敛，则一元函数 (u)
在 [ , ] 可积,且
(u)du
a
f
( x,u)dx
du
a[ f ( x, u)du]dx.
积分号下可积分.
(三) 利用可积性 积分可交换顺序
1.计算积分
I
01
arctan x x 1 x2
dx.
a
f
( x)dx
也收敛.
2.若无穷积分
a
f ( x)dx
发散，则无穷积分
a ( x)dx也发散.
定理12 设 x a,b, 有 f ( x) c( x),
c是正常数。
1.若瑕积分 ab ( x)dx 收敛（a 是瑕点），
则瑕积分 ab f ( x)dx 也收敛．
2.若瑕积分 ab f ( x) dx 发散（ a 是瑕点），
可导,
且
d
du
(u)
b( u ) f
a(u)
( x,u)dx u
f [b(u),u]b'(u) f [a(u), u]a'(u).
定理5 若函数 f ( x, u) 与 f 'u (x,u) 在区域 D
(| a x , u ) 上连续，且无穷积分
(u)
a
f
( x, u)dx
在区间